Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981)

Сборник задач по к~рс~ ссЭЛЕКТРОДИНАИИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН Под редакцией С. И. Баскакова Допущено Министерством высснего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов радиотехнических специальностей вузов МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА« 1981 ББК 22.313 С 23 УДК 538.3 Баскаков С. И., Карташев В. Г., Лобов Г. Д., Филатова Е. А., Штыков В. В. Рецензенты: Кафедра антенн й радиопередаюших устройств Таганрогского радиотехнического института (зав. кафедрой д-р техн.

наук, проф. Б. М. Петров), д-р техн. наук, проф. М. В. Вамберский (МВТУ им. Н. Э. Баумана) Сборник задач по курсу «Электродинамика и распроС23 странение радиоволн»: Учеб. Пособие! Баскаков С. И., Карташев В. Г., Лобов Г. Д. и др.; Под ред. С. И. Баскакова. — М.: Высш. школа, 1981. — 208 с., ил. 40 к. Книга содержит систематизированный материал для упражнений.

Б каждой главе имеются краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами. ПРедназначаются для студентов радиотехнических специальностей вузов. Может быть использована лицачи, самостоятельно изучающими техническую электродинамику или повышающими свою квалификацию.

30401 — 307 ББК 22.313 С 106 † 2402020000 001(01) — 81 337 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛНв Под редакцией Святослава Ивановича Баскакова Зав. Редакцией Л. А. Романова. Редактор Т. И Артемова. Художественный редактор Т. М. Скворцова. Младший редактор Е. И. Попова. Технический редактор Е. И. Герасимова. Корректор р. К. Косинова ИБ УЬ 2958 Изд.

Л1 ЗР-279 Сдано в набоР 0804.81. Подписано к печати 02.Ю.81. Формат 60Х90ун Бум. тнп. уй 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 13 уел. печ. л. 13,25 уел. кр.-отт. 12,45 уч.-изд. л. * Тираж 15000 экз. Заказ 223. Йене 40 коп. Издательство «Высшая школаэ, Москва, К-51, Неглинная ул., р, 29Л4 московская типография га 4 союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств. полиграфии и книжной торгонли. 129041, Москва, Б.

Переяславская ул.. д. 46 © Издательство «Высшая школа», 1083 пРедислОВие Материал предлагаемого читателю задачника охватывает все основные разделы курса «Электродннамнка и распространение радиоволн». Главы книги построены по единому принципу. В первом параграфе кратко излагаются теоретические сведения, необходимые для самостоятельной работы студентов, во втором приводятся подробные решения ряда типовых задач, в третьем предлагаются задачи для самостоятельного решения. Значительная часть задач составлена с таким расчетом, чтобы время, затрачиваемое на их решение, соответствовало часам учебного плана, отводимым на данный курс. Кроме того, в пособии можно найти задачи повышенной сложности, отмеченные звездочкой.

Их назначение — развить творческую самостоятельность студентов и привить им навыки неформального мышления, что особенно важно в условиях современной высшей школы. Книга написана сотрудниками кафедры теоретических основ радиотехники Московского энергетического института и в некоторой мере обобщает многолетний методический опыт преподавания технической электродинамики. Материал распределен между авторами следующим образом: гл. 9, 11 написаны Е.

А. Филатовой, гл. 13 — Г. Д. Лобовым, главы 5, 6 — В. В. Штыковым, гл. 7, 8, 10 — В. Г. Карташевым, предисловие и гл. 1, 2, 3, 4, 12 — С. И. Баскаковым. Авторы глубоко признательны рецензентам книги — проф. М. В. Вамберскому и проф. Б. М. Петрову, чьн ценные замечания и пожелания были учтены при окончательной доработке рукописи. Авторы благодарят А.

И. Аннкину за помощь в оформительской работе, а также Е. И. Грацианскую, Л. А. Ягодину и В. А. Калинина, проверивших ответы ко многим задачам. Отзывы о книге просим направлять по адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., Ю/14, издательство «Высшая школа». Глава первая ЭЛЕМЕНТЫ -ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА й 1л. основныв тво втичвскив сввдвния Для описания физических полей принято использовать их мате. матические модели — скалярные и векторные поля. В произвольной системе координат (х1, х„х,) скалярное поле ~р приобретает вид некоторой функции ~р (х„х~, х,), принимающей численные значения— действительные или комплексные.

Векторное поле А задается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной системы координат: А = А„, (х„ х„ х,) 1„, + А„, (х1, х~, х ) 1 „, + А„, (х„ хз, х ) 1„,. Для характеристики величины и направления скорости изменения скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля игаса (р — — 1„, + — — 1„, + — — 1„„ 1 де 3, д~р ' ! йр (1.1). Ь1 дх1 "' ар дх~ "* Ьз дхх где Ь„Ь, и Ь~ — коэффициенты Лямэ по координатам х„х, и х, являющиеся коэффициентами пропорциональности между дифференциалами обобщенных координат и бесконечно малыми ребрами элементарного параллелепипеда в выбранной точке пространства.

Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее употреби-. тельных координатных систем: декартова система координат (х, у, г) Ь„=Ь„=Ь,=1; цилиндрическая система координат (г, ~р, г) Ь,=1, Ь =Г, Ь,=1; сферическая система координат (г, 6, <р) Ь„=1, Ьа г, Ь, =га1пд.

Конкретно градиент вычисляют следующим образом: в декартовой системе координат аас1 = — 1Ф+ — 1и+ — 13.„ д д д дх " ду ~ дз в цилиндрической системе координат д 1 д д рад = — 1 + — — 1„+ — 1; дг г йр дг в сферической системе координат д 1 д д угад — — 1, + — — 3 а+ — — 1~,. дг ' г дб гг1пб д~р д дАх + дАХ + дАг дх ду дг (1.2) в цилиндрической системе координат 1 д дА дА, й1ч Н= — (ГА,)+ — — Р + — *; г дг г д~р дг (1.3) в сферической системе координат йч А = — — (гг А,)+ — (з1п бАа) + — — 'р ° (1.4) 1 д 1 д дА гг дг ' гз!пд Ю гз1пд Йр В произвольной ортогональной криволинейной системе коорди- нат йч А = ~ — (Ьг Ьг А„) + — (Ь~ Ьг А„,) + 1 Г 'д д Ь /углах ~ дх ' дхг д + — (Ь|ЬгАх,) е дхг (1.5) Проекции ротора векторного поля имеют вид: в декартовой системе координат дА, дА (гоФ А)„= — * — — И- ду дг дА„ дА, (го1 А)„= —" — — *, дг дх дА, дА„ (ГО$ А)г = — г — "1 дх ди (1.6) Описание дифференциальных свойств векторного поля несколько сложнее.

Векторное поле А принято характеризовать скалярным полем — дивергенцией й1ч А и векторным полем — ротором го$ А. Значение дивергенцни равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точке пространства. Трактовка ротора векторного поля сложнее; можно считать, что оно в известном смысле характеризует степень отличия исследуемого поля от- однородного. Дивергенцию, векторного поля А вычисляют путем дифференцирования его проекций по определенным правилам: в декартовой системе координат в цилиндрической системе координат 1 дА, (го1 А), = — — * — — ~', г дф ' Й дА~ дАз (го1 А) = — ' — — *, дг д> (го1 А), —— в сферической системе координат а дАе (го1 А), = — — (з1п 6А„) —— т г$1пб дд '(Р а>Г > (1 7) дА, д(гА ) ып Ю д>р дг д дА 1 — (ГАВ) — — ~ > ду дб ( 1А), ! г (го$ А)„=— 1 г (1.8) Ротор векторного поля А в произвольной системе координат выражают через проекции исходного поля и коэффициенты Лямэ: 1х, а(аа Ах>) а(аз А,) 1 го1А = — ' " — "* + Ьй Ьц дхд ах, ~а(а, А„,) а,ь, ~ ах, д(аз Ах,) 1 а(а,А„) ~ дх, (1.9) Дифференциальные операции со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью оператора Гамильтона 7.

По оп- ределению Ч вЂ” — 1„+ — 1„+ — 1,. (1.11) дх ду " дг Из дифференциальных векторных операций второго порядка широкое применение в электродинамике находит оператор 7', закон действия которого на векторное поле А описывается ссютношением р' А = огай йч А — го1 го1 А. (1.12) Дифференциальная операция второго порядка, действующая на скалярное поле, задается оператором Лапласа Ч'=4=А Рай. Оператор Лапласа в различных координатных системах записывается следуюц1им образом: рад0 = ~0, йч А = ~А, го1 А = 1дА1. (1 10) В декартовой системе координат оператор Гамильтона есть символический вектор в декартовой системе координат 'д'Ч/ + д~Ю + до0 д д„~ в цилиндрической системе координат (1.14) в сферической системе координат дои + ФМпоб дф (1.15) Для графического изображения векторных полей принято строить картину их силовых линий.

В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней. Там, где интенсивность поля больше, силовые линии проводят чаще, и наоборот. $1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕКИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 1.1. В декартовой системе координат проекции векторного поля А постоянны в каждой точке пространства: А „= А о, А „= Во, А, = О. Построить картину силовых линий векторного йоля.

Р е ш е н и е. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий дх/Ао = дУ/Во. (1.16) являющееся следствием подобия двух прямоугольных треугольников с катетами Их, ду и Ао, В, соответственно. Общий интеграл уравнения (1.16) имеет вид д = (В,/А,) х + С, где С вЂ” произвольная постоянная. Таким образом, силовые линии поля представляют собой одно- параметрическое семейство прямых с угловым коэффициентом наклона к оси х, равным В,/А, (рис.