Пограничный слой (Методичка по Механике Жидкостей и Газов), страница 13

Начальные условия: при т=О: и = ио (х, у); Т = То (х, у). (6) Граничные условия для т>0: - на поверхности тела при х= О: ц=и(у, т); Т=Т(у,т); при у = 0: ц=О; ч =ч (х, с); Т = Т„(х, т) или при у=О: и=О; ч = ч„(х, т); дТ/ду = - с1„/ Х; - в ядре потока при у= оо: ц= цоо' Т= Тоо' дц/ду =0 ' дТ/ду =О. (10) Давление р, а также скорость иоо и температура Тоо за пределами пограничного слоя определяются в результате расчета невязкого идеального течения в ядре потока.

Поэтому в задаче расчета пограничного слоя эти параметры считаются известными для каждого сечения х и каждого момента времени т. Для потока с переменным составом теплофизические свойства, зависящие не только от температуры, но и от состава смеси, определяются на основе термодинамического расчетасостава и свойств по известным методам. Граничные условия для уравнения энергии [лекция №2 — формула (19)1 записаны в двух формах: в виде условий (8) и (9). Условия (8), (9) используются при расчете пограничного слоя на охлаждаемой (или подогреваемой) поверхности, в результате которого могут быть определены коэффициенты теплоотдачи.

Условие (9) используется также при расчете пограничного слоя на теплоизолированиой (адиабатной) поверхности (в этом случае ц„= 0; ЙТ/ду=О), в результате которого могут быть определены адиабатная температура стенки и эффективность газовой (или тепловой) завесы в различных сечениях. Эта система уравнений описывает турбулентный режим течения жидкости. Приламинарномрежиметечения р =/ =О.

Систему уравнений пограничного слоя целесообразно привести к безразмерному виду. Используются две формы безразмерных уравнений, отличающихся масштабами для независимых переменных х, у, т. За масиинибы принимаются стационарные (амплитудные) значения параметров в исходном сечении на внешнейгранице пограничного слоя. В первом случае связь между безразмерными и размерными значениями независимых переменных определяется соотношениями хо= ро цо х/ро' уо= ро ц у/ро' то= Ро цо т/И (11) 76 й д Т х — [г" ( Х+ 3 ) д ду ио Йи 2 1+ ( и+ р,)( — )'+ Кеосро То 1у йр др + и — )+ Ч,; Йт дх 1 ( (13) ро сро То Ноо дц Йц — + ч — )= дх Йу (1 ц — + ц д т 1 р(— Ноо дц ра д р+ р) ~1 у Роно д — [г" ( д + зОч» х (14) Й.со г" где ро, ио, цо — значения плотности, скорости и динамического коэффициента вязкости потока, принятые за масштабы.

Преимуществом использования такой формы представления уравнений является то, что результаты решения системы уравнений характеризуют процессы, протекающие при различных числах Рейнольдса Ке. При этом значительно облегчается выбор разностной сетки, поскольку поддержание требуемой точности численного решения при изменении числа Ке потока происходит автоматически без изменения ее размеров. Недостаток рассмотренной формы безразмерных уравнений состоит в том, что при переходе к другим значениям числа йе потока у выбранных для задания начальных и граничных условий узловых точек с размерными координатами х, у и моментов времени т изменяются их безразмерные значения хо, уо, то.

Поэтому здесь несколько усложняется подготовка исходных данных. Безразмерные уравнения в такой форме целесообразно использовать при расчетном исследовании влияния того или иного фактора на структуру пограничного слоя, интенсивность процессов теплообмена и трения. Во втором случае связь между безразмерными и размерными значениями независимых переменных определяется выражениями хо=х/1о', уо= Фо, 'то= т/то', (12) где Уо, то — масштабные значения для линейных размеров и времени соответственно. Система уравнений (1) - (3), приведенная к безразмерной форме вторым способом, имеет вид 1 ЙТ йТ ЙТ 1 р ср( — + и — + ч )= х Ноо й т д х с( у В.еоРго г" (17) 1 с1 р 1 с1 с1 + 1 ( р и г")+ — ( р ч г")1 =О. (15) Ноо с1 т г с1 х с1 Здесь Кео =роио/о/ро — число Рейнольдса; Ноо=иото//о — число гомохронности; г=г//о, с1,=с1„/о/(роцосроТо); з,=з,/о/(роцо ).

