Пограничный слой (Методичка по Механике Жидкостей и Газов), страница 8

Эта разность температур не зависит от закона вязкости р(Т). В случае стенки в виде плоской пластины, передающей тепло, при Йр/дх=О и Т;-сонат, граничными условиями будут: 1)при у — +со ц=ц00 и Т=Т00' 2) при у=О ц=О и Т=Т„. Они приводят к решению: Т-Т,„Т„ц 1с-1 ц ц = (1 - — ) — + М вЂ” (1 - — ) (при Рг=1). (22) Тоо цоо 2 цоо цоо Вопрос о том, переходит ли тепло от стенки к движущемуся газу или наоборот, легко разрещается путем выяснения знака у производной температуры по скорости на стенке (йТ/йц),„, поскольку градиент скорости (дц/йу)„,>0 . Продифференцировав соотношение (22), получаем: 42 г цоо цоо йт т„ — ( — ) =1- — + Тоо й~ Тая 2 ср тоо Если (дт/дц) <О, то тепло переходит от стенки к газу.

Если (йт/йи)„.>0, то тепло переходит от газа к стенке. Следовательно, критерием перехода тепла от нагретой стенки к газу при числе Прандтля Рг=1 будет (Т„- Тро )> иоо /(2 ср) или (т„- т„)> м'(1 -1)/г. При Рг~1 тепло, возникающее вследствие сжатия, как показали исследования, лишь очень незначительно изменяет равновесную температуру по сравнению с ее значением в несжимаемом течении, которая определяется выражением: г цоо Т 1с-1 ц Т„-Т, и =1+ м'11 -( — )'-1 ~1- — 1, (24) Тоо 2 иоо Тоо цоо причем для определения равновесной температуры Т„следует пользоваться известной формулой (23). Условие передачи тепла от стенки к газу (или наоборот) получается из уравнения (24) в виде: Т„- Тоо> г цоо /(2 ср) или Т - Тоо> г М (1с-1)/2.

ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Если вдоль контура тела имеется область возрастающего давления, то в общем случае жидкость, заторможенная в пограничном слое и обладающая поэтому небольшой кинетической энергией, не в состоянии слишком далеко продвинуться в область высокого давления. Вместо этого она отклоняется в сторону от области высокого давления, отрывается при этом от тела и оттесняется от стенки во внешнее течение (рис.4.2).

1с-1 Т,= Тоо + г = Тоо (1+ г М ) (при Рг~1), (гз) 2ср 2 где г — коэффициент восстановления, представляющий собой отношение нагревания (Т„-Тоо) продольно обтекаемой пластины вследствие трения к нагреванию вследствие адиабатического сжатия (Лт) = иоо /(2 ср). г При ламинарном течении коэффициент восстановления равен г=1 Рг. Для воздуха 1с=1,4; Рг=0,723 и тогда г=0,851, а Т,= Тоо (1+ 0,170 М'. При турбулентном течении коэффициент восстановления равен г= ч Рг. 3!— Для воздуха г=0,896. При наличии теплопередачи соотношение, связывающее распределение скоростей и температур, вытекает из уравнения (22), обобщенного для любых чисел Рг: 43 Рис.4.2.

Схема отрыва по- граничного слоя (А - точка отрыва): а) - линии тока вблизи точки отрыва; б) — распределение скоро- стей вблизи точки отрыва (Р - точка перегиба) А х (дц/ду)*0 (ди/ду)о=О ~ди/ду)о<0 Кроме того, вблизи стенки заторможенные частицы жидкости под действием градиента давления обычно начинают двигаться в сторону, противоположную направлению внешнего течения. Точку отрыва определяют как границу между прямым и возвратным течениями в прилегающем к стенке слое и, следовательно, в точке отрыва должно соблюдаться равенство: ди ( — )у=о =О. (25) ду Это означает, что профиль скоростей имеет в точке отрыва пограничного слоя касательную, образующую нулевой угол с нормалью к стенке в точке отрыва.

Профили же скоростей позади точки отрыва имеют вблизи стенки участки с направлением скорости против основного течения (рис.4.2,б). Для выяснения вопроса, возникает ли отрыв пограничного слоя и если возникает, то в какой именно точке, необходимо в общем случае выполнить интегрирование уравнений пограничного слоя. Обычно точка отрыва является тем местом, до которого только и возможен расчет пограничного слоя, поскольку уже совсем немного позади точки отрыва толщина слоя, в котором проявляет свое действие трение, становится столь значительной, что предположения, положенные в основу составления уравнений пограничного слоя, больше не соблюдаются.

