Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 45

Построение аксонометрических проекций многогранников, в частном случае многоугольников, сводится к определению аксонометрических проекций их вершин, которые затем соединяют между собой отрезками прямых линий. На рис. 311, б показано построение стандартной изометрической проекции шестигранной пирамиды, ортогональные проекции которой заданы на рис. 311,а.

Построение выполняем в следующей последовательности: проводим прямые х, у, х, которые принимаем за оси натуральной системы координат; за начало координат принимаем точку О (О', О") . Затем проводим аксонометрические оси х', у', х'. Измерив на ортогональном чертеже натуральные координаты вершин основания пирамиды (точки 1, 2, 3, 4, 6, 6) и ее вершины (точка В), строим их аксонометрические проекции (точки 1, 2', 3о, 4", бо, 6', В" ) .

Чтобы получить изометрическую проекцию пирамиды, соединяем полученные точки отрезками прямых линий в той же последовательности, в какой они соединены на ортогональных проекциях. Б. Построение аксонометрических проекций геометрических фигур, ограниченных кривыми линиями и поверхностями. В общем случае аксонометрической проекцией кривой линии (или поверхности) будет также кривая линия (поверхность) .

Пример построения стандартной изометрии произвольной пространственной криной ! показан на рис. 312. Построение аксонометрических 2! б Аксонометрические щюекции бо Х о 2 ~ч е~ ~ч,уо Рис. 311 о б" уо а) 1 б) Рис. 312 проекций точек, принадлежащих кривой 1, осуществляется в последовательности, указанной ниже. 1.

Относим данную линию к некоторой натуральной системе координат Охуа. 2. Отмечаем на кривой ! точки 1, 2, 3, ... и определяем их ортогональные координаты (рис. 312,а) . Примеры настроения аксонометрические лроекний 217 геометрическая фигур 3. По координатам точек 1, 2, 3, ... строим их вторичные проекции 1'", 2", 3", ... (рис. 312,6». 4. Через вторичные проекции точек проводим прямые, параллельные аксонометрической оси з, и откладываем на них отрезки, равные значению соответствующих аппликат точек (1, 2, 3, ...); находим точки 1', 2, 3", ...

5. Соединив найденные аксонометрические проекции точек 1", 2о, 3', ... плавной линией, получим аксонометрическую проекцию кривой) а В практике построения аксонометрических проекций машиностроительных деталей часто приходится строить аксонометрические проекции окружностей.

В большинстве случаев плоскости окружностей бывают параллельны какой-либо из координатных плоскостей. Рассмотрим возможные варианты построения окружности в изометрической и диметрической проекциях. Чтобы иметь более наглядное представление о расположении и величине осей эллипсов, в которые проецируются окружности, последние вписаны в грани куба. На рис. 313,о показана проекция куба в изометрии, а на рис. 313,6 — в диметрии. Окружность, вписанная в грань куба, касается его ребер в их середине. Так как касание является инвариантом параллельного проецирования, то в аксонометрических проекциях точки касания эллипсов, в котортие преобразуются окружности, будут нахо. диться так же в серединах ребер куба. Кроме~этих четырех точек можно указать еще четыре точки, принадлежащие концам большого и малого диаметров эллипса. В прямоугольных изометрических и диметрических проекциях направления больших осей эллипсов перпендикулярны свободным аксонометрическим осям, а малые оси эллипсов совпадают по направлению со свободными аксонометрическими осями.

Для прямоугольной (практической) изометрии величина большого диаметра эллипса равна 1,22с( окружности, малого диаметра —.0,71с( (см. рис. 313,а). В прямоугольной диметрии большой диаметр эллипса равен 1,06с(, малый диаметр для эллипсов, расположенных в гранях куба, параллельных координатным плоскостям Оху и Оуз, равен 0,3бс(. Для эллипса, принадлежащего грани куба, параллельной плоскости Охз, малый диаметр равен 0,95с( (см. рис. 313,6) .

ь Рис. 313 216 А ксолоееегрические лроекции Чтобы исключить арифметические подсчеты при определении длин отрезков, умноженных на величину масштаба искажения, следует пользоваться пропорциональным масштабом. Для его построения достаточно провести две взаимно перпендикулярные прямые а и Ь (рис. 314) и на одной из них от точки пересечения К отложить [ КО), равный 100 единицам, а на другой — отрезки [ Х1), [К11), [ИИ), [КЩ, [КУ), [КУ)), соответственно равные 35, 50, 71, 95, 106, 122 единицам измерения. Точки 7, П, ...