Верхняя черта обозначает 2 безразмерные величины. Результаты решения системы (13) — (15) характеризуют процессы, протекающие при конкретных значениях чисел В.ео, Ноо, но зато соотношение между размерными независимыми переменными х, у, т и безразмерными переменными х, у, т не зависит от значений чисел В.ео и Ноо. Поэтому здесь несколько облегчается подготовка исходных данных. Безразмерные уравнения в форме (13) — (15) целесообразно использовать для расчета обменных процессов в конкретной системе или устройстве. Любое из уравнений вида (1), (2), (13), (14) можно представить в форме а1 ж 1Т 1 1Т а +Ь вЂ” +с — =с1 — (т — )+ф+Ь, (16) с1т с1х с1у с1у с1у где Г- обобщенная функция, которой может быть придан смысл любой из величин Т, и, Т, и и т.п.; а, Ъ, с, с1, т, а, Ь - обобщенные коэффициенты, которым может быть придан смысл коэффициентов в соответствующем уравнении; х, у, т- независимые переменные, представленные в размерном или безразмерном виде.

Заметим, что в дифференциальных уравнениях энергии и движения пограничного слоя, записанных для "стандартных" условий - безградиентного обтекания гладкой непроницаемой пластины стационарным потоком несжимаемой жидкости с постоянными свойствами, коэффициенты а, а, Ь принимают нулевые значения. Поэтому ненулевые значения каждого из этих коэффициентов характеризуют интенсивность того или иного воздействия на пограничный слой. Любое из уравнений (3), (15) можно представить в форме с1р 1 с1 с1 у — + — ( — (р и г")+ (р ч г")1 = О .

с1т г" с1х с1у Здесь р — обобщенная функция, которой может быть придан смысл размерной р или безразмерной р плотности потока; и, ч — обобщенные функции, которым может быть придан смысл размерных и, ч или безразмерных и, ч составляющих скорости потока соответственно; г — обобщенная функция, которой может быть придан смысл размерного г или безразмерного г радиусов; у — коэффициент, определяемый из условия тождественности уравнения (17) одному из уравнений (3), (15) и принимающий численные значения 1 или 1/Ноо. Г12- Г1; + + Ь1-1!2! а1-112! 2Лт х; - х; ! з (6р-1 " 11,21) + (1 з) (6-11+1 " 6-1,1-1) + с1 1121 У3 у!1 2 с]1 !12, з (1',! ! - 11д-1)+(1-з) Ж-1,1.

- ~-1,-1) 1ш! 112!+1/г У! У! ! У1-! -У1 У! У1-! 2 где з - параметр усреднения, выбираемый из диапазона а=0,511. Разностный аналог дифференциального уравнения неразрывности (17) представим в виде 1 У! - У1-1 (Р~) 1-1 !2.! 1(рч) -112„-1 г"; 112, 1- и г ; 11г ! 2 (х;-х;,) НРц)Ц г1-- Анализ различных разностных схем для уравнений пограничного слоя, а также накопленный опыт проведения численного исследования позволяют заключить, что наиболее удобной с точки зрения обеспечения оптимального сочетания точности, трудоемкости и потребных ресурсов оперативной памяти ЭВМ является неявнан шестшпочечнаи разностная схема 2-го порядка аппроксимации по пространственным переменным и 1-го порядка аппроксимации по времени.

