Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 41

289. РЕШЕНИЕ. Из произвольной точки К проводим прямые с и г( (с (( а и В (( Ь) . Определяем величину угла 9' (см. 9е 99, пример 1, рис, 279) . ПРИМЕР 1. Определить угол между скрещивающимися прямыми а и Ь (рис. 289). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие характеристики геометрических фигур называют метрическими? 2. В каких случаях угловые величины проецируются без искажения? 3, Как решается задача по определению величины угла между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями? 4. Что является мерой угла между скрещивающимися прямыми? б. Как построить на зла>ре Монжа про- екции двух взаимно перпендикулярных прямых; прямой, перпендикулярной плоскости; двух взаимно перпендикулярных плоскостей" 6.

Как определить величину отрезка прямой общего положения по его ортогональным проекциям? 7. Как определить расстояние от точки до плоскости; между плоскостнми; между параллельными и скрещивающи. мися прямыми? глАвл Уц РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕИ .' )(,1., «, 1 ~:.~ ~ '«(,' ~):() ') С( 7)( ~~( Приступая к изучению развертки поверхности, посляднюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостькь Если при этом отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.

Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, относятся к неразвертываемым поверхностям. К группе развертывающихся поверхностей относятся только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имек1т пересекающиеся смежные образующие. Точка пересечения может быть как собственной (поверхности с ребром возврата и конические), так и несобственной (цилиндрические поверхности) .

Деформацию поверхности а для получения ее развертки можно представить как постепенное ее разгибание (совмешение с плоскостью (), касательной к этой поверхности). На рис. 290 задана коническая поверхность а и показана касательная к ней плоскость (). Образующая я — линия касания. Отметим на направлнюшей конической поверхности г( точку 2; проведем через нее образующую конической поверхности (Я2). Если расстояние между точками 1 и 2 мало, то отсек конической поверхности, заключенной между образующими 31 и 32, можно с определенной степенью точности отождествлять с Л 1Я2. Если теперь мы повернем Ь 132 вокруг стороны 1Я до его совмещения с плокостью (), то получим Л 1,32,, представлякцций развертку отсека 1Я2 поверхности а на плоскость (). При перемещении точки 2 в положение 20 направляющая конической поверхности д переместится в положение 4,, а точка 3 е 4 займет положение 3, е 4,.

Соединив точку 3, с вершиной Я, получим отсек конической поверхности 2,33, ~ 2ЯЗ, который, как и в предыдущем случае, можно с определенной степенью точности рассматривать как Ь 2,3З, . Вращая этот треугольник вокруг сторояы Я20 до совмещения с плоскостью З, получим й 2,ЯDŽ— развертку отсека 2ЯЗ поверхности а на плоскость () . Отметив на направляющей д точки 4, 5, ..., М принимая их за вершины треугольников ЗЯ4, 435, ..., (Ф вЂ” 1)ЯМ и осуществлял их последовательный поворот вокруг предварительно совмещенной стороны этих треугольников, можно получить приближенную развертку по'верхности а на плоскость (). Для выполнения показанных на рис. 290 построений необходимо, чтобы плоскость, касательная к поверхности, касалась ее по прямой Основные свойства развертка 197 поверхностей 5=50 о а « Рис.

990 образующей, которую принимаем за первоначальное положение оси вращения. Если касательная плоскость касается поверхности в точках, принадлежащих линии, то такие точки называют параболическими (см. гл. Ч, 9 46). При этом у торсовых поверхностей (конических, цилиндрических, с ребром возврата) линии, образованные параболическими точками, — прямые, которые можно принять за оси вращения (см.

рис. 290), Поэтому ранее отмеченный признак для развертывающихся поверхностей может быть заменен следующим: к развертывающимся поверхностям относятся поверхности, имеющие только параболические гочки*. Построение разверток имеет большое практическое значение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из плоского (листового) материала путем его изгибания. 9 63. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С позиции теории множеств поверхность и ее развертку следует рассматривать как два точечных множества.

Так как по определению развертка поверхности представляет собой плоскую фигуру, образованную из поверхности без разрывов и склеивания, то между отмеченными двумя множествами устанавливается взаимно-однозначное соответствие: каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот. Фигура 1Я2, образованная подмножеством точек, принадлежащих поверхности и, конгруентна фигуре 1Я2е, принадлежащей развертке ав. Аналогично Ь 2ЯЗ С а Ю 2вЯЗ, Са, и т. д. Отсюда следует, что расстояние между точками 1 и 2 или любыми другими точками, взятыми на фигуре 1Я2, равно расстоянию между точками 1а и 2е фигуры 1,Я2„.