$Ч соединяем с точкой О. Если теперь от точки О на прямой ОК отложить [ОВ) заданной длины 1 и из конца В отрезка [ОВ) восставить перпендикуляр к [ОХ), то он пересечет прямые (ОГ), (ОИ), (ОШ), (О1У), (ОУ), (0$7) в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полученные отрезки [В1), [В2), [ВЗ), [В4), [В5), [В6) будут равны соответственно 0,351; 0,51, 0„711, 0,951, 1,061, 1,221. Если плоскость окружности занимает произвольное положение по отношению к координатным плоскостям, то построение аксонометрической проекции окружности осуществляется так же, как зто делается при построении аксонометрической проекции кривой (см. с, 215 и. Б, рис. 312) . Построение аксонометрических проекций поверхностей, ограничивающих геометрические фигуры, можно осуществить двумя способами: 1.

Способ сечений. Этот способ заключается в следу)ощем: 1) поверхность геометрической фигуры, аксонометрическую проекцию которой требуется построить, рассекаем плоскостями 7,, 7е, те, ..., 7л (рис. 315); 2) определяем линии пересечения заданной фигуры Ф плоскостями 71 (1~, 1е, 1з, ..., (л); 3) строим аксонометрические проекции линий. 1,, 1,, 1,, ..., 1л 1о, 1о, 1о, ..., (ол; для упрощения определения, линий 1 и построения их аксонометрических проекций секущие плоскости следует принимать параллельными какой-либо плоскости проекции; 4) кривая 6о „огибающая линии (о, 1,и, 1ес, ..., 1„", является очерковой линией — линией видимого контура фигуры Ф 2. Способ вписывания сферических поверхностей.

Целесообразность применения этого способа основывается на том, что в прямоа) Рис. 314 Рис. 315 решение поэиционных ааааа 2(9 на аксонометрических праекцинх ьо б) . 316 угольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на картинную плоскость в виде круга. Этот способ следует использовать в тех случаях, когда фигура ограничена поверхностью вращения. Так как в любую поверхность вращения могут быть вписаны сферические поверхности, то аксонометрическую проекцию поверхности вращения можно рассматривать как огибающую этих сфер. Сущность способа покажем на конкретном примере. Пусть требуется построить аксонометрическую проекцию (прямоугольную изометрию) кольца (рис.

316,а). Построения выполняем в следующей последовательности: 1) строим эллипс с' — аксонометрическую проекцию окружности с (АСВХ)); 2) из произвольных точек эллипса с', Оо, Оо, О;, ..., Оо, (Ъг О"; Оо 6 со) проводим окружности Ь. радиусом г — аксонометрическйе проекции вписанных сферических поверхностей (); 3) огибающие «(а1 и е(оо окружностей Ь. являются видимым очерком аксонометрической проекции кольца (рис. 316,б) . з 69. РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ Решение позиционных задач на аксонометрическом чертеже не отличается от решения этих задач в ортогональных проекциях на эпюре Монжа.

Алгоритмы решения задач для определения линии пересечения двух поверхностей (см. 3 43, табл, 8) и нахождения точек встречи линии с поверхностью (см. э" 63, табл, 9), составленные для ортогональных проекций, остаются беэ изменении при решении аналогичных задач в аксонометрических проекциях. Рассмотрим решение основных позиционных задач: определение точки встречи прямой с плоскостью и построение линии пересечения двух поверхностей. ЗАДАЧА 1. Определить точку К = гл и () (рис.

317) . 220 А каином егриоеекие ироекиии ха йат Рис. 317 Рис. 313 РЕШЕНИЕ. 1. Заключаем данную прямую т во вспомогательную плоскость т, перпендикулярную какой-либо координатной плоскости (на рис. 317 т 1 плоскости Оох'уо). Горизонтальный след Ьот плоскости у совпадает со вторичной проекцией т' прямой т. 2. Отмечаем (1о 2о ), по которой пересекаются плоскости т и (1: (1о2о ),у и () 3. Находим К' = т г1 (1 2'). 4. Зная К', определяем вторичную проекцию К' о.

ЗАДАЧА 2. Построить линию 1о пересечения конической ф и цилиндрической б поверхностей (о = ф О б (рис. 318). Эта задача может быть решена двумя способами. Способ 1. Решают эту задачу в ортогональных проекциях, а затем строят аксонометрическую проекцию полученной линии пересечения. Способ 2. Состоит в построении искомой линии пересечения непосредственно на аксонометрической проекции. При этом решение осуществляется по алгоритму, составленному для решения аналогичной задачи в ортогонапьных проекциях.

Решение приведено на рис. 318. Как видно из чертежа, для определения точек (1,о и Ь1о ) е 1р (Е' = то г1 по) используются плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через прямую ЯА. Любая плоскость этого пучка пересекает поверхности 1) и б по прямым т о и по. Точки Ц и 1,о- принадлежат искомой линии пересечения поверхностей () и б. Решение метрических нчдач 221 на аксонометрических нроекииях 70. РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ Между ортогональными и аксонометрическими проекциями существует зависимость, которая позволяет по ортогональным проекци. ям геометрической фигуры и заданному направлению аксонометрического проецирования построить треугольник следов и, наоборот, по заданной проекции треугольника следов определить направление аксонометрического проецирования.