Для составления такой схемы на координатной плоскости х, у выбирается основная и две вспомогательные сетки. Связь между координатами хь у„узлов основной и координатами хь у,,!12, х1,!12, у; узлов вспомогательных сеток определяется соотношениями х1.,112 = 0,5 (х;+ х;,!); у„,!12 = 0,5 (у,+ У„,1), (18) где ! — номер расчетного сечения вдоль оси х; ! — номер слоя вдоль оси у. Шаги сетки Лх=х1,! - х; и Ау=У;,! - у; в общем случае могут быть переменными по толщине пограничного слоя и от сечения к сечению. Значения функции Ги коэффициентов а, Ь, с, д, гп, д, Ь в узлах основной или вспомогательной сеток в момент времени т в дальнейшем обозначаются следующим образом: Г~, а'!.11г„, т'! 112„.,112 и т.п.

Те же значения в момент времени т+Лт обозначаются аналогично, но без штриха (например, 11,ь а1-112,!, ш1-м,!+112 и тп). С учетом сказанного разностный аналог дифференциального уравнения (16) представим в виде 6-1,1 - 1'ь!~ + 11,! - 1'1,; 79 и !!/ Г 1-1/г 1-1/2 (У! У!-1) п п п -( )-. г - +( ) - г 1,- -( )1-1,!- г -1,- 1- х 4Лт (20) "(Р11+ Р1-1,!+Р1!-1+Р1-Ц-! - Р1,! - Р -Ц - Р1,!-1- Р1-11-!)1. Разностное уравнение(19) представим в более компактной форме а! Гц" + / 1 Г1,! + //1 !/1~+1 5! (21) где коэффициенты а,, р!з у, б„определяются из условия тождественности выражений (19) и (21): Б 2 11! пг1 и1; пг/ ьг а1 =- ( с1 1/г~ + ); (22) У1 1- У/2! У1 - У1-1 1/!-1/21 2 а А-1/2! п11-1/2~~1/2 п11-1/2!-!/2 К1-1/24 а! 1/г,! ( + ) - —; (23) + + 2Лт х;-х! у 1-у! у 1-у; у„-у! 2 2 111-!/21 пг!-!/2 1+1/2 ( с;1/2;+ ); У! -! У! (24) У/ -1 - У1-1 а!-1/г! (1- а ) $ ! !.! 2 !11-1/2, п11-!/2 !-1/2 б„=- (1'!!-1'11!)+ (С1.1/2,! + ) + 2Лт У!+1 - У1-1 У1 - У1-1 171-1/2/ 2 (1 з ) 111-1/2,! и!1-1/2,!~1/2 п11-1/2,!-1/2 ( + )+ х1-х11 У,„-У,, У1 ! У1 У! У1-! + Г.! К!-1/2~ а1-1/22 (1 а ) 1ь1,!~! 1- (С1 !а,!- 2 2 Лт у„,! -у„! 2 с11-1/2, п1! 1/2„+1/2 ) +11!-1/2,!.

(25) У1!-1 - У1 Система алгебраических уравнений (21) совместно с уравнениями (20), а также с уравнениями, определяющими значения коэффициентов турбулентного переноса Р„Х, (для турбулентного режима течения), и выражениями, определяющими зависимость теплофизических свойств р, р, Х, ср от параметров состояния, решается методом прогонки. При этом решение уравнений (21) ищется в форме Г;„=А„Г1,,!+В„., (26) где А;, В; - прогоночные коэффициенты. 80 Напомним, что в соответствии с гипотезой Л.Прандтля о пропорциональности масштаба турбулентности 1* координате у (Р'=ж .у, где ж =0,4), при допущении единства механизмов турбулентного переноса теплоты и количества движения (турбулентное число Прандтля Рг,=р,ср/~.„=1), можно для определения коэффициентов турбулентного переноса р„Х,, использовать уравнение: д и 1п ц, /р = Х„/(р с,)=(/*) ! — ! = (ае у) ! — 1 . 1у 1у Из выражения (26) следует, что 1';„ч =А„ч (;, +В; и (27) Подставив в уравнение (21) вместо величины Г, ~ ее значение, выраженное зависимостью (27), получим а„(А, ~ К, +В„,) + ~3, Г „+ у, 1;;,~ = б,.