Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы, страница 8

Величины х и у, как и фокусные расстояния г и 1'„являются алгебраическими (на рисунках указываются их модули). Проведем из тачки Р луч 1, параллельный оптической оси, Он пересечет плоскость Н в точке А. В соответсгвии со свойствами главных плоскостей сопряженный лучу 1 луч 1' должен проходить через сопряженную с точкой А точку А' плоскости Н'. Так как луч 1 параллелен оптической оси, сопряженный с ним луч 1' пойдет через задний фокус Р. Теперь проведем из точки Р луч 2, проходящий через передний фокус Р. Он пересечет плоскость Н в точке В.

Сопряженный с ннм луч 2' пройдет через сопряженную с точкой В точку В' плоскости Н' и будет параллельным оптической оси. Точка Р' пересечения лучей 1' и 2' представляет собой изображение точки Р. Легко видеть, что изображение О'Р1 отрезка ОР должно быть перпендикулярным к оптической оси. Положение изображения О'Р' можно охарактеризовать либо расстоянием х' от точки Р' до точки О; либо расстоянием з' от Н' до О'. Величины х' и г' являются алгебраическими. В случае, изображенном на рис. 23, они положительны. Величина х', определяющая положение изображения, закономерно связана с величиной х, определяющей положение предмета, и с фокусными расстояниями 1 и 1'. Для прямоугольных треугольников с общей вершиной в точке~Г (рис. 23) можно написать соотношение: ОР у — х Н — у' Об ьединив оба соотношения, получим, что ( — х)/( — ~) = 1'/х', откуда хх' = 11'.

(9.7) Выражение (9.7) называется форм улой Н ьютон'). При выполнении условия (9.3) формула Ньютона принимает вид: хх' — )т. От формулы, связывающей расстояния х и х' предмета и изображения от фокусов системы, легко перейти к формуле, устанавливающей связь между расстояниями а и з' от главных точек. Как следует из рис. 23, ( — х) = = ( — з) — ( — !) (т. е. х = и — О, х' = а' — !'. Подставив эти выражения для х и х' в фбрмулу (9.7) и произведя преобразования, получим:. — + — = 1. Г (9.9) Соотношения (9.7) — (9.10) представляют собой формулы центрированной оптической системы.

Из выражений (9.5) и (9.6) получаются формулы для линейного. увеличения, даваемого центрированной оптической системой: у' ! х' () = — = — — = — —. у к (9.11) Как следует из (9.11), линейное увеличение не зависит от размера предмета у. Позтому изображение плоского предмета, перпендикулярного к оси системы, будет ему подобно. Напротив, изображение предмета, 'имеющего протяженность вдоль оптической оси, не будет ему подобно (рис.

24). Это вытекает хотя бы из зависимости линейного увеличения от х. ') Рекомендуем читателю пронзвесгн построение изображения и провести рассуждения, приведшие н формуле (9.7),'для случая, когда предмет ОР расположен между плоскостями г" и Н, а также для нного, чем на рнс. ЗЗ, взаимного расположения кардинальиыя плоскостей, например, для последовательности г~гтН' нли НЕН'Г'. 44 При выполнении условия (9.3) формула (9.9) упрощается следующим образом: ! ! ! .т з' В оптике часто приходится иметь дело с изображением пространственных предметов„отдельные точки которых лежат на разных расстояниях х от фокальной плоскости. Для характеристики свойств системы в этом Рас 24.

случае вводится в рассмотрение продольное увел и ч ение а, показывающее отношение длины изображения Ых' к длине изображаемого отрезка Их, расположенного вдоль оптической оси: 4х а= —. от Дифференцирование соотношения (9.7) дает, что х дх'+ + х'ох = О, откуда Их х (9.13) Их х' Приняв во внимание (9.11), выражение (9.13) можно преобразовать следуюшим образом: = — ф~ — 1,) ( — «~) = — ~ )г.

(9.14) Соотношение (9.14) устанавливает связь между поперечным й и продольным ц увеличениями. Продольное увеличение характеризует резкость изображения пространственного объекта на плоском экране (так называемую глубину резко изображаемого пространства) . Возьмем два произвольных сопряженных луча: 1 и 1' (рис. 25). Отношение тангенсов углов и' и а, образуемых сопряженными лучами с оптической осью, называется угловым увеличением у системы: 1иа ' (9.13) Из рисунка видно, что !я и !ни' ( — ()+(- «) 1+« !на !к( — и) г'+«' ('+«' Заменив в соответствии с (9.7) х' через Д'Ь (нли и через Д'/х') и произведя преобразования, получим: У ~ T « « С учетом (9.11) выражение (9.16) можно преобразовать следующим образом: ! (! 11= Рй' (9.17) Наконец, перемножив выражения (9.14) и (9.17), найдем соотношение, устанавливающее связь между всеми тремя увеличениями: ау=6.

