Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981), страница 2

1.1). 1.2. Векторное поле А, удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию г1!ч А = О, называется с о л е н о ид а л ь н ы м (полем без источников). При выполнении условия го1 А = О поле А является п о т е н ц и а л ь н ы м векторным полем. Если такое поле характеризует силу, действующую на материальную точку, то работа внешних сил при обходе замкнутого контура будет равна нулю. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единст венную составляющую А „= 15х'. Проверить, является ли поле: а) соленоидальным; б) потенциальным.

Р е ш е и и е. Картина силовых линий поля А в плоскости ху изображена на рнс. 1.2. Вычисляя дивергенцию этого поля по формуле (1.2), получим, что Жч А = дА „/ду О. Следовательно, исследуемое поле соленоидально. Однако в соответствии о (1.6) го1 А = ЗОх1„поэтому поле ие является потенциальным. 1.3. Вычислить дивергенцию векторного произведения полей А и В.

Р е ш е н и е. Здесь удобно воспользоваться оператором Гамильтона, записав дл [АВ] = ЧАВ]. Оператор Гамильтона является дифференциальным оператором, поэтому к приведенному векторному произведению можно применить .обычные правила дифференцирования произведения: у!АВ] = 7А1АВ] + %'в1АВ]. Нижние индексы у оператора указывают поле, на которое он воздействует. Поле,.на которое оператор не воздействует, должно быть вынесено за знак оператора подобно константе.

В результате получаем сПч 1АВ] = В 1'УдА] — А ФаВ] = ВгоЬ А — Аго$ В. $1.3. 3АдАчи для сАмОстОятельнОгО Решения 1.4. Скалярное поле ф задано в декартовой сиатеме координат вь1- ражением ф = ЖРу аозг+ 2д. Вычислить векторное поле игам ф. Ответ: птаха ф = ба соз г1 + Зх' соз г1 „+ (2г — Зх'у з1п г) 1,. 1.5. В декартовой системе координат векторное поле А имеет единственную составляющую А, = Зу'. Построить качественно пространственную картину распределения силовых линий поля. Вычислить векторное поле го$ А. Ответ: го$ А = бу1 „. 1.6. Пусть поле А предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная «турбина» с прямыми лопатками (рис.

1.3); ориентация ее оси произвольна. Почему не будет вращаться «турбина», помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точкеР Почему угловая скорость вращения равна нулю при у =0 и изменяет направление при переходе из области у с.О в область у.> Ог Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бес- О конечно малому контуру. О+О 1.7.

В сферической системе коорди- О нат задано векторное поле А = г1,. Определить скалярное поле йч А. д Качественно построить картину силовых линий векторного поля. Ответ: ди А = 3. 1.8. В сферической системе координат Рие. 13 векторное поле А имеет единственную г-ю составляющую, причем А, = / (г).

Какова должна быть функция / (г), чтобы дивергенция поля А обращалась тождественно в нульг Построить картину силовых линий поля. Ответ: / (г) = а/г', где а — константа. 1.9. В декартовой системе координат скалярное поле «р имеет вид ~р = ехр ( — /йг), где / = $~ — 1 — мнимая единица; К = А„1„+ А„1е+ Щ1, — постоянный вектор; г = х1 „+ у1„+ г1, = радиус-вектор. Найти выражения для угад ~р и ур. Ответ: ягад ~р = — /й ехр ( — /йг), ур = — И ехр ( — /1и'), где = /~к + /~у + /~~«. 1.1О. Определить дивергенцию и ротор векторного поля, имеющего в декартовой системе координат единственную составляющую А „= = 20 яп (х/и).

20 /х1 Ответ: йч А = †„ соз ~-„~, го$ А = О. 1.11. Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: А, 10/г», А„= О, А, = О. Ответ: дЬ А = — 10/г», го1 А = О. 1.12. Определить дивергенцию и ротор векторного поля А, имеющего в сферической системе координат единственную составляющую Ав = Ь' ехр ( — 10г). Ответ: «1гч А = О, го1 А 16 (1 — 5г) ехр ( — 10г) 1~. 1.$3. В декартовой системе координат некоторое скалярное поле задано трехмерным интегралом Фурье «р ( а~~ Ф (а«аХ ««а анВ) еаа ««аа '«+«аа ««+«аа я1 «уа1 «Я «Я (2««)э аа ВЫЧИСЛИТЬ ~Щ.

Ответ: АЧ>= — ~ РФ» /г2, |гз) ег «' "+~* «'+"~ «Й1«йа«йз 1 Р (2 1 .1 где Р= — (й1+~3+Аз) Ф. 1.14. Изобразить графически картину силовых линий векторных полей, заданных в декартовой системе координат своими проекциями: А„= у+ 10, Ад = О, А, = О, 1.15. Найти ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в декартовой системе координат: А = соз (ау) 1„+ з1п (ах) 1„+ 1я (аг) 1„ В = 6х1„+ 6 1„+ 10у1,. Ответ: го1 А = а (соз (ах) — з1п (ах)) 1„сИч А = аlсоз~ (аг), го1 В = — 6.1„, дп«В = 6.

1.16. Используя правила действия с оператором Гамильтона, до- казать тождество го1 (АВ) = (ВЧ) А — (А7) В + А с11ч  — В «1«ч А. 1.17. В пространстве заданы два векторных поля А и В. Найти выражение для поля С = угаси (АВ). Указание: Выразить операцию ига«1 через оператор 7 и воспользо- ваться правилом дифференцирования произведения. Ответ: С = 1А го1 В1 + ! В го1 А1 + (В7) А + (А7) В. 1.18. Доказать следующие тождества векторного анализа («р и А— произвольные дифференцируемые скалярное и векторное поля): «1п«го1А = О; го1 ига«1 «р = О, го1 («рА) = (рад «рА) + «р го1 А, дп«(«рА) = ~гад «рА + «р дж А, угад («рдД = «р1 ~гад «р~ + «р~ игам «р» 1О !.19. Векторное поле А обладает единственной составляющей А„, которая постоянна в пределах плоского слоя толщиной 2а: 0 (у~4, Ао И»у» ~— 4в О (у с" — 4.

Найти выражение ротора поля. Ответ: го! А = А, И (у — 4 — б (у + 4) 1„где б (у) — функция Дирака. Глава вторая УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА $3л. ОснОВные теОРетичесние сведвния Классическая теория электромагнетизма базируется на уравнениях Максвелла, описывающих совокупность эмпирических сведений об электромагнитном поле.

Для вакуума вводят два основных векторных объекта — напряженность электрического поля Е и напрявссенноипь магнитного поля Н. Кроме того, определяют скалярное поле объемной плотности влектрического заряда р и векторное поле объемной плотности электрического тока Л„связанного с движением носителей заряда в пространстве. Система уравнений Максвелла для вакуума относительно перечисленных величин ааписываетея в'виде го1 Н=е~ — +3,„ дн дС дН го! Е = — ре —,' дС с!1ч Е = р/ео, (2.1) с11ч Н=О. В эти уравнения входят две фундаментальные физичеекие константы: е, = 10 '/(36п) Ф/м — электрическая постоянная и уо = = 4п.10-' Гн/м — магниписая постоянная.

К основным принципам электродинамики отноаится также закон сохранения электрического заряда, находящий свое отражение в уравнении непрерывности тока: йч Я, + др/дС = О. (2.2) Первое уравнение системы (2.1) представляет собой дифференциальную форму записи известного закона Ампера, дополненную вектором плотности тока смещения: дЕ 1м=ее— дС 11 Иногда бывает удобно выделять плотность стороннего электрического тока Л„„возникающего в пространстве под действием сил не- электромагнитного происхождения. Сумму тока смещения, тока проводимости, а также стороннего тока в электродннамике называют полным током. Второе уравнение системы (2. 1) описывает закон электромагнитной индукции Фарадея.

Два остальных уравнения, строго говоря, зависят от первых двух уравнений Максвелла. Из третьего уравнения системы (2.1) следует, что силовые линии электрического поля могут начинаться и оканчиваться только на электрических зарядах. Четвертое уравнение указывает на то, что в вакууме силовые линии магнитного поля всегда замкнуты (магнитное поле не имеет источников). В присутствии материальных сред теория Максвелла должна быть дополнена рядом новых представлений, учитывающих микроскопическую структуру вещества. Под действием приложенного электрического поля Е в среде возникает ток проводимости с объемной плот- ностью (2.3) 3,= аЕ. Здесь а — удельная объемная проводимость вещества.

Соотношение (2.3) есть дифференциальная форма записи закона Ома', пропорциональность между Я, и Е в сильных электрических полях может нарушаться. Молекулы или атомы вещества в электрическом поле испытывают поляризацию, что отображается в теории введением векторного поля влектрической поляризованности Р. Данный вектор в каждой точке характеризует дипольный момент единицы объема вещества. Если электромагнитное поле переменно во времени, то в среде возникает электрический ток поляризации с объемной плотностью Л,„= дР/д8. В каждой точке среды принято вводить вектор электрического смещения (индукции) О = авЕ+ Р.

(2.4) В результате первое уравнение Максвелла приобретает вид го( Н = дР/д~ + аЕ + Л, (2.6) Магнетизм материальных сред имеет квантовую природу. В рамках классических представлений определяют векпюр намаениченности М, являющийся магнитным моментом единицы объема вещества, и вектор магнитной индукции В, связанный с.Н и М соотношением В= р,,(Н+И). Второе уравнение Максвелла в материальной среде имеет вид го( Е = — дВ/д~. (2.6) Третье и четвертое уравнения Максвелла записываются так: йч0=р, (2.7) йчВ=О.