Савельев - Курс общей физики Том 3 - Оптика, Атомная физика, элементарные частицы, страница 9

Со- гласно формуле (9.4) Г' Цт где п' — показатель преломления соеды, находящейся за второй системой. Преобразуем это выражение следующим образом: Л л лз Ф с л Но и/1', представляет собой оптическую силу Ф1 первой системы, а а'Я вЂ” оптическую силу Фт второй системы.

Следовательно, (10.8) Выразим в этой формуле Л через д а соответствии с (10.1): л-1',+1, 1', и Ф = — Ф,Фт = — Ф,Фз — — „Ф~Фз — — Ф,Фь Учтя, что )',/и=11"Ф,, а 1/и= — 1/Ф, получим Ф=Ф1+Ф2 %%- (Ю.9) п Напомним, что в этой формуле д — расстояние между плоскостями Н1 и Оь и — показатель преломления среды, находящейся между системами. Вычислив оптическую силу суммарной системы, можно по 'формулам / (10.10) тем. (9.4)) найти ее фокусные расстояния. ба Часта вместо величин (10.2) и (10.6) бывает удоб- нее.

пользоваться расстояниями (Н! — Н) и (Нг — Н'), определяющими полажение главных плоскостей суммар- ной системы по отношению к главным плоскостям скла- дываемых систем. Из рнс. 28 следует, что — (Н вЂ” Н) = — ) — х,(р)+), (Н;, — Н!) = )з+ х', ~') — 1. Подставив значения (10.6)! (10лт), (10.2) и (10.6), по- лучим: , 1! (з 12+)!) 1!'~ (Н, — Н) =' Д Д Ъ (,, Ял-)э+1~) )~л ь д * (10.11) Из формулы (108) Л = — пФ/Ф!Щ; кроме того, 1! = — л!/Ф!, !' = и'/Ф, Произведя такую замену в форму- лах (1().11), найдем: (1О. 12) С помощью формул, полученных в этом параграфе, можно найти положение кардинальных плоскостей сложной оптической системы, образованной любым количеством соосных центрированных систем.

й 11. Преломление на сферической поверхности Сколь угодно сложную центрированную оптическую систему можно рассматривать как сумму простейших систем, каждая из которых образована одной преломляющей (или отражающей) сферической (в частности, плоской) поверхностью. Следовательно, сферические поверхности раздела двух оптически однородных сред представляют собой те элементы, из которых строится л!обая центрированная система. Расст!отрим прохождение гомоцентрического пучка через такую поверхность. На рис. 29 изображена преломляющая поверхность радиуса Й с центром в точке С. Показатели преломления сред, лежащих по обе стороны поверхности, равны л Б! и п'. Прямую, проходящую через точечный источник света Р и центр кривизны С, назовем осью системы. Точка О пересечения поверхности с осью называется не ршиной преломляющей поверхности.

Примем точку О за начало отсчета. Координаты предмета Р и изображения Р', отсчитываемые от точки О, обозначим соответственно з и з'. Возьмем в пространстве предметов произвольный луч 1, образующий с осью угол и. Он падает на преломляющую поверхность в точке А под углом ( (для луча 1, изображенного на рис. 29, углы и н 1 отрицательны). Рис. 29. Сопряженный лучу 1 луч 1' образует с нормалью угол 1' и пересекает ось в точке Р', отстоящей от вершины на расстояние з'. Независимость э' от угла и, под которым идет луч 1, означала бы, что исходящий из точки Р пучок лучей после преломления на сферической поверхности остался бы гомоцентрическим.

Соответствующий расчет показывает, что это справедливо лишь для лучей, образующих с осью небольшие углы и. Такие лучие называются п ар аксн альпы ми (приосевыми). Для параксиальных лучей все углы, обозначенные па рис. 29, будут малыми. Поэтому синусы и тангенсы этих углов можно считать раиными самим углам. Согласно закону преломления (1,6) аз)п1= а'з)п1'. Заменив синусы углами, получим: п1 = л'1'. Из треугольников РАС и Р'АС следует, что ( — 1) = ( — и) + ~р нли 1 = и — ~р, (- 1') = ф — и' или К и'- чь Подставив эти значения ! и !' в формулу (11.!), придем к соотношению: п (и — ~р) = и'(й — ~р').