(9.18) Сопряженныс точки Д' и Л", для которых у = +1, являются, как и точки тт, Н', г и Е', кардинальными точками системы. Они называются у з л о в ы и и т о ч к а м и или у з л а м и. Сопряженные лучи, проходящие через Рао 2,« узлы, параллельны между собой (см. лучи 2 — 2' и 3 — Л' на рис. 26). Перпендикулярные к оптической оси плоскости, проходящие через узлы, называются у аловы ы н плоскостями. Таким образом, всего имеется три пары кардинальных точек (фокусы, главные точки и узлы) и три пары кардинальных плоскостей центрированной оптической системы.

Приравняв единице выражение (9.!6), получим для координат узлов следующие значения: хл — — )', х',. =1. Из рис. 26 легко видеть, что при соблюдении условия (9.3) узлы совпадают с главными точками, В атом случае лучу, проходящему через переднюю главную точку Н, соответствует параллельный ему сопряженный луч, идущий через заднюю главную точку Н'. Р/' Ркс 27. Свойство узловых точек можно использовать при построении изображения. На рнс. 21, кроме луча 1, параллельного оси, и луча 2, идущего через фокус, изображен луч 3, проходящий через передний узел Й. Этот луч пересекает плоскость Н в точке С.

Сопряженный случом3 луч 3' проходит через сопряженную с точкой С точку С' плоскости Н'. Кроме того, луч 3' должен проходить через задний узел У'. Для построения изображения достаточно взять любую пару из лучей 1, 2 и 3. 5 1О. Сложение оптических систем Если две центрированные оптические системы разместить одну за другой так, чтобы их осн совпадали, онн образуют единую центрированную оптическую систему.

Зная расстояние между системами н положение их 47 кардинальных плоскостей, можно найти положение кардинальных плоскостей составной системы. На рис. 28 показаны главные плоскости и фокусы складываемых систем. Обозначения, относящиеся к первой системе, снабжены индексом 1, относящиеся ко второй системе — индексом 2. Расстояние от заднего фокуса Я первой системы до переднего фокуса 1т второй системы обозначено символом Ь. Когда гз лежит справа л/-л=л, рвс. 28. от Я, А положительно, в-противном случае Ь отрицательно. Случай, изображенный на рис. 28, соответствует положительному Л. Расстояние от задней главной плоскости Н~' пеРвой системы до передней главной плоскости Нз второй системы обозначим через д; Величина И также алгебраическая; она будет отрицательной, если плоскость Нз окажется слева от плоскости Н1.

Расстояние Ь можно выразить через с~: Возьмем луч 1, параллельный оптической осн. Выйдя нз первой системы, он пройдет через фокус Й и попадет во вторую систему. Если фокусы Л и гт не совпадают (Л чь 0), луч по выходе из второй системы пересечет ось в точке Р', которая по определению является задним фокусом составной системы. Точка пересечения луча 1' с воображаемым продолжением луча 1 будет лежать на задней главной плоскости Н' составной системы. Это следует из того, что точка пересечения луча 1' с плоскостью Н' должна находиться на таком же расстоянии от оси, как и точка пересечения луча 1 с плос- откуда х,'(Р') = — —.

1я2 Ь (10.2) Для прямоугольным треугольников с общей вершиной в точке Р; можно написать соотношение: а 1~ 1', (10.3) — У' Ь+( — 12) ст а — 12 ' Аналогично, для-треугольников с общей веригиной в точке Р' имеем: — — (10 4) -и 1+хг(Р) 6 Ч2!а 1з(а — 1з) Приравняв правые части соотношений (10.3) и (10.4), придем к формуле для заднего фокусного расстояния суммарной системы: Я Ь (!0.5) Проследив путь параллельного оси луча, идущего справа налево н проходящего последовательно через вторую и первую системы, летно прийти к формулам для переднего фокусного расстояния 1 суммарной системы н 49 костью Н (положение последней плоакости пока не известно, она изображена на рис.

28 пунктиром). Расстояние Н)Р' представляет собой заднее фокусное расстояние 1' составной системы. Для случая, изображенного на рнс. 28, фокусное расстояние 1'.отрицательна, так что истинное расстояние между точками Н' и Р' равно ( — 1'). Каждый нз фокусов Р„Р;, Р и Р' образует начало системы отсчета. Координаты в этих системах мы будем обозначать соответственно х„х'„х и х' Рядом, в скобках, будем указывать обозначение точки, для которой написана данная координата. Координата х'(Р') фокуса Р; отсчитанная в системе с началом в точке Р', связана с координатой х (Р;) точки Рь отсчитанной в системе с началом в Рз (для рассматриваемого случая х (Р',)= — Ь), фармулой (9.У): ( — Л) ° х'(Р') = 1з(м координаты х~(Р) переднего фокуса Р, отсчитанной от точки Еь Повторив рассуждения, приведшие иас к фор- мулам (Ю.2) и (10.5), можно получнтги Ф (10.6) (10.7) Найдем оптическую силу суммарной системы.