Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981), страница 9

Вычислить фазовую скорость, коэффициент ослабления и глубину проникновения поля для плоской электромагнитной волны с частотой 1О МГц, распространяющейся в металле с параметрами о=510' См/и, м=1. 81 Р е ш е н и е. В реальных металлах плотность токов проводимости значительно больше плотности токов смещения.

Поэтому выражение (5.3) можно приближенно представить в виде т=.У оо1-! — „1=1 —,(!-!!. Коэффициент фазы и коэффициент ослабления в рассматриваемой среде численно равны друг другу: о=а ! вору~2=44,43.!о м По известной величине р можно вычислить фазовую скорость: оф — — 1,414 10е м/с. Под глубиной проникновения поля в металл д понимают расстояние, на котором его амплитуда уменьшается в е раз. Очевидно, что д = 1/а = 22,5 10 ' м = 22,5 мкм. 5.3.

Плоская электромагнитная волна с частотой 10' Гц распространяется в среде с параметрами е = 2,25, 1дбе = 0,01, р = 1. Амплитуда электрического поля в плоскости г = 0 равна 100 В/м. Определить среднюю плотность потока мощности в плоскости а=1 м. Р е ш е н и е. Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны определяется выражением П (з) = — Ке ~ е — оаг 1я1'- ~ г. Таким образом, необходимо вычислить коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление. Действуя так же, как в задаче 5.1, можно найти а. Подстановка исходных данных дает а = 0,162 м-'. При определении характеристического сопротивления для.1д Ьо (( 1 можно использовать приближенное выражение для квадратного корня, входящего в формулу (5.10).

Тогда г 1!о 1 120п 1 еео 1 — 0!511ябе Уе 1 — О!5!1хбе Следовательно, П,р (г) = — — е ~"*, )Ю~ ~/е 2 120!! или после необходимых вычислений П,р (г = 1) = 14,38 Вт/ме. 6.4. Доказать, что в ершах без потерь фазовый фронт и плоскость равных амплитуд неоднородных плоских волн образуют между со. бой угол 90'. Р е ш е н и е. В средах без потерь коэффициент распространения у — действительная величина.

Поэтому, если х„= х»'+ ух», хр 52 = х„'+ )х„., х, = х,'+ ух,", то уравнение для фазового фронта имеет вид х„'х+х,',у+х,' г= сопз1, Разложим косинусы суммы аргументов и решим эти два уравнения относительно соз а1 и яп ь1: Ч з1п <рх соз в1 — $ Еохз)П0рд — фх) Еоо о~п 0)~д — Ч'х) с0з фх Ч . 1 Еоу З1П 0Ру — 9х) и исключив переменную 1, по- з[пв1 — $ Еох 3) п ((ри — (рх) Возводя эти уравнения в квадрат лучим < ч ~$ ( $ о С<а Ь~Р Еохз)п Ь<р l ~ Еозз)п Л~р ~ох Еор з!пз Ь~Р где ~~Р = Чз Чх. В системе координат ($, ~)) это есть уравнение эллипса [3). Путем поворота осей на угол а, удовлетворяющий условию $а 2а — Мох ~од — СОВ ЛВ 1 Еох — Е*о„! 53 а уравнением для плоскости равных амплитуд будет х„" х+ х'„у+ х," а = сопз1. Согласно [3) косинус угла между двумя плоскостями х„'к„'+х„'к„'+к' к' [(Х„)З+(Х )З+(Хо)З) [(Хз)З+(Х )З+(Хо)З[ С помощью выражения (5.11) можно найти, что х„'х„"+х„'.х„"+х,'х," =О, и, следовательно, угол 'ф действительно равен 90'.

5.5. Вывестн формулу для определения коэффициента эллиптич- ности (отношение большой оси эллипса к малой) плоской электро- 'магнитной волны, для которой в плоскости з =0 поля имеют вид Найти ориентацию осей эллипса по отношению к осям системы , координат. Р е ш е н и е. Перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям и введем новые переменные $ и т): $=Ео„соз(а~+(р ), и=Ец, соз(оо$+~р„).

преобразуем уравнение к каноническому виду *+ '1 Используя (31, найдем полуоси эллипса Г Ох+ Оу Г Е® — Е', Теперь можно вычислить коэффициент эллиптичиости как отношение а к Ь. В результате несложных преобразований получим й,„= — = ~ — + — + у ~ — — — ~ +4соз Лф а 1 ~~ах ~од ~~ /~ах ~од~~ й 2~1пДЧ~ ~.

~о~ ~ох У ~ ~од ~ох ) Ориентация осей эллипса по отношению к оси х исходной системы координат определяется углом а, отсчитываемым против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора 1,. 5.6. Некоторые вещества (иапример, водный раствор сахара) имеют различную скорость распространения для волн с левой и правой круговой поляризацией. Это приводит к повороту плоскости поляризации плоской волны с линейной поляризацией в процессе ее распространения. Такое свойство веществ называют оптической активноностью.

