Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 46

Связь между ортогональными и аксонометрическими проекциями позволяет преобразовать последние в проекции ортогональные и решать на них метрические задачи. В тех случаях, когда геометрическая фигура Ф расположена в одной нз координатных плоскостей или в плоскостях, параллельных координатным, для определения метрических характеристик фигуры Ф достаточно выполнить построения, переводящие плоскость фигуры в положение, совмещенное с плоскостью чертежа (или параллельное ей) . Геометрические построения, которые необходимо осуществить для совмещения координатной плоскости с плоскостью аксонометрической проекции, можно проследить на рис. 319.

Пусть заданы аксонометрические оси х", у' и го . Строим треугольник следов, для чего на оси хо отмечаем произвольную точку Х". Через Хо проводим стороны треугольника Хо Уо12» Х»Ео1уо и Х»Уа1хо. Прямые (Х" У" ), (Хааа), (оаоуа) Явлаютса следами каРтинной плоскости а на кооРдинатных плоскостлх (Хау,'„) =- Аоо„, (Лоаеао) == Гона и (Еа»Уао) л юона. ДлЯ совмешенин плоскости хОу с плоскостью а необходимо йовернуть ее вокруг горизонтального следа Й оа.

При этом точки Х,", и У,"„плоскости хОу, как принадлежащие оси вращения й» „, не меняют своего положения во время вращения. Поэтому для определения совмещенного положения плоскости хОу достаточно повернуть точку О до ее совмещения с плоскостью а. Точка О при вращении вокруг оси И3а будет перемещаться по окружности с центром в точке С".

Эта окружность принадлежит плоскости т 1 а. ,о ч» х" Рис. 320 Рис. 319 222 Ах»»и»метрические ироекиии ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ). Какие проекции называются аксонометрнческнмн? 2. Как производится переход от ор. тогональных координат к аксонометрнческнм? 3. Что такое треьгольннк следов? 4. Чему равны показатели нскаження по аксонометрнческнм осям в прямоугольных изометрических н днметрнческнхпроекцнях? 5. Как определить аксонометрические осн, есин задан треугольник следов ортогонал ьных аксонометрических (нэомет- рнческнх н днметрнческнх) п)юекцнй? 6.

Что такое аксонометрический масштаб? 7. Укажите коэффициенты искажения для большой н малой осн эллнпса — аксонометрнческой проекции окружности, прннадлежашей коордннатной плоскости (нлн параллельной ей) для нзометрнн н днметрнн. 8. Сформулнруйте теорему Польке. 9. В чем разлнчне между прямоугольными н косоугольнымн аксонометрнчес. кими проекциями? Сонмещенное положение точки Оо находигси в точке пересечения перпендикуляра к оси вращении )>"„а, провецениого через О", и дуги окружности с центром в точке С", ралиусом С»Х»т.

Справедливость этого утверждения ньиекает из того, что н натуре Х~О»'Уо .—. ЧО . В»и>олненные построения обеспечивая>т равенство ХпО» г"„90, так как он образонан хордами, опиран>щимися на диаметр. Дли определении совмещенного с плогкостьк> а положения точки А, принадлежащей плоскости хОУ, цостаточио пронести ирнмук> ао > (О»А»), найти ее совмещенное положение а о и на а о опрецелить точку Ао. Совмещенное положение плоскостей хОх и УОг с аксонометрической ило< костью и находится аналогично рассмотренному случаю с той лишь разницей, что вращение плоскостей осуществляется соответственно вокРУг осей Г~о'а и ш,"и.

Г!ронецение примой, перпендикулярной к плоскости, является одной из основных метрических задач. Проследим, как может быть решена эта задача с помощьк> совмещения коорцинатной плоскости с аксонометрической. Пусть требуется провести прямую 1, перпенцикулярную плоскости )) и проходящую через точку О (рис. 320) .

РЕШ ЕНИЕ. 1. Строим треугольник следов Х»УаЕп>, для чего на оси хо отмечаем точку Х'„. При выборе положения точки Х,о ,необходимо следить за тем, чтобы дяе стороны треугольника следов пересекали следы зацанной плоскости 1). 2. Определяем (А»В») — линию пересечения плоскости )) с плоскостью аксонометрии а ( (А" Во ) == 1) О и] . 3. (А" В» ) — след плоскости р на плоскости а, поэтому аксонометрическая проекция перпендикуляра 1' будет перпендикулярна к (А'В') . Проводим 1» так, чтобы 1» ! (А»В" ) е"> (1» ВО» ) .

4.е Чтобы построить вторичную проекцию перпендикуляра, совмещаем координатную плоскость хОУ с плоскостью и (построения выполнены аналогично показанным на рис. 319). Совмещенное положение следа )>оо>> определяется точками Х"»В . Из точки Оо опускаем перпендикуляр О»С»о на прямую )> око. Зная положение Со, находим С . о о о о е Определяем вторичную аксонометрическую проекцию перпендикуляра(>о Следует иметь в виду, что решение метрических задач на аксонометрических проекциях сопряжено с определенными трудностями.

