8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на примерах.

Пример 1. Решить неравенство:

Решение. Положив , находим что х² + 5х + 4 = у² – 24, тогда неравенство (1) преобразуется к виду:

у² – 5y – 24 < 0

и далее решим уравнение:

у² – 5y – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

y₁ = -3, y₂ = 8

получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:

Так как при всех допустимых значениях х, то тем более при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:

Это неравенство равносильно системе

Так как неравенство х² + 5х + 38  0 выполняется при любых значениях х (D = 25 – 4  28  0 и а = 1  0), то последняя система равносильна неравенству:

х² + 5х + 38  0

или

(х + 9)(х – 4)  0

откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)

Ответ: х  ]-9; 4[

Неравенство (1) – неравенство вида

.

Здесь применима подстановка и неравенство заменяется равносильным ему неравенством:

у² – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.

Рассмотрим неравенство вида:

, где можно применить подстановку .

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х  5. Положим , тогда у > x – 3, y  0. Выразим х через у: у² = 5 – х  х = 5 – у².

Получаем систему:

Откуда:

Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.

Ответ: x < 4.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

при х  2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х  2.

Пусть , тогда исходное неравенство примет вид:

(1)

Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты, то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:

|t + 1| - |t – 1| > 1

Разобьем решение на три промежутка:

1. t  -1

-t – 1 + t – 1 > 1 

1. –1 < t  1

t + 1 + t – 1 > 1

2t > 1

t > ½

1. t > 1

t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно

Решением неравенства на всех трех промежутках будет t > ½

Подставляем

Эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: x > 2,25.

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Положим , тогда и мы получаем неравенство:

у² – у – 2 >0,

откуда находим y 2.

Теперь задача свелась к решению двух неравенств:

Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

(1)

Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:

Противоречие.

Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не имеет смысла.

Решим неравенство

Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда x > 34.

Ответ: x > 34.

9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение.

Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из параграфа «Неравенства и их основные свойства».

Пример 1. Решить неравенство:

(1)

Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ неравенства:

2х² – 3х + 2  0

откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части неравенства (1) на 2 получим

и далее

Полагая , получим у² – 2у - 8  0, откуда у  -2, у  4.

Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:

Второе неравенство системы имеет решения х  -2, х  3,5, а первое – не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.

Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства (1) и получены при переходах к равносильным неравенствам.

Ответ: х  -2, х  3,5.

Пример 2. Решить неравенство

(1)

Решение. ОДЗ неравенства:

Домножим обе части неравенства на выражение

, имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).

Получим:

или:

Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше положительной правой части неравенства.

Ответ: х  1.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

Домножим обе части неравенства на :

Последнее неравенство равносильно совокупности:

Из первой системы получаем x < -2, а решением второй системы является промежуток

Объединяя их получаем:

Ответ:

10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения на множители.

Пример 1. Решить неравенство

Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства

На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ х  [-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:

откуда

Но и , поэтому получаем:

или:

В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства

решение этого неравенства х  [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х  [0; 3].

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем x  1, х  5, х = 2

Перепишем наше неравенство следующим образом:

Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:

Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:

(х – 2)²(х – 5)(х – 1)  9(х – 2)²(х – 1)²

или:

(х – 2)²(х – 1) (х – 5 – 9х + 9) 0

(х – 2)²(х – 1) (4 – 8х) 0

откуда методом интервалов получаем: х  ½, х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х  ½, х = 1, х ≥ 5, х = 2

11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.

Пример 1. Решить неравенство:

(1)

Решение. Область определения неравенства (1): 2  х  3.

Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо убедиться в том, что обе его части неотрицательны.

Однако, оказывается, что это не так.

Действительно, так как 2  х  3, то 1  х – 1  2 и 3  6 – х  4. А это значит, что или . Но . Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2  х  3 неравенство (1) выполняется. Итак, 2  х  3 - решение неравенства.

Пример 2. Решим неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка. Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.

Ответ: х = 2.

12. Решение более сложных примеров.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.

Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и при любом действительном значении параметра а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.

а) если a > 0, то и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства: x < 0,

Рассмотрим промежуток . Возьмем значение х = а из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим: - истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток принадлежит решению. Любое значение переменной х, взятое из промежутка знакопостоянства , обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при имеем ложное числовое неравенство .

Следовательно, промежуток не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x < 0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство . Значит, числовой промежуток x < 0 принадлежит решению. Итак, при a > 0 решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0 и .

б) если a < 0, то и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства . Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках и x > 0 и тождественно ложное в промежутке . Следовательно, при a < 0 решением неравенства будет объединение двух числовых промежутков и x > 0.

в) при а = 0 . Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ: 1) при

2) при .

Пример 2. Решить неравенство

ОДЗ: 5^х – 7 ≥ 0

log₅7 ≤ x < +∞

Возводим обе части в квадрат:

решением последнего неравенства является промежуток х ≤ 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log₅7 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log₅7 ≤ x ≤ 2.