Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981), страница 7

Другой случай применимости квазистационарных методов — исследование процесса распространения электромагнитных возмущений в хорошо проводящей (металлоподобной) среде, в которой плотность тока проводимости 1 = оЕ значительно превышаег плотность тока смещения У,„= ае,Е. При этом из системы (4.1) получаются дифференциальйые уравнения второго порядка: р Н=ор, — — го1Л„.„ дН дС. (4.2) 17 Е= оР дЕ д~. Данные уравнения в отличие от волновых уравнений содержат лишь первую производную по времени. Классификационно они относятся к дифференциальным уравнениям в частных производных параболиче.

ского типа 131 и описывают физические процессы, схожие с процессами нестационарной теплопроводности или диффузии. Е 4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ 1ИПОЕЫХ ЗАДАЧ 4.1. Доказать, что первый закон Кирхгофа, устанавливающий равенство нулю алгебраической суммы токов в узле-электрической цепи, есть следствие уравнения непрерывности. Р еш ен и е. Окружим узел цепи замкнутой поверхностью Я. Пусть У означает объем, ограниченный этой поверхностью. Ток может поступать внутрь этого объема и выходить наружу только в тех точках, где проводники пересекают поверхность 8.

Физически очевидно, что в узле не может накапливаться электрический заряд. Поэтому из уравнения непрерывности йч Л, +др/д1=0 следует,' что Д1ч 3, Лl = — — 'як%=0. д д1 40 На основании теоремы Остроградского — Гаусса получим ам~,а~=~~,Ю=Х~„='0 и что и требовалось доказать. 4.2. Методами электродинамики показать, что мгновенная мощность р (1), потребляемая произвольным электрическим двухполюсником, выражается формулой р(1) =ш', где и — напряжение на зажимах двухполюсника; 1 — ток через двухполюсник. Р е ш е н и е.

Мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником, выражается поверхностным интегралом (см. гл. 2): р (1) = —. (ЕН) Ж, (4.3) вычисленным по произвольной поверхности Я, охватывающей двухполюсник. При р к.'0 энергия электромагнитного поля поступает из рассматриваемого элемента во внешнюю 'цепь и в этом смысле он эквивалентен генератору.

При А р ~ 0 двухполюсник потребляет энергию из внешнего поля и является нагрузкой. Выразим интеграл (4.3) через величины и ~ и 1. Лля этого обозначим символами А, и А, точки пересечения проводников с поверхностью Я и осуществим параметризацию втой поверхности (рис. 4.2): а) точки А, и А, будем считать особыми точками параметризации (подобно северному и ~~2 южному полюсам сферы); Рис. 4.2 б) построим семейство кривых (1Д, соединяющих точки А, и А, наподобие географических меридианов; в) введем ортогональное ему семейство кривых (1Д, играющее роль географических параллелей.

В соответствия с определением понятия напряжении и= ЕЛ,. с, Согласно закону полного тока для замкнутого контура 4 = НД1$. . Так как векторный дифференциал поверхности д8 = — [~лф),К В векторной алгебре показывается, что (АВ] (СР) = АС ВР— АР«ВС. Поэтому р ~~~ ='3 Ей, 1 ~~~~,— ~ Е~~,) ~~й,.

ь Здесь второе слагаемое в правой части должно быть равно нулю, поскольку в рамках квазистационариого приближения электрическое поле считается потенциальным. Таким образом, р (1) = ~ ЕЛ, ~ НЛ~ = и (1) ~ (1). — — ~вр,ой =О. Йх* (4.4) Введя обозначение 0= = увы,о, запишем общее решение: Н (х) Ле — ьк + 8еьх в которое входят две произвольные постоянные А и 8. Так как поле при х-+ оо должно быть ограниченным, то коэффициент Ь следует положить равным нулю. Тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля на границе раздела непрерывны, поэтому А = Н,. Таким образом, при х) О, Й~ (х) = Ное-ьх или в развернутом виде Й„(х)=Н,ехр — ~' х ехр — ~ ~ х . (4.5) Итак, двухполюсник потребляет энергию в случае, когда увеличение тока ведет к повышению потенциала того зажима, к которому в данный момент времени притекает ток из внешних цепей.

4.3. Бесконечное полупространство х О заполнено хорошо проводящей средой с известными параметрами а и р, = рр,. На границе раздела а воздухом при х = О аадано значение комплексной амплитуды вектора Н, имеющего единственную составляющую, направленную вдоль оси у: Н = Н «1„. Предположив, что электромагнитное поле постоянно вдоль координатных осей у и г, вывести закон пространственного изменения магнитного поля внутри проводящей среды. Р е ш е н и е. Комплексная амплитуда напряженности магнитного поля в проводящей среде удовлетворяет уравнению, вытекающему из (4.2): Итак, амплитуда гармонических колебаний внутри хорошо проводящей среды экспоненциально уменьшается с удалением от границы раздела, в то йремя как фаза изменяется по линейному закону.

Поле и токи сосредоточены в слое, непосредственно прилегающем к границе раздела ( аоаерхноаляый аффект). Глубина проникновения поля в среду 2 и'= 41)Р(4 () (4.8) характеризуется тем, что на таком расстоянии от поверхности поле уменьшается по амплитуде в е = 2,71828 ... раза.

