Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981), страница 3

(2.8) В не слишком сильных полях как поляризованнозть, так и'намагниченность линейно связаны с напряженностями полей: (2.9) Р=ЬЕ, М=Х„Н, где т„т„— диэлектрическая и магнитная восприимчивости вещества. На основании этого материальные уравнения электромагнитного поля можно записать в форме (2.10) 0= е,Е, В= р,,Н. Коэффициентами пропорциональности между напряженностями и индукциями являются абсолютная диэлектрическая проницаемость е„ и абсолютная магнитная проницаемость р, В расчетах часто используют относительные, проницаемости з = за~во~ Р = Ра~И0 (2.11) ~х — аахх Ех + заму Еу + ваха Етэ Вд — — е,д„Е„+е,дд Е„+зад, Е„ Ог = заях Ех+ заир Еу +заи Еаз (2. 12) ах = Рахм ~х + Рв хР ~у + Рахн ~ гю Ба = Рада ~х + Равд ~и + Раиа 0в аа = Рагх Цх + Раув ~у + Раж ~а Таким образом, в общем случае пары векторов 0 и Е, В и Н непараллельны в пространстве.

Четвертое уравнение Максвелла йч В = О свидетельствует о том', что в природе не существует магнитных зарядов. Тем не менее иногда бывает удобно воспользоваться формальным представлением о стороннем магнитном токе, плотность которого Я„'.„вводят в правую часть второго уравнения Максвелла. Окончательно получаем:- Соотношения вида (2.10) справедливы лишь при условии, что взаимодействие поля и вещества происходит практически безынерционно. На очень высоких частотах, в диапазоне СВЧ и оптическом диапазоне приходится учитывать эффекты, связанные с конечным временем установления состояния вещества.

При этом можно говорить о диэлектрической и магнитной проницаемостях, зависящих от частоты. Все сказанное ранее относилось к изотропным средам. Если вещество обладает анизотропией электродинамических ввойатв (различные кристаллы, а также плазма, находящаяся в магнитном поле),, то скалярные величины е, и и, следует заменить на тензоры второго ранга (з,) и (р,,). Тогда материальные уравнения (2. 10) можно записать в развернутом виде: уравнения Максвелла в дифференциальной форме го$Н=дР/д1+оЕ+Л .„ го1 Е = — дВ/д1 — Л (2.13) сИч0= р, сИуВ =О; уравнения Максвелла в интегральной форме Нс11 = — +оЕ+ Л, с18, Есй = — — + Л„„с5, (2.14) Рс18= рсВ', Всй = О. Часто приходится рассматривать электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону с частотой со.

При этом уравнения Максвелла записывают относительно колплексньск амллилуд юлей го1 Н =~соя, Е+ 1„„ го1 Е /саР~ Н «1~у ур (2.15) сИу 6=р, сИч В=О. В эти уравнения входят комплексные диэлектрическая е, и магнитная Р,, проницаемости: аа за /зав Р~ Ра /Ра Наличие мнимых частей проницаемости указывает на необратимое превращение части энергии электромагнитного поля в энергию теплового движения. Выделение тепла может происходить как за счет токов проводимости, так и за счет внутреннего трения, сопровождающего процессы поляризации и перемагничивания.

Если потери в среде связаны только с наличием токов проводимости, то за = за /сс/саню Р'а = Р'а (2.20) П = (ЕН) (2.22) характеризует плотность потока мощности излучения. Для полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, принято вводить комплексный вектор Пойнтинга П= — ~ЙН1. Действительная часть этого вектора П,р — — Ке ~ ЙЙ1 (2.23)- (2.24) В технике различные вещества принято характеризовать о помощью тангенсов иглов диэлектрических и магнитных потерь: 1Фе=ааНаэ 1ябм=ра/Ра ° Д.16) На границе раздела двух материальных сред о различными электродинамическими параметрами векторы поля должны удовлетворять определенным граничным условиям.

Каждый из векторов (например, Е) в точке границы принято разлагать на нормальную и тангенциальную (касательную) составляющие: Е=Еп1ю+Е~ 1т (1„и 1, — орты нормального и тангенциального направлений соответственно). Нормальные составляющие индукций и тангенциальные составляющие напряженностей непрерывны в каждой точке границы раздела: В,„=О,„, Е, =Е„; ~1п — Вйд~ Н1 с Н~с. (2.17) Если одной из сред является идеально проводящий металл, для которого о-~- оо, то на его поверхности тангенциальная составляющая электрического вектора отсутствует: Е, = О.