Поэтому целесообразно при выявлении метрических характеристик геометрической фигуры„заданной в аксонометрических проекциях, перейти к заданию этой фигуры в ортогональных проекциях и решать задачу так, как это было рекомендовано в гл. >11. глАвА 1Х ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ ДЛЯ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Г10НЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Всего лишь три десятилетия отделяют нас от того дня, когда первая ЭЦВМ решила первую задачу. Сейчас трудно найти область научной, инженерной и административно-хозяйственной деятельности, где бы ни использовались быстродействующие вычислительные машины и комплексы.

Начиная с 1963 г., в Советском Союзе ведутся работы по созданию машинных языков для описания графической информации и использованию ЭЦВМ для автоматизации процесса конструирования, в частности автоматизации процесса составления и чтения чертежей. Несколько позже появились работы, посвященные решению проблемы комплексной автоматизации графического решения задач с использованием для этой цели электроники и вычислительной техники.

Приведенный ниже матриал познакомит вас с основными вопросами проблемы автоматизации процесса решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме, и возможными путями их практической реализации. Вы освоите также технику программирования, точнее — составления управляющих программ (схем счета) и способы выбора наиболее рационального машинного алгоритма. 6 ?1.

О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭЦВМ ДЛЯ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Отметим сразу, что использование современной электронно-вычислительной машины является не только возможным, но, как это будет показано, вполне логичным путем для решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме. Возможность применения ЭЦВМ для аналитического решения задач сейчас ни у кого не вызывает сомнения. Если мы обратимся к графическому решению задач, то легко убедиться, что между графическим и аналитическим способами решения имеется много общего. Эта общность вытекает из изоморфизма между алгеброй и геометрией.

Действительно, основными неопределяемыми понятиями математики являются точка и число. Многообразие (множество) точек определяют различные геометрические фигуры, которые являются предметом изучения в геометрии. Изучением многообразия (множества) чисел, 224 Иенользоаание ЭЦВМ для гра4ичееного решения задач выраженных в символической форме, занимается алгебра. Любое теоретическое исследование в области точных наук осуществляется путем использования различных математических операций. Простейшей операцией в геометрии является движение, с помощью которого можно каждую точку (множество точек) перенести в некоторую другую точку (другое множество), установив взаимное соответствие между старым (исходным) и новым (преобразованным) положениями.

Аналогичной операцией в алгебре служит преобразование, устанавливающее соответствие между числами и их многообразиями. Изоморфизм между алгеброй и геометрией позволяет алгебре приобретать геометрическую форму и наоборот. Достаточно ввести понятие гипоточки (элемент пространства, точечность которого на единицу меньше точечности точки — пустое множество), чтобы записать элементы многомерного пространства в символике арабских цифр в виде конечного множества О, 1, 2, 3, ..., А(, полностью сходного с конечным множеством чисел О, 1, 2, 3, ..., Ф. Между операциями над элементами пространства и действиями над числами много общего.

Так, например, пересечение элементов пространства, выраженное в аддитивной записи, напоминает сложение целых чисел. Аналитическое решение задач, выраженное в форме уравнений, сводится к операции исключения неизвестных. Аналогичные приемы применяют и при графических решениях. Более того, в самой идее проецирования трехмерных объектов на плоскость проекции (основного метода начертательной геометрии) используется прием исключения одной из трех координат. Соответствие между алгеброй и геометрией позволяет при решении математических задач не делать (с чисто формальной точки зрения) различия, каким способом оно осуществляется: аналитическим или графическим. Различие между графическими построениями и алгебраическими преобразованиями, являющимися промежуточными операциями, которые приходится выполнять в процессе решения задачи, есть лишь формальная сторона вопроса.

Она не может служить поводом для утверждения, что имеется принципиальное отличие между графическим и аналитическим методами решения. Более существенным оказывается не отличие двух методов решения, а то общее, что объединяет эти методы.

Основанием для такого объединения является: 1) выполнение в определенной последовательности различных логических и арифметических (или графических) операций; 2) использование промежуточных результатов в ходе последующих операций; 3) необходимость изменять направление процесса решения в зависимости от результатов промежуточных операций. Таким образом, для осуществления автоматизации процесса решения задач нужно иметь машину, которая должна: — производить в определенной последовательности различные логические и арифметические операции, необходимые для решения задачи „ — иметь устройство для хранения исходных величин и промежуточных результатов; — быль способной автоматически выбирать нужное продолжение дальнейшего процесса решения в зависимости от результатов промежуточных операций. 225 О иозиозсиости исио»ьзоииии» Зс(ВМ д»я сиифичесиого рсшеиия задач Всем этим требованиям отнечанп электронные цифровые вычислительные машины.

Что касается вьнюлнения геометрических построении, то они необходимы, если решение задачи осуществляется нручнунь При переходе к машинному решению оказывается возможным избежать таких построении (см. ь~ 74). Последнее утверждение основано на богатом опыте, накопленном в результате механизации процесса ручнога труда. Известна, что машина выполняет какие-либо операции, взятые из сферы физической деятельности человека, не так, как это делает человек. В этом легко убедиться на простом примере: швейная машина, предназначенная для облегчения труда шнеи, сшивает ткани лучше и быстрее, но не так, как это делает швея. Очевидно, машинизируя процессы, взятые из области умственной деятельности человека, мы встретимся с таким же явлением. Можно показать, что использование ЭЦВМ для автоматизации процесса решения задачи графическим методом является не только возможным, но в ряде случаев и более логичным, чем применение таких машин для автоматизации процесса решения задач аналитическим способом.