Б том, что при стационарном течении отрыв пограничного слоя может возникнуть только в зоне замедленного течения йр/дх>0, легко убедиться также путем рассмотрения связи между градиентом давления йр/дх и распределением скоростей и(у), вытекающей из уравнений пограничного слоя. Вследствие граничных условий: при у=О, ц=О и ч=О из уравнения движения для стационарного течения сразу следует что 2 да йр Р( — )~=— (26) ду Йх 44 Далее, если мы продифференцируем уравнение движения по у, то с учетом уравнения неразрывности получим: д3 ( )-0=0 (27) ду Следовательно, в непосредственной близости от стенки кривизна профиля скоростей определяется исключительно перепадом давления, а потому вместе с переменой знака градиента давления меняет свой знак вблизи стенки и кривизна профиля скоростей.

Согласно равенству (26) для течения, в котором давление понижается в направлении движения (ускоренное течение, др/дх<0), величина (д и/ду ),~<0 2 2 на стенке, а потому (д ы/ду )<О по всей толщине пограничного слоя (рис. 4.3). 2 2 Рис.4.3. Распределение скоростей в пограничном слое при понижении давления в направлении течения и/ду2 Для области течения, в которой давление повышается в направлении движения (замедленное течение, др/дх>0), величина (д'и/ду ),=0>0 на стенке, но так как на некотором расстоянии от стенки всегда (д и/ду )<О, то в этом случае 2 2 внутри пограничного слоя должно быть место, в котором (д'и/ду')=О.

Это место есть точка перегиба профиля скоростей в пограничном слое - точка Р (рис. 4.4). Рис.4.4. Распределение скоростей в пограничном слое при возрастании давления в направлении тече- ния и/ду' Таким образом, в области замедленного внешнего течения профиль скоростей в пограничном слое всегда имеет точку перегиба. С другой стороны, профиль скоростей в точке отрыва, имея здесь касательную, образующую нулевой угол с нормалью к стенке, обязательно должен обладать точкой перегиба.

Отсюда следует,. что отрыв пограничного слоя может наступить только в том случае, если скорость внешнего течения при обтекании тела уменьшается. ЛЕКЦИЯ №5 АППРОКСИМАЦИЯ ПРОФИЛЯ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПО ТОЛЩИНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Распределение касательных напряжений по сечению пограничного слоя слабо зависит от режима течения жидкости. В общем случае при стабилизированном течении распределение касательных напряжений можно получить, используя уравнения движения. При этом учитываем выражение для касательного напряжения и т=рди/ду и уравнение Бернулли в дифференциальной форме т1цоо 1 ор цоо дх р с1х Тогда уравнение движения принимает вид: дц ди йиоо дт Р(ц — +ч -цоо )=— (1) дх ду йх ду Интегрируя уравнение (1) по сечению пограничного слоя в пределах от 0 до у, с учетом уравнения неразрывности получаем: д о1 Йцоо г т-т„= — 1ри с1у-и — ~риду+р ° ч ° цоо-рооцоо у (2) дх О Йх О Йх Если ввести дополнительные обозначения безразмерных величин: 52 52/6 1 12 Р/Роо ~ У ц/цоо 1 У=У/о; т = (62/ цоо) (Йцоо/ Йх), а также ввести коэффициент трения 2т„ сг= 2 Роо цоо и параметр проницаемости рч 2 ь,= Роо цоо сг то выражение (2) можно представить в безразмерном виде: т 2 1' т = — =2~+ Ь17~- У~, т„ сг бг где Уп Хг и 2'.3 — величины, определяемые по формулам 1 х у 71=1- — ( ц1р уды-~ц ц д ч); о о 1 22= у- 62 Х Х ( у1а уд у-)а у 1у) о о Х Х Хз= у-Н|2 ( у1у уй у-11э у Й у)- у10 уо Х-.

о о о Напомним, что формпараметр Н|2 является отношением толщины вытеснения б| к толщине потери импульса 52. Выражение (3) является аппроксимацией профиля касательных напряжений по толщине пограничного слоя в общем виде. Для многих практических случаев достаточно удовлетворительные результаты дает степенная аппроксимация распределения касательных напряжений по толщине пограничного слоя. Граничными условиями динамического пограничного слоя являются: при у=О: т=1; при у=1: т=О.

