Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 42

Построить развертку боковой поверхности наклонной трехгранной призмы АВСОЕГ' (рис. 293) . РЕШЕНИЕ. Примем эа плоскость развертки плоскость т, проходящую через ребро Л Р, параллельную фронтальной плоскости проекции. Совместим грань АЛЕВ с плоскостью т. Для этого мысленно разрежем боковую поверхность призмы по ребру ЛО, а затем осуществим ло. воэаот грани АЛЕВ вокруг ребра АО (А 'Рв). 1(лн нахождения совмещенного с плоскостыа т положения ребра ВоЕо из точки Вн проводим луч, перпендикулярный к АвО" ,и засекаем на нем дугой радиуса ) А В ), проведенной из центра А , точку Во.

Через Во проводим прямую ВоЕо параллельную (АвЛв) . Принимаем совмещенное положение ребра Во Ео за новую ось вращения и поворачиваем вокруг нее грань ВЕГС до совмещения с плоскостью т. Длн этого из точки С проводим луч, перпендикулярный к совмещенному ребру ВоЕо, а иэ точки Во — дугу окружности радиусом, равным ) В'С ); пересечение луги с лучом определит наложение точки Со. Через Со проводим Со Го параллельно ВоЕо. Аналогично находим положение реблла ЛоОо. Соединив точки А'ВоСоЛо и О ЕороОо прямыми, получим фигуру Л ВоСоЛоОороЕоΠ— развертку боковой поверхности призмы.

Йляполучения полной развертки призмы достаточно к какому-либо из зненьен ломаной линии А' ВоСоАо и Р ЕоГоОо пристроить треугольники основания АоВоСои ОоЕоГо. Построение орибникенных реэоертон 201 ротеерпиеающихсч оонерхностей д й =(БнАт( б.' «Ае '~, ~С'А ~ Ар С, В, А, рис. 294 роению развертки. для этого через произвольнуи1 точку Ве проводим прямую а. Откладываем нанейотто~киза(аоАе ) ш (ВнА т ).

Из точки Ао пРоводим дУгУ Радиусом т, =- (А В"„а из точки Во — дугу радиусом В1 = ~ 3 Вз~. Пересечение дуг укажет положение вершины Ве озеАояо Фзолели — — АВА — грани пирамиды) . Аналогично находятся точки Со и Ае. Соединив точки АеноСеАе, получим развертку боковой поверхности пирамиды ВА ВС. 5 65.

ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАЗВЕРТОК РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕИ Мы уже указывали, что к развертывающимся поверхностям относятся только торсы (поверхности с ребром возврата, коническая и цилиндрическая поверхности) . Развертка любой развертывающейся поверхности (кроме гранных) является приближенной. Это объясняется тем, что при развертке поверхности последнюю аппраксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении развертки поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

Рассмотрим способы построения приближенных разверток поверхностей: цилиндрической, конической и с ребром возврата. А. Построение развертки цилиндрической поверхности. Для построения развертки цилиндрической поверхности используются те же способы нормального сечения и раскатки, которые применяются при развертывании боковой поверхности призмы. В обоих случаях цилиндрическую поверхность заменяют призматической поверхностью, вписанной (или описанной) в данную цилиндрическую. Затем задачу решают так же, как это было показано в примерах 1 и 2 предыдущего параграфа.

На рис. 295 и 296 показано построение боковой поверхности цилиндра способом нормального сечения (рис. 295) и способом раскатки (рис. 296) . Построение нриовиэееннюн раэвертон раэверпаваю Ниэса новерэиостей При построении развертки поверхности цилиндра вращения предпочтение следует отдать способу нормального сечения, так как в этом случае можно не прибегать к замене цилиндрической поверхности призматической.

Для того чтобы построить развертку поверхности прямого кру. гового цилиндра, выполняем следующие геометрические построения: 1. Рассекаем цилиндрическую поверхность о плоскостью ), перпендикулярной к прямолинейной образующей цилиндрической поверхности. 29З 2. Делим окружность с — линию сечения ст л т на одинаковое число частей л.

3. Проводим в свободном месте чертежа прямую о и отмечаем на ней отрезок 1 а 1 а, равный длине окружности сечения с. 4. Делим [1а1и ) на такое же число одинаковых частей и, на которое была разделена окружность с. 5. Через точки деления 1а, 2„, За, ..., 12а, 1, проводим прямые, перпендикулярные к прямой о, и откладываем на них от точек 1, 2,, За, ..., 12а, 1а отрезки, равные длине соответствующих образующих нижней и верхней частей цилиндрической поверхности. 6. Соединив концы образующих плавной кривой, получим развертку цилиндрической поверхности. На рис.

296 приведен пример построения развертки боковой поверхности эллиптического цилиндра способом раскатки. Необходимые геометрические построения выполняем в следующем порядке: 1. Делим окружность основания цилиндра на л равных частей (на рис. 296 л = 12) . 2. Через точки деления проводим прямолинейные образующие цилиндрической поверхности — ребра призмы, которой мы заменяем цилиндрическую поверхность о. 3. Принимаем за плоскость развертки горизонтальную плоскость (), проходящую через ребро 1 призмы, тождественное 1-й образующей цилиндрической поверхности Дальнейшие построения анапогичны выполненным на рис. 293 прн построении развертки боковой поверхности призмы АВСРЕЕ. Б. Построение развертки конической поверхности.

