Пограничный слой (Методичка по Механике Жидкостей и Газов), страница 14

(28) Из условия тождественности выражений (26), (28) получаются соотношения для определения прогоночных коэффициентов А,, В,: У1 б,-а,В,~ А„=- (29) а„А,,+ ~3, а;А;~+Ц Расчет структуры пограничного слоя осуществляется последовательно для моментов времени Лт, 2 Лт, 3 Лт и т.д. При этом значения функций 1; р во всех узловых точках в момент времени т=О определяются из соответствующих начальных условий. Для каждого момента времени расчет производится последовательно,начиная с сечения 1=2, при этом все необходимые параметры потока в предыдущем сечении находятся из граничных условий для х=О 1например, из условий (7)1. Первоначально по выражениям (29) рассчитываются прогоночные коэффициенты А;, В, во всех внутренних узлах 3 =2+(М-1), где М вЂ” общее число узлов поперек полосы интегрирования в направлении координаты у.

Значения прогоночных коэффициентов Ан В, на поверхности стенки при)=1 находятся из граничных условий для у=О (например, из условий (8) или (9)). Граничные условия, как это видно из (8) и (9), могут быть заданы в разных формах. Наибольшее распространение получили следующие формы у=О: Ы„; (30) у= о: ыьу=(тьу) „. (31) Для граничных условий вида (30) прогоночные коэффициенты Ан Вн как это следует из выражения (26), принимают значения А~=О; В~=1'„. (32) Так, например, коэффициенты А,", В," для скорости ц и коэффициенты А~, В~ для температуры Т, соответствующие граничным условиям (8), т т принимают значения А~"= В ~" =0; А~ =0; В ~ = Т„.(х, т).

(33) Для граничных условий вида (31) коэффициенты Аь В1 принимают зна- чения А|=1; В1= - уг ИЫу)„. (34) В частности, прогоночные коэффициенты А1, В1 для температуры Т, т т т соответствующие граничному условию (9), принимают значения А1 =1; В, =у2с1„/Х. При расчете теплового пограничного слоя на теплоизолированной поверхности (ц„=О) коэффициент В1т обращается в нуль.

При расчете по выражениям (22) - (25) величин а„, ~3,, у оь необходимых для определения прогоночных коэффициентов в узловых точках )=2+(М-1), приходится задаваться еще не вычисленными значениями некоторых параметров. Эти значения в первом приближении принимаются равными их известным значениям в предыдущем сечении, а в последующих приближениях уточняются. Процедуру вычисления коэффициентов А;, В с использованием соотношений (29) называют прямой прогонкой. В дальнейшем по уравнению (2б) во всех узловых 1=2 —:(М-1) 1если граничные условия заданы в форме (30)1 или в точках )=1+(М-1) [если граничные условия заданы в форме (31)1 сечения 1 находятся значения параметров Г;.

При этом расчет начинается с точки 1=М-1. Значение у, вы- бирается таким образом, чтобы оно было заведомо больше максимальной толщины пограничных слоев в исследуемом диапазоне изменения величины х, поэтому можно записать равенство Г „= Г;оо. Значение К оо определяется из решения уравнения (16), записанного для внешней границы пограничного слоя, где выполняются граничные условия вида (1.9), Ж Ж а — +Ь вЂ” =8Г+Ь. (35) (К Йх Процедуру определения величины Г„по выражению (2б) называют обратной прогонкой. После расчета величины Г„во всех узловых точках рассматриваемого се- чения по выражению (20) определяется плотность массового потока рч и по- перечная скорость ч.

Расчет по выражению (20) начинается с узла )=2, при этом значение ч; ~, находится из граничных условий (8),(9) для скорости ч. Указанные операции в рассматриваемом сечении повторяются до полу- чения требуемой точности (до тех пор, пока разница параметров в одной и той же точке в предыдущем и последующем приближениях, отнесенная к одному из этих параметров, не окажется меньше наперед заданной малой величины). После расчета с установленной точностью всех параметров в рассматриваемом сечении осуществляется переход к следующему расчетному сечению и т.д.

После расчета пограничного слоя на заданном отрезке Лхр „для момента времени т все повторяется для следующего временного слоя т+Лт и т.д. до достижения заданного момента тр,,„, В заданных сечениях вдоль координаты х в заданные моменты времени т производится расчет интегральных характеристик пограничного слоя, чисел Стантона Я или эффективности завесы 9 (если расчет выполняется для адиабатной поверхности), коэффициентов трения сг и др. Локальные и интегральные характеристики пограничного слоя рассчитываются с использованием найденных профилей скорости и температуры в сечениях пограничного слоя.