В непосредственной окрестности стенки и-+О и уравнение движения можно записать в виде: др дт ди — р7 (4) с1х ду ду Интегрируя соотношение (4), находим др т =т„+ — у + р ~и. Йх Принимая во внимание, что вне пограничного слоя силы трения практически не проявляются, можно считать, что при у — эб: дт/ду — эО. Таким образом, получается набор условий при у-+О: т=1+ Л у+Ь| у; при у-+1: т-+О;д т/д у-+О, (6) где Л вЂ” модификация формпараметра, определяемая выражением: б др 21' Л— т,„ох с|. б~ Величина Ъ| характеризует влияние подачи или отвода вещества через поверхность тела,и поэтому ее называют параметром проницаемости стенки.

Условиям (б) удовлетворяет кубическая парабола т= 1-3 у +2 у +( Л у+ Ь| у)(1- у)~, (7) или Х= Хо(1+ Лу+Ь, у ) 1+2 ~ 47 где тр — величина, представляющая собой распределение в безразмерном виде касательных напряжений по толщине пограничного слоя на гладкой непроницаемой пластине при отсутствии градиента давления и определяемая выражением; х у то = 1 - ( ц 1 ц с1 у - ) ц с1 у) = 1 - 3 у + 2 у . 3, о о Из зависимости (7) следует, что в пограничном слое на непроницаемой поверхности при Л>0 максимальное касательное напряжение достигается на расстоянии от стенки у „„., равном 2 Л+3 у = - ( ) 3 Л+б 3 Л+б 3 Л+б При Л>0: у — э1/3.

Таким образом, при замедленном течении (с1р/с(х>0) максимальное касательное напряжение в пограничном слое на непроницаемой поверхности лежит в области О< у <1/3. АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ И ДИФФУЗИОННЫХ ПОТОКОВ ПО ТОЛЩИНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Будем аппроксимировать распределение тепловых и диффузионных потоков по толщине пограничного слоя полиномом 3-й степени, коэффициенты которого находим из дифференциальных уравнений энергии [лекция №3, формула (30)1 и массообмена (диффузии) 1лекция №2, формула (9)1 с использованием граничных условий: при у= 0: с1 = с1~~;.11= 3 при у=6,: с1=0; при у=оп.11=0, (9) где 1ь )„4 — массовая скорость вещества "1", вводимого в пограничный слой на расстоянии у от стенки и при пересечении поверхности стенки соответственно.

При этом считаем, что внутренние источники энергии с1, отсутствуют, и химические реакции на поверхности стенки не происходят. Интегрируя указанные уравнения по у, при у — +О получаем: Ч=Ч-+(Р~)-(1*- *.); )1=)1+(Рч) (пт~-и'~ ) (10) где Р— энтальпия торможения на расстоянии у от стенки, равная 1"=1+ц /2; 48 г Є— энтальпия торможения на стенке, равная Р,„=1оо+ г иоо /2; и|| и |и|,„— мас- совая концентрация вещества "Г' на расстоянии у от стенки и на поверхности стенки соответственно. Если ввести обозначения безразмерных величин: Х =у/б; Х о=у/бв', я = с1/я„— относительного теплового потока; 18 = 1| /1 |„— относительного диффузионного потока; Ъ|;= 1„/Я~ — теплового параметра проницаемости; Ь|р= 1|„/Яп — диффУзионного паРаметРа пРоницаемости; ,1 =(р ч)„/(роо иоо) — относительной массовой скорости через поверхность стен- ки; 1|„= 1|„, /(роо иоо) — относительной массовой скорости вещества "1", вводимого в пограничный слой, при пересечении поверхности стенки; ~гх = Ч./1(роо 0оо) (|*„- 1„)1 — обобщенного числа Стантона; 8~о =.1 | /Нроо иоо) (п1| „- гп| оо)1 — диффузионного числа Стантона; п||=(|пг|п| )/(и|| оо- гп|„) — безразмерной массовой концентрации диффунди- рующего элемента; О;=(г" - |„)/( 1|'„- | ) — безразмерной энтальпии торможения, то можно сказать, что условиям (9) и (10) удовлетворяют следующие аппрок- симации распределения тепловых и диффузионных потоков по толщине пограничного слоя в безразмерном виде: Ь;О; Я= Яо(1+ ); 1+ Хт Ь„ш, Зл= Зло(1+ ) (12) 1+2 ~, где яо и 1,о — величины, представляющие собой распределение в безразмер- ном виде тепловых и диффузионных потоков по толщине пограничного слоя в стандартных условиях при отсутствии возмущаемых факторов и определяемые выражением: Яо= 1|о=1-3 у +2 у'.