Считая заданными значения фазовых скоростей для левой о и правой о„круговой поляризации, вывести формулу, определяющую угол поворота плоскости поляризации волны на участке пути длиной Ь для электромагнитной волны с заданной частотой а. Р е ш е н и е. Линейно поляризованную волну, имеющую в плоскости г = 0 вид й=Е 1„, можно представить как сумму двух волн с круговой поляризацией: Е = — '(1„+11„), И = — "(1 — у'1„) Волна в правой круговой поляризацией прн распространении в на. правлении оси г будет описываться выражением Е,Я=ЕФ ехр -/ — г, Од а с левой — выражением Е Я=Ео„ехр — 1 — г .

Рд В любой плоскости г~ь О сумма этих волн будет представлять собой волну с линейной поляризацией. Координатные составляющие этой волны равны: Е„(з1= — '" (е ~~п'+е-~"л'), 2 Е (е) / 0" (е ~~п~ е Ел) 2 Суммарный вектор Е образует некоторый угол ~ с осью х координатной системы (х, у, г), который зависит от г. Тангенс этого'угла !аЧ = —" =(а Таким образом, угол поворота плоскости поляризации на отрезке пути длиной Ь определяется из формулы 1~ф=1я Обычно различие скоростей распространения ол и о мало.

Поэтому приближенно "и пл ~р т — =я — бо, 2п и. Х где в — среднее значение скорости; бо — относительная разность скоростей распространения; Х = о/~ — длина волны в среде. $ $.3. ЗАДАЧИ ДПЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 5.7. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 30 МГц. Определить расстояние, на котором фаза волны изменится на 270' и 2520'. Ответ: 7,5 м и 70 м ссютветствеино. 5.8. Определить длину и фазовую скорость электромагнитной волны, распространяющейся в среде без потерь с относительными проницаемостями е = р, = 1О, если частота волнй 10 МГц. Ответ: 3 м, 3 10' м/с. 5.9. Характеристическое сопротивление среды равно 1508 Ом, относительная диэлектрическая проницаемость е = 1.

Определить относительную магнитную проницаемость среды. Ответ: 16. 5.!О. В среде с параметрами е = 4, р, = 1, а = 0 распространяется плоская электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля которой в плоскости г = 0 Е = 0,5 1л+ 0,2 1п. Определить комйлексную амплитуду вектора напряженности магнитною поля, если волна распространяется в направлении возрастания координаты г. Ответ: Н = ( — 1,061 1„+ 2,65 1„) 10 ' А/м.

5.11. Используя данные задачи 5.10, найти зависимость от времени векторов напряженности электрического и магнитного полей в плоскости е = 1 см для электромагнитной волны с частотой 10 ГГц. Ответ: Е=(0,5 1„+0,2 1„)соз 2п.10м 1 — — и В/м; 4 Н ( — 1,0611„+2,651 ) соз 2п 10" 1 — п мА/м. 5.12. Определить характеристическое сопротивление металла о удельной электрической проводимостью 6.107 См/м и относительной магнитной проницаемостью р = 1 на частотах 10 кГц и 1 МГц. Ответ: 25,6.10-~ (1 — /) Ом, 25,6 10 ' (1 — /) Ом. 5.13. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны в металле с параметрами о = 6 10' См/м, р = 1 на частотах 1О кГц и 1 мГц, если в заданной точке пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля Н = 251„А/м.

Ответ: 640. 1О ' ехр — / — 1„В/м; 640 ! 0-'ехр — / — 11 В/м. 4/ 5.14. Плоская электромагнитная волна распространяется в не- магнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40'. Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды. Ответ: е = 16/9 = 1,78, а = 4/3 = 1,33.

5.15. Некоторый диэлектрик на частоте 10 ГГц обладает параметрами: а=3,8, р=1, 1яЦ=104. Определить длину волны, коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление такой среды; Ответ: 1,54 см, 2,04 ° 10-' м-', 193 ехр (/0,5.10-') Ом. 5.16. Керамика титанат бария (ВаТ~ОЗ) на частоте 10 ГГц имеет параметры: е = 144, и = 1, 1н 6,'= 0,6. Определить длину волны, коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление данной среды. Ответ: 0,24 см, 758 м ', 29 ехр (/0,28) Ом.

5.!7. Во сколько раз уменьшится амплитуда плоской электромагнитной волны с частотой 2 МГц при распространении в среде с параметрами о = 10 э См/м, е = 2, и = 1 на пути в 1 мР Ответ: в 1,083 рава. 5.18. Вывести формулу для определения уменьшения амплитудЫ поля плоской электромагнитной волны на пути, равном длине волны в среде с потерями. Во сколько раз уменьшится амплитуда поля на указанном расстоянии в среде о параметрами е = 2, р = 1, о = 10-' Смlм на частоте 10 МГц>> Ответ: в 1,327 раза. 5.19.

Определить длину волны в меди на частоте 1 МГц. Используя полученный результат, пояснить, почему при определении индуктивности катушки со средним диаметром 1 см, выполненной проводом диаметром О,1 мм, поле можно считать стационарным, в то время как для расчета добротности такой катушки необходимо учитывать волновой характер электромагнитного поля.' Ответ: 0,4189 мм. 5.20. Определить толщину медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 1У раза на частотах 50 Гц и 50 МГц.