Приведем расчетные соотношения, соответствующие второй форме безразмерных переменных. Коэффициент сопротивления трения с!/2=2„,/(Роо иоо )=[Ф( Роо "оо )1 2 2 (г1ц/сну)г~о.' сг ( 1г!,3!2 + 1з п,з!2) ц!,2 (36) 2 2 Кео Р;,м ц!,м У2 Здесь касательное напряжение трения на стенке т„находится с использованием закона Ньютона. Число Стантона Я=а/(роо иоо сроо)= - Х(дТ/с1у)у=о/[(Тоо - Т ) роо цоо срок где а — коэффициент теплоотдачи: ( Х! 3/2 + ~"т!,3!2) ( Т! 2 — Т! !) (37) у! Р!,! ц!о — соз е; )" (1- г;„ Ром М Ке*=0,5Кео р, ц!, Х([(1- !=2 у! -! +(1- созе;)" (1- г;„ ! Р!,м Здесь е; — угол наклона и!! ! )1( У! УЗ-!)1' (38) м!,и образующей к оси поверхности вращения в сече- нии ь %в Кео Рго р!,„и!„ср!„У2( Т; - Т! !) Эффективность завесы 9=(Т„- Т. „)/ (Т„- Т„о), где ҄— температура теплоизолированной поверхности при отсутствии завесы; Т,д „вЂ” то же при наличии тепловой или газовой завесы; Т„о — температура поверхности стенки в начальном сечении теплоизолированного участка.

Эффективность 9 определяется по результатам двух расчетов структуры пограничного слоя, выполненных при отсутствии завесы и при ее наличии. В первом расчете на поверхности стенки задается условие теплоизоляции (г1Т/!1У=О) на всей расчетной длине, а во втором — только за пределами участка формирования завесы. Число Рейнольдса Кем=роо иоо б*/ро, построенное по толщине вытеснения 83 Число Рейнольдса Ке**=роо цоо 5**/ро, построенное по толщине потери импульса Ь**: Рц цц цц (1- )+ Рьм цт,лт ц;м м У2 Ке**=0,5Кео р;„ц;,Х Ц(1- — созе;)" 1=2 г;; У~ -2 +(1- — созе;)" г;„ ~ Ро,м %,м мо,м Число Рейнольдса Ке,*л=роо цоо б,**/ро, построенное по толщине потери энергии Ь,.**: Ро,з-1 По,1-~ (1- цц-1 )1( у, - у,,)).

(39) р;, ц;; Т;-Тл созе;) (1- ) + р;,„ц;,„Т;,„- Тц М у, Ке,'*= 0,5 Кео рсм ц; „Х [[( 1- )=2 г;„ (45) Т;м- Т;, Рц чте У02 Кеор;, ч,. у, (46) Чч Рм И2,1 Пересчет параметров пограничного слоя с узлов основной сетки на узлы вспомогательных сеток при необходимости осуществляется путем линейной интерполяции. Остановимся на вопросах выбора шагов Лт, Лх, Лу разностной сетки. Для рассмотренной разностной схемы на шаг Лт не накладывается иных ограничений, кроме ограничений по условиям точности. В первом У1 -1 р~ 1 цц1 Т;„. ~- Ты +(1- созе;)" (1- )1( у, - у„.,)). (40) г;, , Рт,м цьм Т;м- Т;, Формпараметр пограничного слоя Н=о*/о**: Н=Ке*/Ке'*.

(41) дииаиическаа скорость ч. = Л т~роо , отиесеииаи к скорости ио: ч.= ио„'~ с~2 (42) Тепловой аналог динамической скорости ч,„, отнесенный к скорости цо. ч,.= ц;,,~Г% . (43) Безразмерная скорость <ра в/ ч. и безразмерная координата Ч=р ч. у/н: (р1= ц;,„/ ч* П= р ч уо / рц=Ке, р;„ч.

у,/ Нц. (44) Безразмерная температура <р,=(Т - Т„)/[ чте (Тоо - Т„)) и безразмерная КООРДИНата П,=РЧте У/и,: 1 Т; - Т;, приближении значение шага Лт0 может быть выбрано из диапазона Лт0=(1-:5) 10'. В последующем шаг Лт0 (или соответствующий ему шаг Лт) корректируется в сторону увеличения или уменьшения с тем, чтобы обеспечить заданную точность решения.

Точность решения определяется путем сопоставления результатов, полученных при разных значениях шагов сетки. Более сложен выбор шагов Лх, Лу. Из-за резкого изменения по толщине пограничного слоя поперечных градиентов скорости, температуры и других параметров потока использование сетки с постоянным шагом Лу приводит к необходимости задания чрезвычайно большого числа узлов поперек полосы интегрирования.

При этом трудоемкость расчетов и потребные затраты машинного времени возрастают до неприемлемого уровня. При использовании сеток неравномерных по толщине пограничного слоя открывается возможность обеспечения достаточной точности при сравнительно небольшом (3 —:100) числе узлов поперек полосы интегрирования (при расчете турбулентного пограничного слоя как минимум 214 узла должны располагаться в пределах вязкого подслоя). Однако неравномерные сетки усложняют проблему обеспечения устойчивости решения.

На основании серии методических расчетов выявлено соотношение шагов сетки в поперечном направлении, которое применительно к рассматриваемым условиям близко к оптимальному: 1,1,2,3,4,5,6,8,10,15, 20,30,40,50,60,60,...,60. Здесь за единицу принят минимальный шаг сетки около обтекаемой поверхности. Абсолютный размер минимального шага Лу0 (или Лу) должен выбираться в зависимости от толщины пограничного слоя в начальном сечении ( х0=0). Обычно значение минимального шага Лу0 можно выбрать из диапазона 10150. На шаг интегрирования Лх в продольном направлении в общем случае накладываются ограничения по условиям устойчивости разностной схемы.