Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 6
Текст из файла (страница 6)
3.4. Вывести формулу для расчета индуктивиости. Р е ш е н и е. Поскольку магнитная проницаемость сердечника велика, потоком рассеяния можно пренебречь. Магнитное поле в сердечнике, имеющее вид замкнутых кольцевых линий, находят из закона полного тока Н, = Н(2лг), где г — радиус воображаемой окружности, проведенной внутри сердечника. Векторный потенциал тока можно найти подстановкой (ЗАО) в формулу (3.23).
Пусть р — радиальная координата точки наблюдении. Тогда Вычислив ток в системе 4паУ~~ 1/а — 1/а получаем окончательный ответ: 1/а — 1/Ь 4па $3.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 3.8. На одной прямой 1рис. 3.6) в вакууме (е, = е,) расположены три точечных заряда: в, = 1 мкКл, д, = 23 мкКл и д, = 5 мкКл. Определить напряженность электрического поля в точке Р. Ответ: 55,8. 10' В/м. 3.9. Заряженный металлический шар радиусом 5 см находится в воздухе. Известно, что электрический пробой в воздухе наступает при напряженности поля 30 кВ/см.
Определить предельно допустимый заряд шара, обеспечивающий отсутствие пробоя. Ответ: 8,3 10-' Кл. ~у в 3.!О. Бесконечно длинный цилиндр радиусом 5 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью 10 — ' Кл/м'. Пространство, Рис. з.б окружающее цилиндр, заполнено воздухом. Определить напряженность поля, создаваемого цилиндром на расстоянии 10 м от его оси. Задачу решить с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме. Ответ: 5,65 кВ/м.
3.1!. Имеются два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами а = 2 см и Ь = 5 см, выполненные нз металла. Пространство между цилиндрами заполнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра составляет 5 В, потенциал наружного цилиндра равен нулю. Определить напряженность электрического поля на окружности Г=4 СМ. Ответ: 136 В/м. 3.12. Проводятся испытания на электрический пробой коаксиальной,линии передачи, образованной двумя цилиндрами о радиусами а и Ь (а < Ь).
Было обнаружено, что пробой в системе наступает при разности потенциалов между цилиндрами, равной 1/,. Затем радиус внутреннего цилиндра был сокращен вдвое. Определить, при какой разности потенциалов наступит пробой в новой системе. !П2 Ответ: 0= 001 +1 ° ~ 1и (ь/а) 3.13. Обсудить результат предыдущей задачи. Дать физическое толкование тому факту, что при Ь/а) 2 сокращение радиуса внут- р эффектами искажения поля вблизи края пластин.
е Ответ: С е,Ь,+е,Ь, 3.16. Решить предыдущую задачу, предполагая, что изменение относительной диэлектрической проницаемости вдоль координаты х, нормальной по отношению к пластинам, . задается формулой е (х) = 1 + / (х), где / (х) — произвольная функция. Ответ: С= „ , где /е — расстояние между пластинами, ак 1+1 (к) 3.17. Найти распределение потенциала вдоль координаты х в двухслойной структуре, изображенной на рис. 3.7.
Ответ: (/ое,х ео Ь~+е~ Ьо (/о е, х Уо(ео — е1) Ь1 (0(х~Ь,), (Ь,(х ( Й,+Ь ), ~р, (х) + ео й1+е, Ьо ео Ь1+е, Ь, где (/о — разность потенциалов между обкладками. 3.18. В сферическом конденсаторе с внутренним радиусом а и наружным радиусом Ь наружная обкладка заземлена, в то время как внутренняя находится под потенциалом (/о относительно земли. Определить закон изменения потенциала внутри конденсатора, заряд, накопленный в конденсаторе, и емкость системы. Предположить, что между сферами вакуум или воздух (е, = е ).
() . (/о а (Ь вЂ” к) (~ 4аео аЬЮо С 4аео аЬ г(Ь вЂ” а) Ь вЂ” а Ь вЂ” а реннего цилиндра приводит к увеличению, а при Ыа с. 2 — к уменьшению электрической прочности коаксиальной системы. 3.14. Бесконечная металлическая плоскость заряжена с поверхностной плотностью 4 ° 10-'е Кл/и'-. Найти величины полей О и .Е во всем пространстве, предполагая, что абсолютная диэлектрическая проницаемость е, = е,.
Ответ: 0 = -1-2.10-'е Кл/ме, Е = -~0,226 В/м (знак зависит от того, в каком из полупространств находится точка наблюдения). 3.15. Плоский конденсатор имеет слоистый диэлектрик (рис. 3.7). Считая заданными относительные диэлектрические проницаемости слоев е, и е„соответствующие им толщины Ь, и й„а также площадь пластин Я, вывести формулу для расчета емкости конденсатора, пренеб егая 3.19. В цилиндрическойсистеме координат найти общее решение уравнения Лапласа 9'«р, = О, зависящее только от радиальной координаты. Ответ: «р, = А 1п г + В, где А,  — произвольные постоянные„ 3.20. В сферической системе координат найти общее решение уравнения Лапласа, являющееся функцией только координаты г. Ответ: «р, = А/г+ В, 3.21.
