Оно выводится как частный случай теоремы о среднем арифметическом среднем геометрическом. Положим, что первые m чисел x_i в неравенстве

равны некоторому неотрицательному числу х, тогда остается N-m чисел и пусть они равны неотрицательному числу у, т.е.

x₁ = x₂ = … = x_m = x

x_m+1 = x_m+2 = … = x_n = y

В этом случае теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел x₁, x₂, … , x_n примет вид

или

Здесь n – любое целое число, а m – целое число значения которого заключены в пределах 1  m  n – 1. Отсюда следует, что число m/n может быть любой рациональной дробью r, принадлежащей интервалу 0 < r < 1. Теперь последнее неравенство можно переписать так:

rx + (1 – r)y  x ^r y^1-r (3)

Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел х и у и для любой дроби r, значения которой заключены между 0 и 1. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда х = у.

Обозначим число r через 1/р; поскольку 0 < r < 1, то p > 1. Отсюда

. Пусть , тогда и

В этих обозначениях неравенство (3) принимает вид

(4)

С целью исключить из рассмотрения дробные показатели степени положим

х = а^р, у = b^р.

При этом неравенство (4) принимает вид

, где a и b – неотрицательные числа, а р и q – такие рациональные числа, что . Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда а^р = b^р. Итак, мы вывели неравенство (2).

Положим

затем

и т. д. (как в доказательстве неравенство Коши) и сложим неравенства, получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (2). При этом получим

(5)

Используя равенство , получаем неравенство, равносильное (1). Равенство в (5) достигается тогда и только тогда, когда все отношения b_i/a_i равны между собой.

Неравенство треугольника.

Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему алгебраически.

Рассмотрим треугольник ORP, расположенный так, как показано на рисунке.

Геометрическое неравенство ОР + PR  OR равносильно алгебраическому неравенству треугольника

(1)

Для доказательства возведем обе части неравенства (1) в квадрат, при этом мы придем к неравенству, равносильному (1):

Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно неравенству:

Но это неравенство является простым следствием неравенства Коши

,

что и доказывает неравенство треугольника.

Равенство в неравенстве треугольника, как и в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда х₁ = кх₂ и у₁ = ку₂, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же пути, что и при выводе неравенства Гёльдера, а именно доказать, что неравенство

имеет место для любых действительных значений x_i, y_i. Равенство достигается в том и только том случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен.

Рассмотрим еще одно доказательство неравенства треугольника, которое можно использовать также и для получения более общих результатов. Имеет место тождество

(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)² = х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂) + х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂)

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни, применим по очереди к двум выражениям:

х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂) и

х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂).

Мы получим

(х₁² + у₁²)^1/2 [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2  х₁(х₁ + х₂) + у₁(у₁ + у₂) и

(х₂² + у₂²)^1/2 [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2  х₂(х₁ + х₂) + у₂(у₁ + у₂)

Сложим эти два неравенства

[(х₁² + у₁²)^1/2 + (х₂² + у₂²)^1/2]*[(х₁ + х₂)² + (y₁ + у₂)²]^1/2 (х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²

разделив обе части на общий множитель

[(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2 ,

будем иметь

(х₁² + у₁²)^1/2 + (х₂² + у₂²)^1/2  [(х₁ + х₂)² + (у₁ + у₂)²]^1/2

таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника. Равенство опять будет иметь место тогда и только тогда, когда х₁ = кх₂ и у₁ = ку₂, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности, другими словами, тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Q лежат на одной прямой, причем точки Р и Q расположены по одну сторону от точки О.

Неравенство Минковского.

Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел х₁, у₁, х₂, у₂ при любом р > 1

(х₁^р + у₁^р)^1/р + (х₂^р + у₂^р)^1/р  [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/р (1)

Неравенство треугольника составляет частный случай неравенства Минковского для р = 2 и их доказательства подобны.

Запишем тождество

(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р = [х₁(х₁ + х₂)^р-1 + у₁(у₁ + у₂)^р-1] 

 [х₂(х₁ + х₂)^р-1 + у₂(у₁ + у₂)^р-1]

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого тождества. В результате получим:

(х₁^р + у₁^р)^1/р= [ (х₁ + х₂)^(р-1)q + (у₁ + у₂)^(р-1)q]^1/q  х₁(х₁ + х₂)^р-1 + у₁(у₁ + у₂)^р-1

^и

(х₂^р + у₂^р)^1/р= [ (х₁ + х₂)^(р-1)q + (у₁ + у₂)^(р-1)q]^1/q  х₂(х₁ + х₂)^р-1 + у₂(у₁ + у₂)^р-1

Так как , то (p – 1)q = p. Складывая последние два неравенства, имеем

[(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/q[(х₁^р + у₁^р)^1/р + (х₂^р + у₂^р)^1/р]  (х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р

Разделив затем на [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1/q

получим

(х₂^р + у₂^р)^1/р + (х₁^р + у₁^р)^1/р  [(х₁ + х₂)^р + (у₁ + у₂)^р]^1-1/q

Так как , то последнее неравенство полностью совпадает с требуемым неравенством Минковского (1).