4.4. Исходя из условий предыдущей задачи найти распределение вектора плотности тока проводимости в полупространстве,заполненном хорошо проводящей средой. Р е ш е н и е. Искомый вектор плотности тока проводимости можно найти из первого уравнения Максвелла: го1 Н = Л р, в котором отсутствует слагаемое, соответствующее току смещения. Используя решение (4.5), можно записать Л р=- н 1 = а(1+ДНое — а(1+1)х1 дх (4.7) где Таким образом, ток в объеме проводящей среды ориентирован в направлении, перпендикулярном силовым линиям магнитного поля, Из формулы (4.7) получаем комплексную амплитуду напряженности электрического поля Е=1 ( = — 4' "Е'(1+1)Н,Е- 949*1 (49) Ток в объеме проводящей среды можно условно заменить эквивалентным поверхностным током, плотность которого находят интегрированием объемной плотности по всему проводящему полупространству: еи еи Ех ) Я,е 4х = — и (1+ 1) Н, 1, ~ е-" и+" 'их — Н, 1„А(м. (4 9) о Вектор Е на поверхности металла (4.10) Таким образом, плотность поверхностного тока и напряженность электрического поля на границе раздела коллинеарны (но не синфаз- 43 ны!); коэффициент пропорциональности между ними называется комплексным поверхностным сопротивлением: Хз = Е (О)/Чз.

На основании выражений (4.9) и (4.10) можно записать Еж ((а-(-(Хв=!' ~~ ((+((. (4.12) 2О Для 'технических расчетов особенно важно аипивное поверхностное сопротивление Ъ (Фа 2(:(, аМ (4.13) Величина Ке численно совпаРис. 4.3 дает с сопротивлением между противоположными гранями параллелепипеда, выполненного из проводящего материала, причем размеры широких ребер равны ! м, а высота — глубине проникновения с! (рис.

4.3). $4.3- ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 4.5. Кольцевой проводник выполнен из нихрома (о = 5 1У См/м). Диаметр кольца 50 мм, диаметр провода 0,25 мм. Проводник помещен в однородное магнитное поле таким образом, что угол между осью кольца и направлением вектора магнитной индукции составляет 30. Магнитная индукция имеет амплитуду 0,1 Тл и изменяется во времени по гармоническому закону с частотой 1 кГц. Определить амплитуду тока, наводимого в. кольце. Ответ: 167 мА. 4.6.

В индуктивной катушке проходит переменный ток; напряжение на ее зажимах измеряется двумя вольтметрами $', и Р„включенными так, как показано на рис. 4.4. Почему показания вольтметров будут отличаться друг от друга? Какой из вольтметров зафиксирует большее напряжение? 4.7..Для создания проволочных резисторов с минимальной индуктивностью применяют так называемую бифилярную намотку (рис. 4.5). Объяснить причину уменьшения индуктивности при таком способе намотки по сравнению о обычной однорядной намоткой. 4.8. Для защиты от внешних электромагнитных полей катушка колебательного контура помещена в замкнутый экран из хорошо проводящего материала. В какую сторону изменится собственная частота контура из-за наличия экрана? Ответ: аобственная частота контура повысится.

Рис. 4.5 Рис. 4.4 Указание: выделить отрезок линии длиной Ьх ~(А и воспользоваться законами Кирхгофа в предположении квазистационарности процессов внутри данного четырехиолюсника. 4.10. Показать, что система (4.14) эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка <Р б~йР+ а'[., С, с) = О, сР!~йР+сУ1 С 1=0, илн называемому уравнением Гельмгольца. Указание: по методу контурных токов составить уравнение электрического равновесия двух смежных четырехполюсников длиной Лх каждый и перейти к пределу при Лх-+ О. 4.11. Используя условия задачи 4.4, вывести формулу для среднего значения вектора Пойнтинга внутри проводящей среды.

Отвелс П,ц =~~~ Но ехр ( — )'2вр, ах) 1„. 4.!2. Во многих устройствах СВЧ для уменьшения омических потерь токоведущие поверхности покрывают тонким слоем серебра. Определить толщину серебряного слоя, при которой плотность тока на его внутренней поверхности сокращается в 200 раз по срав- 45 4.9. Регулярная линия передачи представляет собой систему двух проводников, соединяющих генератор и нагрузку. Поперечный раа.

мер системы значительно меньше длины волны передаваемых колебаний, в то время как протяженность линии сравнима с длиной волны. Линия характеризуется погонной индуктивностью Е.„Гн/м и погонной емкостью С„Ф/м. Показать, что при возбуждении линии источником гармонических колебаний с частотой о) комплексные амплитуды напряжения 0 и тока 1 как функции продольной координаты х подчиняются дифференциальным уравнениям ~ОИх= — М,~, (4.14) ли = — ~о)с,ц, называемым телеграфными уравнениям и. Глава пятая ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Е ФЛ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Плоские электромагнитные волны существуют в однородных безграничных средах. В случае полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, комплексные амплитуды Е и Н удовлетворяют уравнениям Гельмгольца 'Р Е+Т'Е =О, (5.1) ~~ Н+ у'Н=0, где Т = в~з ра = 0 — уа — комллексныйквэффациент распространения; !! — коэффициент фазы, илн волновое число; а — коэффициент овладения.