Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как ипходные уравнения Максвелла дают однозначную связь между Е и Н, достаточно найти решение лишь одного нз этих уравнений. нению с плотностью тока на границе раздела металл — воздух. Частота поля 30 ГГц. 'Ответ: 2 мкм. 4.!3. Вычислить активное поверхностное сопротивление !Ь меди на частотах 100 кГц и 3 ГГц. Ответ: 8,322 ° 10 ~ и 1,44 10 ' Ом соответственно. 4.!4. Вывести формулу для погонного активного сопротивления и погонной индуктивности круглого цилиндрического проводника, радиус а которого значительно превышает глубину проникновения тока. Указание: воспользоваться формулой (4.12).
Ответ: !т, = йэЦ2ла), Ь, = !Ь/(2яаа), где в — частота поля, рад/с. 4.15. Во сколько раз активное сопротивление медного проводника диаметром 1,5 мм на частоте 1 МГц превышает сопротивление этого проводника, измеренное на постоянном токеР Ответ: в 5,63 раза. 4.!В.Морская вода характеризуется относительной диэлектрической прон ицаемостью е =75, относительной магнитной проницаемостью р = 1 и удельной электрической проводимостью о = 2 Смlм.
Показать, что на частотах, меньших 300 МГц, такую среду можно рассматривать в квазистационарном приближении, пренебрегая токами смещения по сравнению с токами проводимости. Вычислить глубину проникновения электромагнитных волн в морскую воду на частотах 30 МГц и 100 кГц. Ответ: 0,065 и 1,125 м соответственно.
Частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородную плоскую волну. Если последняя распространяется вдоль оси г декартовой системы координат, то указанное решение имеет вид 1ла 1лО Поскольку Еду = е' — 1е," = еЕо (1 — 1' д Я б~) е комплексный коэффициент распространения у = р — /а = в )/ ~ е', ~Г1 1(д б (5.3) Коэффициент фазы р характеризует изменение фазы гармонических колебаний при распространении волны. Расстояние, на которол фаза изменяется на 2л рад, называется длиной волны: Х = 2л/~. Плоскость равных фаз называется фазовым фронтом волны, а скорость перемещения этой плоскости — фазовой скоростью: оф = ьф.
(5 4) Коэффициент фазы и коэффициент ослабления могут быть выражены следующими формулами: 2л'~в / 1+~1+1к~б, 1ц' е Хо ~ 2 ии Ь'~ т' и/!.и~и л — ! ) Х„1, 2 Таким образом, между ними существует соотношение а = р (д (б,/2). (5.5) (5.6) Е (г) = Е1(0) е-1~'+ Е~(0) е1~*. (5.2) Первое слагаемое соответствует прямой (падающей) волне, распространяющейся в направлении положительных значений г, второе слагаемое — обратной (отраженной) волне, распространяющейся в направлении отрицательных значений г. Если величины е, и р„известны, то р и а можно найти с помощью выражения для корня квадратного из комплексного числа: ф й;3-/Ь= — =Š— =Е ~ — е где г = ф~а'+ Ь" — модуль комплексного числа; квадратные корни "ут -у а и тле — а следует считать аасажительиыии.
На высоких частотах магнитные свойства большинства сред выражены слабо. Поэтому с достаточной для практических целей степенью точности можно считать Фезова я скорость 3/2с (5.7) длина волны 1/Ь, (5.8) У (1+У1+Ь'8.)'" Отношение фазовой скорости в среде к скорости света называют ковффициентом преломления: и =)~ ер. Из уравнений Максвелла следует, что в случае плоской волны комплексные амплитуды векторов Е и Н связаны характеристическим сопротивлением средьс ~в=~Фа/7= )/ Ра/Е~, (5.9) так что Е=Х,Й. Характеристическое сопротивление для немагнитных сред (р, = рб) 1 ! б е (1 /1 б) Я 120л (1 1 („бб) 4 ~ О био' 6 Аргумент принимает значения от нуля (диэлектрики без потерь) до и/4 (идеальный металл). Характеристическое сопротивление для вакуума Уо = 3/ ~7ео — — 120 и = 376,991 Ом. Векторные уравнения (5.1) означают, что любая координатная составляющая векторов поля удовлетворяет уравнению у'(/+у и=о, имеющему в декартовой системе координат частное решение 1/ = С ехр 1 — уу (х„х+ х„у+ х, а))., (5.10) Здесь С вЂ” константа; х„, х~, х, — комплексные постоянные, удовлетворяющие условию х3+ хд+ х, = 1.
(5.1 1) (5. 12) 48 Если х„, х, х, — вещественные числа, то выражение (5.10) опи' сывает однородную плоскую волну, распространяющуюся в произволв ном относительно исходной системы координат направлении. Эту волну удобно выразить формулой У=Сехр1- -/у(хг)1. Числя х„, х„, х, имеют смысл направляющих косинусов, фиксирующих направление распространения волны, а г есть радиус-вектор точки (х, у, г). Если хотя бы одно из чисел х„х„, х, комплексное, то выражение (5.10) будет описывать неоднородную плоскую волну: У = С ехр ( — уйе(у (х„х+ х„у+ х,г)) — 1ш <у (х„х+ хну+ + х,г)Ц, (5.13) у которой фазовый фронт задается уравнением Ке (у (х х+ хэу + х,г)) = сопз1, а плоскость равных амплитуд — уравнением 1ш (у (х„х+ х„у + х,г)) = сопз1. В общем случае фазовый фронт и плоскость равных амплитуд образуют между собой произвольный угол.