Знак равенства в неравенстве (1) имеет место тогда и только тогда, когда точки (х₁ у₁) и (х₂ у₂) лежат на одной прямой с точкой (0, 0).

Аналогично обобщением неравенства Гёльдера и неравенства треугольника можно получить и неравенство Минковского для двух систем их n неотрицательных чисел х₁, х₂, … , х_n и у₁, у₂, … , у_n. Оно имеет вид:

[х₁^р + х₂^р +… х_n^р ]^1/р + [у₁^р + у₂^р+… + у_n^р] ^1/р 

 [(х₁ + у₁)^р + (х₂ + у₂)^р + … +(х_n + у_n)^р]^1/р , где р  1

При p < 1 знак неравенства следует изменить на обратный.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В дипломной работе изучен и дан анализ самостоятельной работе учащихся наряду с другими формами организации познавательной деятельности. На основе изученной психолого-педагогической литературы дается характеристика этих форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях в выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения.

Разработано и проведено 8 занятий по теме «Иррациональные неравенства». На основе изученной литературы дается анализ иррациональных неравенств и способов их решения.

Проведение опытно- экспериментальной работы подтверждает выдвинутую гипотезу. Применение самостоятельной работы учащихся способствует лучшему усвоению знаний, о чем свидетельствуют результаты контрольной работы, способствует повышению активности познавательной деятельности учащихся. Конечно, если бы эксперимент длился дольше, то результаты были бы более ощутимы.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Андреева И.Н. Индивидуальные творческие работы учащихся в обучении // Автореферат, МГПИ- М; 1967

2. Аношнин А.П. Оптимизация форм организации учебной деятельности школьников на уроке. // Автореферат, ЧГУ- Челябинск: 1986

3. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения // Советская педагогика- М.: Просвещение

4. Верцинская Н.Н. Индивидуальная работа с учащимися- Минск: 1983

5. Дьяченко В.К. Организационные формы обучения и их развитие. //Советская педагогика- М: Просвещение, 1985, № 9

6. Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие- М: Педагогика, 1989

7. Зотов Ю.Б. Организация современного урока.- М: Просвещение, 1984

8. Лийметс Х.И. Групповая работа на уроке. – М: Просвещение, 1975

9. Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. – Казань: Издательство Казанского университета, 1972

10. Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса. //Автореферат, М: 1972

11. Семенов Н.А. О способах организации обучения. //Советская педагогика, 1966, № 11

12. Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. //М: Просвещение, 1968

13. Уфимцева М.А. Формы организации обучения в современной общеобразовательной школе. //М: Просвещение, 1986

14. Хабиб О.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся. –М: Педагогика, 1979

15. Чередов И.М. Методика планирования школьных форм организации обучения. –Омск: Педагогика, 1983

16. Чередов И.М. Пути реализации принципа оптимального сочетания форм организации учебной деятельности в 5-9 классах. //Автореферат, КГУ, Красноярск, 1970

17. Чередов И.М. Система форм организации в советской общеобразовательной школе. –М: Педагогика, 1987

18. Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе. – М: Просвещение, 1988

19. Ю.В. Нестеренко и др. Задачи вступительных экзаменов по математике //М: Наука, 1980

20. Белоносов В.С. Задачи вступительных экзаменов по математике в НГУ //Новосибирск, НГУ, 1992

21. Литвиненко В.Н., Морднович А.Г. Практикум по элементарной математике. //М: Просвещение, 1991

22. Литвиненко В.Н. Морднович А.Г. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1984

23. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1979

24. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства //Минск: Народная Асвета, 1972

25. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа //М: Просвещение, 1990

26. Коровкин П.П. Неравенства //М: Наука, 1974

27. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства //М: Наука, 1976

28. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства //М: Мир, 1965

29. Невежский Г.Л. Неравенства //М: Учпедгиз, 1947

30. Алгебра, 8 класс //М: Просвещение, 1980

ПРИЛОЖЕНИЕ.

1. Введение

Изучая школьную программу, я выяснила, что иррациональные неравенства не рассматриваются в курсе средней школы. В 11классе изучаются лишь иррациональные уравнения. Они входят в раздел «Показательные функции», и учитель может уделить им внимание в течение 2-3 уроков. Однако для тех учащихся, которые хотят иметь хорошую подготовку для поступления в ВУЗы этого явно недостаточно. Просматривая программы, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в НГУ и МГУ находим, что кроме иррациональных уравнений в них предлагается решить и иррациональные неравенства. Например, НГУ: