Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981), страница 4

Исходя из результата преды- дущей задачи объяснить, почему твердый диэлектрик, содержащий воздушные включения (пузырьки, канали), будучи помещен в сильное электричес- кое поле, имеет меньшую электрическую прочность по сравнению с однородным диэлектриком. 2.16. В круглом цилиндрическом проводнике диаметром 2 мм существует постоянный ток величиной 7,5 А. Провод выполнен из.меди. Определить тангеициальную составляющую вектора напряженности электрического поля на поверхности провода. Ответ: Е, = 0,042 В/м. 2.17. Бесконечно тонкий диск радиусом г„равномерно заряженный с плотностью ач, вращается вокруг оси с угловой скоростью Й. Определить вектор плотности поверхностного тока.

Ответ: я = -~ пчйг1~; знак зависит от направления вращения. 2.18. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат записывается таким образом: 6,5 0 0 (е)= 0 6,5 0 0 0 6,65 В диэлектрике создано равномерное электрическое поле Е = 2,51 „+ + 1,71„+ 9,21,. Определить вектор электрической индукции Р.

Каков угол в пространстве между векторами Е и Р? Ответ: Р = е0 (16,251„+ 11,051„+ 61,181,),~ ' (РЕ) = 6,59 Х Х 10 рад, 2.19. В однородной проводящей среде с параметрами е и и в момент времени ~ = 0 создано начальное распределение плотности зарядов рр (х, у, е). 20 Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда: Р (х, У, е, /) = Ро ехр 1 — о//(аео)1.

Оценить т — характерное время релаксации этого процесса для типичного металла, у которого о = 10' См/м, а также для полупроводника, имеющего а, = 10-в См/м. Указание: воспользоваться уравнением непрерывности. Ответ: т, т 10-~ с, т, т 10-' с. 2.20. Грозовая туча, имеющая площадь 5 км', располагается на высоте 2 км от поверхности Земли. Между тучей и Землей образуется постоянное электрическое поле с одинаковой во всех точках напряженностью Е=2 105 В/ . Й=й Оценить энергию поля.

Ответ: 1,77 ° 109 Дж. 2.21. По данным наблюдений, шаровая молния имеет диаметр порядка 20 см и содержит значительный запас энергии, зачастую превышающий энер- Рнс. 2.3 гию летящей винтовочной пули. Может ли шаровая молния иметь только электрическую природу? Положить, что предельно допустимое значение напряженности электрического поля в воздухе Е = 30 кВ/см. 2.22. Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью 7,7 г/см' и имеет массу 2 кг. Амплитудное значение магнитной индукции 2,1 Тл, относительная магнитная проницаемость стали м = 200. Найти максимальное значение энергии, запасаемой всердечнике, при намагничивании его синусоидальным током.

Ответ: 2,279 Дж. 2.23.~ Конденсатор при / = 0 начинает заряжаться от источника постоянной э. д. с. (рис. 2.3). Вать качественное описание процесса передачи энергии от источника в конденсатор. Как выглядят линии потока энергии в непосредственной близости от конденсаторами 2.24.

Вектор напряженности электрического поля Е в декартовой системе координат имеет единственную составляющую Е„, отличную от нуля. Показать, что при этом вектор Пойнтинга не можег иметь составляющей вдоль оси х. 2.25. В некоторой точке пространства вектор напряженности электрического поля Е=201 „В/м, в то время как вектор Пойитиига П = = 10 1„+ 30 1, Вт/м'. Определить вектор .

напряженности магнитного поля. Ответ: Н = — 1,51„+ 0,51, А/м. 2.26. В фиксированной точке пространства известны мгновенные значения векторов поля Е = Е0 сов (в/+а.1. Н = Насоз (вг+ фД, где Ее н Н,— постоянные векторы. Показать, что мгновенное значение вектора Пойнтинга складывается из неизменного во времени среднего значения П,р — — — (Ер Но1 соз (ф~ — щ) 1 м 2 и колеблющейся части Пиол= 2 1ЕОН01соз(2ом+фд+фД, 1 изменяющейся во времени с удвоенной частотой.

2.27. В диэлектрике с проницаемостью з 2,4 создано постоянное электрическое поле напряженностью Е = 200 кВ/м. Определить электрический дипольный момент области диэлектрика объемом 6 см'. Ответ: 1,485 10-и Кл.м. 2.28~. При феноменологическом описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель, которая уподобляет молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающим при своем движении вязкое сопротивление окружающей среды. При этом связь мемеду вектором поляризоваиности Р и вектором напряженности электрического поля Е устанавливается 'дифференциальным уравнением — + — Р=аЕ, дР 1 Ф Т где а — константа; Т вЂ” время релаксации среды.

Вывести зависимость комплексной абсолютной диэлектрической проницаемости от частоты. аТ Ответ: е,=е~+ 1+ 10>Т 2.29. Используя условия предыдущей задачи, вывести формулу, определяющую тангенс угла диэлектрических потерь. Ответ: 1дб,= а,+Т (а+оФ ео Т) 2.30~. Решить задачу 2.28 для случая, когда динамика процесса поляризации описывается уравнением — + — — +во Р=ЬЕ, сРР 2 ИР аР Т ИФ где а, — собственная частота молекулярного диполя; Ь вЂ” константа.

Такое уравнение возникает, если в качестве модели диполя принять осциллятор с трением. 22 ьт Ответ: е,=еа+ й (<о,* — ая) 7'+ 12" 2.31. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля Е = 28е~а'а 1 — 105е — н" 1„+ 36е/'а 1 (углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц. Найти мгновенное значение вектора Е в момент времени, равный 0,1 мкс. Ответ: Е = 4,311„— 104,81„— 32,9 1,. 2.32.

Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля В некоторой точке пространства задаются выражениями Е=0,85еУа.е1 1 3е — ~а.т1 Н=4,2 10-'е — и а1,. Определить комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение. Ответ. П = — 2 73. 10 — в е1 а а1 — 1 785. 10 в еУ 'а1 Па = — 2.396 10 ~1х+ 0.406'10 ~1Р. Глава третья СТАТИЧЕСНИЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕНТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ $ зл. ОснОВные теОРетические сведения Важный в прикладном отношении класс задач электродинамики характеризуется тем, что внешними источниками, порождающими электромагнитные полн, служат неподвижные в пространстве и неизменные во времени электрические заряды или жестко закрепленные в пространстве проводники, по которым протекают постоянные токи.

.Для математического описания этого частного вида электромагнитных полей в исходной системе уравнений Максвелла (2.1) еледует приравнять нулю все члены, содержащие производные по времени. В результате получаются следующие системы дифференциальных урав- нений Г01Е=О, йч0=р, (3.1) го1 Н=.1 йч В=О. (3.2) Проанализировать графики частотных зависимостей действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости. Электрическое поле, удовлетворяющее уравнениям (3.1), называют влектросталшческим. Поля, возникающие под действием системы постоянных во времени токов, принято называть стационарными.

Примером стационарного поля может служить магнитное поле, удовлетворяющее системе уравнений (3.2) и называемое магнитостатичегким. Стационарным является такжеэлектрическоеполе, существующее внутри проводящей среды при протекании постоянного электрического тока с объемной плотностью Л„при этом справедлив закон Ома в дифференциальной форме 1в (3.3) Безвихревой характер электростатического поля, вытекающий из первого уравнения системы (3.1), позволяет описать это векторное поле с помощью поля скалярного влектрического потенциала ф„определив связь между величинами Е и ф, соотношением Е = — игам ф, (3.4) (по традиции условно полагают, что силовые линии электрического вектора начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных). Важное свойство электростатического поля состоит в том, что разность потенциалов между двумя произвольными точками ф91 ф82 (3.5) 1 не зависит от выбора кривой, соединяющей точки 1 и 2, вдоль которой производи гся интегрирование.

Совместное рассмотрение второго уравнения системы (3.1) и выражения (3.4) приводит к уравнению Пуассона Ч~ф, = — р1а~, (3.6) которое является наиболее общим -уравнением электростатики для однородной среды, содержащей объемные электрические заряды. Если в некоторой области пространства эти заряды отсутствуют, то скалярный электрический потенциал подчиняется уравнению Лапласа ~2ф О (3.7) Уравнения Пуассона и Лапласа должны быть дополнены граничными условиями, обеспечивающими единственное решение: а) на поверхности идеальных проводников потенциал должен сохранять постоянное значение; б) при переходе через границу раздела двух диэлектриков потенциал должен быть непрерывным; в) если на границе раздела двух сред имеется поверхностный электрический заряд с плотностью о, то нормальная производная потенциала претерпевает скачок: е1 — — е ~ — =оч дч е1 вФэа а в~ а (3.8) 24 (снмволы 1 н 2 означают, что потенциалы относятся к первой и второй средам).

В задачах влектростатики имеет место принцип суперпозиции, вытекающий из линейного характера соответствующих дифференциальных уравнений: если заряды 9, и Я„распределенные в пространстве дискретно либо непрерывно, создают в некоторой точке проптранства потенциалы ~Р„и ~Р„, то суммарному заряду Я = Я1+ (~, отвечает суммарный потенциал ~Ре = Че1+ ~Ров. Электростатическое поле не изменится, если к потенциалу добавить произвольную постоянную.

Точечный заряд д в вакууме характеризуетая еферически аиммет ричным распределением потенциала: 'Рэ (г) — ° (3.9) 4яео Г Если внутри ограниченной области Р распределены электрические заряды с объемной плотностью р, то на основании принципа суперпозицин решение уравнение Пуассона запишется в виде Ц) = в 1 р~У (3.10) 4зеа й Здесь Я вЂ” длина отрезка между точками наблюдения и интегрирования.