(2.18) На поверхности металла имеется электрический ток о поверхностной лотностью Ч = 11„Н]. (2.19) Электромагнитное поле является носителем энергии. Объемная плотность энергии в любой точке пространства го = — (Е0+ НВ). 2 Закон сохранения энергии находит свое отражение в теореме Пойнтинга: — сИч1ЕН) = — — (Е0+ НВ) +оЕ'+Л„., Е+Я~,.„Н.

(2.21) Вектор Пойнтинга равна среднему за период потоку мощности излучения. 15 Из уравнений Максвелла вытекает ряд дополнительных соотношений, которым должны удовлетворять электромагнитные поля. Так, если система сторонних источников Л„,„возбуждает в пространстве электромагнитный процесс Е1, Н„в то время как системе Л, „отвечают поля Е„Н„то справедливо равенство Йч [Е1 Н~[ — йч [Й~ НД = Й2.1,~, — И~ Л ~, (2.25) называемое леммой Лоренца. $2.2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 2.1. В вакууме существует электромагнитное поле, гармонически изменяющееся во времени. В некоторой точке пространства вектор Е = 130 соз 2п 10~о ~. 1 Определить плотность тока смещения в данной точке. Р е ш е н и е. По определению ток смещения 1см=ае — — — — 0,556 з1п 2д.10м ~1„. Следует обратить внимание на то, что в пространстве ток смещения и напряженность электрического поля параллельны, однако ток опережает по фазе напряженность поля на 90'. 2.2. Показать, что из уравнений Максвелла для вакуума следуют известные волновые уравнения 1 д~Е ~Š— — =0, еом дР (2.26) Р е ш е н и е.

Выпишем систему из двух первых уравнений Максвелла, справедливых для вакуума в отсутствие сторонних источни ков; дЕ го$ Н=во —, д1 дН го1 Е= — ро— д1 и применим операцию го1 ко второму уравнению системы (2,27): го[ го1 Е ии ~гад йч Š— д' Е = — ро — (го1 Н). д д1 Предполагая, что в интересующей нас области пространства нет зарядов (йч Е = О) и воспользовавшись первым уравнением (2.27), получим волновое уравнение (2.26) для вектора электрического поля.

Уравнение относительно вектора магнитного поля находят аналогично. 16 2.3. Материальная среда характеризуется абсолютными прони- цаемостями ав = аа (х, у, г), ра = ро. Вывести дифференциальное уравнение второго порядка, которому должно удовлетворять векторное поле Н в данной неоднородной сре- де, если электромагнитный процесс гармонически изменяется во вре- мени с частотой а. Р е ш е н и е. Рассмотрим два первых уравнения Максвелла от- носительно комплексных амплитуд: го1 Н = ~ее, Й, (2.28) го$Е = — уар,о Н и применим операцию го$ к первому уравнению (2.28): го1 го1 Н и=- р ай й ч Н вЂ” ~' Н = ув го1 (е, Е).

Магнитная проницаемость среды неизменна в пространстве, по- этому йч Н = О. Кроме того, го$(а Е) =(раде, Й]+е го$ Й. Вектор Е можно выразить через вектор Н из первого уравнения (2.28): И =.:1 гот й. ~ОЕа Огсюда получаем окончательный вид искомого уравнения 'р'Н+а~е,рой+ ~' ' го1Н =О. е~ 2.4. Показать, что уравнение непрерывности тока вытекает из первого и третьего уравнений Максвелла (2.1). Р е ш е н и е.

Здесь следует принять во внимание известное тождество векторного анализа и запивать йчго1 Н=е~ — йч Е+йч Л,=О, а ас а затем 'воспользоваться третьим уравнением Максвелла (2.1). Таким образом, приходим к уравнению непрерывности др/д1+йч Л,=О. 2.5. Нестационарные задачи теории электромагнитного поля удоб- но решать операторным методом подобно тому, как это делается при изучении переходных процессов в линейных электрических цепях. Вводя изображения векторов поля: ОР $(г, р)= Е(г, ~)е Р~сЦ, ФО Ж(г, р)= ~Н(г, ~)е-Р'сУ, Е», — — Е...