Задача на построение развертки конической поверхности решается так же, как в случае построения развертки боковой поверхности пирамиды — способом треугольников (см. рис. 294) . Для этого коническая поверхность аппроксимируется вписанной в нее пирамидальной поверхностью. На рис. 297 показана развертка поверхности пирамиды ВА ВСРП...,вписанной в заданную коническую поверхность о. Фигуру ЯвАоВаСоРоЕаЕа " ...

А, принимаем за приближенную развертку конической поверхности. Чем больше число граней у вписанной пирамиды, тем меньше будет разница между действительной и приближенной развертками конической поверхности. Если задана поверхность прямого кругового конуса (рис. 298), то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности 1 = ~ЯА), а центральный угол ~п ' = 2нт11, где г — радиус окружности основания конуса.

Величина угла а получается в радианах. На практике бывает целесообразно иметь его градусную величину. Это легко сделать, подставив в приведенное равенство значение величины 1, выраженное через радиус основания конуса г и угол наклона образующей коничес- 204 Реэаертка плаерхкотетей кой поверхности к плоскости к, 1) ф ) . Н атом случае 1 т/соь ф ', тогда р ' 2птсоаФ")т . 360" соа ф". 1)а рис. 299 показано построение развертки поверхности прямого кругового усеченного конуса, вершина которо~ о находится за пределами поля чертежа. Решение пой задачи осуществляется следующим ну|ем: 1) строим вспомогательный конус 1), подобный данному конусу о, диаметр т) основания конуса )) следует ныбирать так, чтобы отношение 1))Й (где 0- диаметр окружности основания конуса е) выражалось целым числом (на рис.

299 оно равно 2); 2) строим развертку боковой поверхности нспомогательного конуса)) -ЯоЛо!о2о ... В„Ло, ао е Р'0" С" В А Оо 'о Рис. 297 ао о сау Рис. 299 Построение нриввииенных раявертон 205 рахвертываиниихея воверхносеей 5", 2 а" О, А В, аа 31а Ао ! 'а Рис. 299 3) из произвольной точки О,, принадлежащей биссектрисе угла АоЯвАв проводим лучи [ОвАа ) * [Ов1в), [Ов2в ) ° ..., [ОвАв ) и на них откладываем отрезки [ОвА~ „] .— )е[ОвАв ], [Оа1е ] = Й [Ос 1а ), [Ов2~ в ! = = й[Ов 2в ). "' [ОвА1 ) = ЦОо А ], где и = 1)|Й = 2. Для построения развертки понерхности а достаточно определить положение точки А,, и через нее провести дугу окружности радиусом, равным длине отрезка [ОаА,, ) нэ центра в точке Оа. Эта окружность пересечет лучи [Ов1и), [Ов2„), ...

в точках 1,, 2>в, ... Из точек А,, 1... 2,„, ... проводим прямые (А, В, ), (1,,1, ), (2, 2ав ), параллельные соответствующим' прнмым (иАоЛв ) (1вЗв ) (2вЗв ) ..., и на них откладываем отрезки [А> В1р! [11 1аа), [21в 2ав) "° Равные 1 длине обраэуинцей АВ усеченного конуса а. В. Построение развертки поверхности с ребром возврата. Построение развертки поверхности с ребром возврата осуществляется путем аппроксимации ее отсеками конической поверхности с последующей заменой их плоскими треугольниками.

В качестве иллюстрации решения такой задачи обратимся к следующему примеру: пусть на эпюре Монжа заданы проекции поверхности с ребром возврата а; построить ее развертку (рис. 300) . На ребре возврата с( отмечаем ряд точек 1, 2, 3, 4, 5 и через их проекции проводим касательные к проекциям с(' и д" — [ 11, ], [ 22, ], [ 33, ), [ 44, ), [ 55, [. В отсеках поверхностей, ограниченных этими касательными, проводим диагонали 21,, 32,, ..., которые делят каждый из криволинейных четырехугольников на два '*треугольника". Если расстояния между точками 1 и 2, 2 и 3, 3 н 4, 4 н 5 будут достаточно малыми, то стороны "треугольников", противолежащие вер.

шинам 1,, 2,, 3,, 4, (и 1,, 2пп 3,, 4,,), можно считать прямолинейными. Для построения развертки многогранной поверхности, аппроксимирующей заданную поверхность а, определяем длины сторон этих треугольников. По трем сторонам строим треугольники, начиная с Л 1,2в1,, к которому пристраиваем остальные в последовательности, указанной на рис. 300 римскими цифрами. фигура 1в2,3а4,5 ~, 4,„3,, 2,„1,, приближенная развертка поверхности а. 206 Развертка коверзкастей 1', 5'с ф 5,с 'а с.

ЗОО з 66. УСЛОВНАЯ РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ В двух предьщущих параграфах было показано построение разверток гранных и торсовых поверхностей. Все остальные поверхности относятся к неразвертываемым — они не могут быть совмещены с плоскостью беэ разрывов и склеивания, т. е. теоретически неразвертываемые поверхности не имеют своей развертки. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертываемых поверхностей. При необходимости изготовить из листового материала неразвертываемую поверхность приходится кроме изгибания осуществлять также сжатие и растяжение определенных участков листа. Общий прием решения задачи на построение условной развертки не- развертываемой поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей— гранными, цилиндрическими или коническими.