На основании этого можно сформулировать следующие свойства: 1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой, следствием чего является: «К таким поиерхноетнм отноеятсн торсы, при атом особые точки, принадлежащие ребру аоаврата или вершине конической поверхности, но внимание не принима«ется. 198 рнзнеутке нонеркчоктеи Во 'о Со ~Во Со~ =по ~ВС)=д д=до'Р Уо 'Р'='Ро Рис. 291 замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь. 2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствуюи1ими им линиями на развертке*. Рис.

291 дает наглядное представление о развертке как взаимно- однозначном преобразовании, сохраняющем равенство: а) расстояний между точками; б) углов между линиями; в) площадей фигур. Кроме перечисленных свойств, следует отметить также: 3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке (обратное утверждение не имеет смысла) . 4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке. 5.

Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то зта линия является геодезической**. з 64. РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКОВ Развертка поверхности многогранников известна читателю из средней школы. Поэтому на этом вопросе лты останавливаемся кратко, только в плане повторения известных ранее сведений. Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью. Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей: 1) способ нормального сечения; * Геометрическое преобразование, при котором сохрзияются величины углов, иезывеется коифориым, следовательно, построение разверток является коифориым преобразованием, а поверхность и ее развертка коифориы. «еГеодезическои иазывеется линия, прииадлежзщзя поверхности и соелиияю- щая кратчайшим путем две точки, также принадлежащие поверхности, Развертка ноесрхности миогогрании кое 199 2» способ раскатки; 3) способ треугольников (триангуляции) .

Первые два применяются для построения развертки призматических поверхностей, третий — - для пирамидальных поверхностей. Рассмотрим каждый их этих способов. 1. Способ нормального сечения. еНа рис. 292 ребра АР, ВЕ и СР параллельны плоскости лы поэтому они проецируются на эту плоскость без искажения. Если ребра призмы занимают произвольное положение, то прежде чем приступить к построению развертки, следует с помощью способов преобразования перевести их в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.

Ве В 2" Е" А В А Ее Рис. 292 ПРИМЕР. Построить развертку наклонной трехгранной призмы А ВСРЕЕ (рис. 292). РЕШЕНИЕ. Пересечем призму АВСРЕЕ плоскостью т,перпендикулярной к боковым ребрам призмы. Построим сечение заданной призмы этой плоскостью Л 123. Определим длины сторон Ь 123. В свободном месте чертежа проведем прямую а (на рис. 292 прямая а проведена горизонтально). От произвольной точки 1с, взятой на этой прямой, отложим отрезки [ 1о 2е 1 [ 2е Зо), [ Зе 1е ), конгруентные сторонам Л 123.

Через точки 1е 2о Зе, 1с проведем прямые, перпендикулярные к прямой а, и отложим на них от точек 1е. 2о Зе 1е отрезки, коигруентные соответствующим длинам боковых ребер ([1А), [ 1Р], [ 2В), [2Е), ). Полученные точки АоВоСоле и Ре Ес Ре Ре соединяем прямыми ч Плескал фигура АаВеСеАепьуеЕеРе представляет собой развертку боковой поверхности призмы. Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо к развертке боковой поверхности пристроить основания призмы — Л АеВеСе и Ь РеЕере,предварительно определив их неискаженные размеры. 200 Развертка поверхностей 2. Способ раскатки. Этот способ целесообразно использовать для построения развертки поверхности призмы в том случае, когда основание призмы параллельно какой-либо одной плоскости проекции, а ее ребра параллельны другой плоскости проекции.

3. Способ треугольников (триангуляции). ПРИМЕР. Построить развертку боковой поверхности пирамиды ЯЛВС' (рис. 294). Развертка боковой поверхности пира- милы пРедставляет собой плоскую фигу. ру, состоящую из треугольников — граней пирамиды. На рис. 294 определение длин ребер пирамиды ныполнена с помощью вращения их вокруг оси (.Э Я и ) 1л,. Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью т плоскость у )~ лт и у О С Посде того как определены длины ребер (ЯнАт), ~Яелэ (, ~Я"Сэ ~, приступаем к пост- Вот Рис. 293 ПРИМЕР.