В цилиндрической системе координат найти общее решение уравнения Лапласа, зависящее только от двух координат г и «р. Указание: решение искать в виде произведения двух функций: К (г) Ф («р), каждая из которых зависит только от одной координа-' ты. Использовать требование периодичности решения по угловой координате. Ответ: «рв — — ~~', (А„г" +В„г-л) )( л О х '«С„соз г««р+ Р„я'и Ьр), где А„, В„, С„, Є— произволь- Рнс. 3.8 ные постоянные. 3.22. В цилиндрической системе координат найти общее решение уравнения Лапласа, зависящее только от двух координат г и г. Указан«и.: решение искать в виде произведения двух функциями «ра = й (г) 2 (4. Ответ: «р, = у (Ал.~О (Алг) + ВлИО (««лг)) (Сл сЫглг + Рл й ялг), Гдв йл — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЧИСЛа; ./О И УΠ— цИЛИНдрИЧЕСКИЕ фуНК- ции нулевого индекса, первогои второго родасоответственно (функции Бесселя и Неймана).
3.23. В каком виде следует искать решение уравнения Лапласа, описывающего потенциал электрического поля в системе из металлической плоскости у = О и периодической последовательности заряженных полосок, бесконечно протяженных вдоль оси г (рис. 3.8)? Шири-. на полосок и их удаление от металлической плоскости произвольны. Уящщие: решение искать в виде произведения двух функций: «р, = = Х (х) У (у). Свести уравнение Лапласа к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений по координатам х и и. СО Опием у,(х,у)= ~~~ А„сов~ — )+В„в!и( — ))(с„сь(~)+ л О +Р„зЬ вЂ” """ где А„, 8„, С„, 0„— постоянные, определяемые из граничных условий дЛя потенциала на металлических поверхностях. 3.24. Двугранный угол образован двумя металлическими полуплоскостями, изолированными друг от друга по линии вершины угла.
Угол раствора равен 8. Одна из плоскостей заземлена (с~ = О), другая находится под потенциалом (/,. Найти функцию, описывающую распределение потенциала во внутренней области двугранного угла. Указание: ввести цилиндрическую систему координат и представить решение в виде Я (») Ф (~р). Ответ: ~э = (/оч/О. 3.25.~ Заряд д равномерно распределен по кольцу радиусом а (см. задачу 3.2). В центре кольца находится электрон, обладающий зарядом е и массой т. Электрон имеет возможность совершать малые колебания, перемещаясь вдоль оси кольца. у' Доказать, что движение электрона будет периодическим.
Определ ить частоту собственных колебаний электрона, считая, что его движение не сказывается на распределении зарядов по кольцу. Ответ: ис0в — — ! еу/(4ие,таз) РР. 3.26. Плоский конденсатор характеризуется геометрическими размерами, указанными на рис.3.9. В зазор конденсатора введена пластина диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостьюа. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить силу, стремящуюся втянуть пластину внутрь конденсатора.
Ответт г = (в — 1)- ~/О ~во Ы Рнс. ЗЯ 3 27. По бесконечному цилиндрическому проводнику радиусом а протекает постоянный ток с плотностью /. Определить напряженность магнитного поля внутри и вне проводника. Ответ: (Х»/2 (» ~ а), (1а'/(2») (»:. а). 3.28. Решить предыдущую задачу, предположив, что плотность тока изменяется по закону / = 10»/а. Ответ: И =// »'/(3а) (»~а) ~./~ а'/(3») (» ~ а). 3.29. Вывести формулу для расчета погонной инруктивности коаксиальной линии передачи. Предположить, что известны радиусы проводников а и Ь (Ь а), а также относительная магнитная прони- 38 цаемость заполняющей среды р.
Магнитное поле, существующее внутри проводников, не учитывать. Указание: воспользоваться формулой для энергии магнитного поля. Ответ: 1.„, = — 1п ~ — ~ . Рро /Ь~ й 3;30. По двум бесконечным прямолинейным проводникам, 'ориентированным вдоль оси г, протекают равные и противоположно направленные токи 1. Определить векторный электрический потенциал во всем пространстве. Ответ: А,= ИОЛ, !и —, 2а к.
где г1 и г, — кратчайшие расстояния от точки наблюдения до соот- ветствующего проводника. 3.31. Решить задачу 3.7 при условии, что между концентриче- скими сферами находится неоднородная среда, проводимоать которой изменяется вдоль радиальной координаты по закону а (г) = и, (Иа)Е. Ответ: Я =' а' (1ЙР— 1й')l(12поо). Глава четвертая НВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ $4Л. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ го1 Н = аЕ+ 1ст.а дН Г01 Е= — Р~ —. дС (4.1) Уравнения, определяющие поведение неизменных во времени статических и стационарных электромагнитных полей, могут быть несколько преобразованы, с тем чтобы описывать явления, изменяющиеся во времени достаточно медленно.
Принято говорить, что электродинамические системы удовлетворяют условию квааистационарности в том случае, если их геометрические размеры 1 значительно меньше пути, который электромагнитное возмущение, движущееся со скоростью света с, проходит за некоторое характерное для изучаемого процесса время Т (обычно под Т понимают период процесса, гармонически изменяющегося во времени). Неравенство 1 (( вТ эквивалентно условию 1 (( Х, где Х вЂ” длина волны в вакууме. При анализе квазистационарных полей следует пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости.
Система основных уравнений квазистационарного поля, вытекакнцая из уравнений Максвелла, имеет вид Важными системами, удовлетворяющими условиям кваэистационарности, являются цепные структуры (рис. 4.1), для которых характерно существование множества пространственных областей А~ (1 = = 1, 2, ...), соединенных между собой системой проводников. Элжтромагнитное поле локализовано внутри каждой из выделенных областей. Цепные структуры инвариантны относительно пространственных деформаций системы проводников. Это дает воэможность перейти от' цепной структуры к ее абстрактной модели — пршщипиальной электрической схеме, анализируемой с помощью методов тео/-/ рии цепей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