и»„= в„„ Е» з»п д» = Е~ яп бу> е»Е» соз 6» = е,,Е~ соз д,. или Леля эти уравнения друг на друга, получим или 1а 0»ла б, = ,й.. Отметим, что если а, -»- оо, то 6, -»- Ы2 независимо от ориентации поля в первой среде. 2.7.

В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды векторов поля: 6 = 35е~6' 1„, Н=У4.10- 1„. Найти мгновенные значения векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга. 18 найти операторную форму уравнений Максвелла для вакуума в отсутствие сторонних источников. Р е ш е н и е. Преобразуем по Лапласу обе части системы уравнений Максвелла (2.27).

Векторные дифференциальные операции проводят по пространственным координатам, поэтому оператор го1 может быть вынесен аа знак интеграла. Если полю Е соответствуег изображение Ж, то изображением производной дЕ/д~ будет выражение рЖ вЂ” Е (г, О), которое учитывает начальное состояние поля »ф при 1 = О. Таким образом, получается система уравнений Максвелла относительно изображений: У го1Ж = ~®66 — а,»Е (г, О), а го$ Ж = — р1»,Ж +»»,Н (г, О). »~г 2.6.

Имеется плоская граница раздела двух сред, обладающих относительными диэлектрическими проницаемостями е, и е, (рис. 2.1). Силовые линии электрического поля в первой среде образуют угол 6» о направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля во второй среде. Р е ш е н и е. Воспользуемся граничными условиями Р е ш е н и е. Мгновенные значения связаны о комплексными амплитудами известными формулами Е(г, 1) =Ке(Е(г) е/"") Н (г, 1) = Ке (Н (г) е~ "), откуда Е (г, 1) = 35 соз (а1 + 60') 1„, Н (г, 1) = — 4 ° 10 е з1п а1 1„. Для полей, гармонически изменяющихся во времени, П, = —.

Ке [ЕЙ] =6,062 10-'1, Вт/м'. е 2.3. 3АдАчи для сАмОстОятепьнОГО Решения 2.8. Показать, что векторное поле Н, изменяющееся в пространстве и во времени по закону Н = 6х соз а11 „ + 2 ехр ( — 2д) з1п а11„ не может быть полем магнитного вектора, удовлетворяющим уравнениям Максвелла. 2.9.

Показать, что из четвертого уравнения Максвелла в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных координат,.вытекает следующее уравнение для вектора напряженности магнитного поля: Йч Н= — — (НягЫр,). 1 ра 2.10. Некоторый электромагнитный процесо характеризуется тем, что все составляющие полей зависят лишь от координаты г. Показать, что на основании уравнений Максвеллаприэтом будут отсутствовать продольные составляющие Е, и Н,.

2.11. Показать; что электромагнитное поле, гармонически изменяющееся от времени с частотой а в области пространства, свободной от источников, удовлетворяет однородным уравнениям Гельмгольца ~'Е+а'е,р, Е=О, 'д'Н+а'е, р, Н=О. 2.12. Доказать, что четвертое уравнение Максвелла йч В = О можно рассматривать как следствие второго уравнения го1Е = — дВ/д1 при некотором дополнительном условии. Каково это условием 2.13. В материальной среде с параметрами е = 3,5 и о = 7,2 Х М 10-' См/м создано электрическое поле, имеющее частоту 600 МГц н амплитуду 15 В/м. Определить амплитудное значение и фазовый угол вектора плотности полного тока, существуюц1егов каждой точке данной среды.

Отваи .lв 10,94 А/м', ток опережает по фазе напряженность поля па угол 0,16 рад. 2.!4. В толще однородного диэлектрика с известной относительной проницаемостью з, первоначально было создано равномерное электрическое поле Е, а затем прорезаны две узкие полости 1 и 2 (рис. 2.2), одна из которых ориентирована параллельно, а другая перпендикулярно полю. Полости заполнены воздухом. Какова величина напряженности электрического поля в обеих полостяхе Указание: воспользоваться граничными условиями для векторов электрического поля. Ответ: если полость параллельна внешнему полю, то Е„, = Е,; в противном случае Е,„, = еЕ,„ 2.15.