Поскольку уравнения Максвелла линейны, любая, комбинация их решений также является решением. В частности, если Е1„и Е„1„— решения исходных уравнений, то- Е = Е„1„+ Ед 1э (5.14) также есть решение уравнений Максвелла и, следовательно, оно описывает распространение' в пространстве некоторой волны. В зависимости от соотношения между фазами и амплитудами Е„и Е„в каждой точке пространства конец вектора Е будет перемещаться по эллипсу с различным отношением и ориентацией его полуосей.
Такая волна называется волной с эллиптической поляризацией. При произвольном значении амплитуд и фаз в выражении (5.14) путем поворота осей вокруг оси г всегда можно ввести новую систему координат (х', у', г'), в которой сдвиг фаз между координатными составляющими будет равен -Е 90', а полуоси эллипса — совпадать с направлением осей системы. Угол поворота, обеспечивающий такое преобразование системы координат, будет определять ориентацию осей эллипса в системе (х, у, г), Отношение большой полуоси эллипса к малой называют коэффициентом эллиптичности Й, „. Линейно поляризованная волна представляет собой один из предельных случаев эллиптически поляризованной волны.
Второй предельный случай имеет место при равенстве амплитуд исходных полей и сдвиге фаз между ними, равном 90 . Здесь конец вектора Е перемещается по окружности, и волна называется волной с круговой поляризацией. Поле такой волны можно представить выражением ~~=Е(1„-Е Е1„). (5. 15) Знак минус соответствует волне с правой круговой поляризацией, у которой вектор Е вращается по часовой стрелке (если смотреть в направлении распространения), а знак плюс — волне с левой круговой поляризацией (направление вращения обратное).
Любая волна с ли- 49 нейной поляризацией может быть представлена суммой двух волн с круювой поляризацией, например Е=Е„1„=Е~ +Е (5.16) где Плоская волна переносит энергию в направлении распространения. Для гармонических полей этот процесс описывается средним значением вектора Пойнтинга: П„, = — Ке [ЕН1.
(5.18) Часто П, удобно выражать только через напряженность электрического или магнитного поля: П„, = — Ке ~ — ~1,= — Ке(У,) 1,. [И)' ~ 1 ~ [о[' 2 ~Лс! 2 (5.19) В средах без потерь П,р не зависит от координаты г. Если же среда обладает потерями, то плотность потока мощности плоской электромагнитной волны убывает при распространении по экспоненциальному закону: П, = П, (О) ехр ( — 2аг).
(5.20) Величину потерь в среде характеризуют погонным затуханием Л в дБ/м: Ь=201д ) = 101д есть Фурье-преобразование сигнала в плоскости г = О, можно найти сигнал для любых значений г, используя обратное преобразование е (1 г) = — ( 5 (оз) е-'~* е~"' сЬ. 2п (5.21) связанным в коэффициентом ослабления а соотношением Л = 8,69а. Фазовая скорость плоской электромагнитной волны в среде с зависящими от частоты параметрами е' и е" также является функцией частоты. Такое явление называют дисперсией фазовой скорости.
При распространении сложных сигналов в этом случае будут нарушаться исходные амплитудные и фазовые соотношения между отдельными составляющими спектра и, как следствие, будет изменяться форма сигнала в процессе его распространения. Для нахождения вида сигнала необходимо пользоваться спектральным или операторным методом. Например, полагая, что Пренебрегая потерями в среде и полагая, что сигналы ь (г, а) являются узкополосными, можно показать, что их огибающая в средах с дисперсией распространяется с групповой скоростью с5.22) ор —— Если условие узкополосности сигнала не выполняется, то понятие групповой скорости, строго говоря, перестает адекватно описывать трансформацию формы такого сигнала.
$ $.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 5.1. Плоская электромагнитная волна с частотой 109 Гц распространяется в среде с параметрами е = 2,4, 1ЕЬ, = 10 ', р = 1. Определить фазовую скорость, длину волны и коэффициент ослабления. Р е ш ен и е. Учтем, что 1ц 6, ((1 и разложим выражение (5.3) в степенной ряд. Ограничиваясь тремя первыми членами, получим ТЕ 8 У8 '~=ь~3' рова)' 1' ~1яба ~~ь~Ф ~~а~1 ~ + ~ а 2 8 Таким образом, для диэлектриков с малыми потерями коэффициент фазы и коэффициент ослабления приближенно равны: р т в арье', (1+0,125 1дэб,), а т 0,5а 1l ~ е', 1Я б,.
Используя соотношение (5.4), найдем фазовую скорость волны О с 1/е (1+ О,! 25 асаф 69) Полученный результат показывает, что наличие потерь в среде приводит к изменению величины фазовой скорости. Для 1д б, 10 ' поправка составляет 0,125%, так что практически можно положить оф т сДI а = 1,94 108 м/с. По известной величине фазовой скорости найдем длину волны; Х = цф = 0,194 м. Подстановка исходных данных в полученную ранее формулу дает: а = 1,622 м '. 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