(1 1.2) Для параксиальных лучей длиной от)~евка ОВ можно пренебречь по сравнению с ( — з), з и 1г и считать РВ = ( — з), ВР'= й и ВС= 1т. Тогда, полагая углы равными нх тангенсам, можно написать: ( — и)= (, т. е. и= —; й=у, ~р= —. (!1.3) л ь. д А Заменив в (11.2) углы их значениями (11.3), сократив на й и произведя преобразования, получим формулу: и' и и'-и — — — = — =Ф г' г (11.4) Для того чтобы зта формула давала правильный результат при обращении поверхности выпуклостью в любую сторону, с радиусом кривизны 1г' нужно обращаться иак с алгебраической величиной: для выпуклой поверхности (центр кривизны С лежит справа от вершины О) считать его положительным, для вогнутой поверхности (С лежит слева от О) — отрицательным.

Величина а'— Ф=— называется оптической силой преломляющей поверхности. Она характеризует преломляющую способность поверхности. Из формулы (1!.4) видно, что при фиксированном расстоянии до предмета з расстояние до изображения з' тем меньше (т. е.

лучи преломляются тем сильнее), чем больше Ф. Из уравнения (1!.4) следует, что при заданном з, независимо от значения и, получается одно и то же значение й. Таким образом, для параксиальных лучей гомоцентрический пучок в первом приближении остается после преломления на сферической поверхности гомоцентрическим. Итак, оптическая система, образованнаи сферической поверхностью, для параксиальных лучей является идеальной. Размеры участка поверхности, через который 53 проходят параксиальные лучи, малы по сравнению с радиусом кривизны поверхности 1г, вследствие чего этот участок ьюжно в первом приближении считать плоским.

Пучок лучей, сходящихся в любой точке Р преломляющей поверхности (рис. 30„а), преобразуется в пучок, исходящий из точки Р', совпадающей с точкой Р. Следовательно, плоскость, проходящая через точку Р, отображается с линейным увеличением, равным +1, в виде совпадающей с ней плоскости. Отсюда вытекает, что главные плоскости Н и Н' преломляющей поверхности совмещены друг с другом и проходят через вершину О пас.

30, откуда — К=в ж а' л' — а Ф (1 1.6) преломляющей поверхности. Таким образом, координаты а н з', отсчитываемые от точки Р, совпадают с координатами з и з', которыми мы пользовались в $9. Лучу 1, идущему через центр кривизны поверхности С (рис. 30, б), соответствует сопряженный луч 1'„идущий по тому же направлению. Следовательно, узлы !У и Л" также совмещены !)руг с другом и совпадают с центром поверхности С. Найдем фокусные расстояния преломляющей поверхности. Предмету, удаленному на бесконечность (а = оо), соответствует изображение, помещающееся в заднем фокусе Р', т. е.

отстоящее от точки Н' на расстояние з' = 1'. Подставив зги значения а и а' в формулу (11.4), имеем: Если предмет поместить в переднем фокусе г, т. е. иа расстоянии з = ! от точки Н, то изображение окажется на расстоянии з' = оо: и' л и' — а д откуда а и = — — К= —— а'-и Ф (,! 1.7) Из формул (11.6) и (11.7) следует, что л' а !р = — = —— Г 1' (11.8) Таким образом, величина (11.5) совпадает с оптиче ской силой системы, определяемой формулой (9.4).

Разделив уравнение (11.4) на Ф н приняв во внимание (11.6) и (11.7), можно написать: —,+ — =1 р з' з что совпадает с формулой центрированной оптической системы (9.9). Если перейти к координатам предмета х и изображения х, отсчитываемым от фокусов г и Г', получится для сферической поверхности формула Ньютона (9.7). Все остальные формулы, полученные в 5 9 для центрнрованной опт!и!еской системы, также справедливы для одной прелат!лающей поверхности, если ограничиваться рассмотрением параксиальных пучков лучей. Отметим, что, положив в формуле (!1.4) п/а = — 1, т. е. и' = — а'), мы получим известную формулу сферического зеркала: ! ! 2 ° + — Уи (з =— Юр ю а! '1 См. сноску аа ст!ь !о, Построим изображение 1~эре отрезка Я,Р!, даваемое преломля!он!ей поверхностью (рнс.

31). Проведем из точки 1~! произвольный луч 1;>!А и сопряженный с ним луч А9ь Все лучи будем считать параксиальными, так что углы й, !)ь — и! и из очень малы. Поэтому можно считать, что откуда иа ~и аа ааа За Аналогично можно считать, что (11.9) — и,=— — За откуда Рик 31. размера уь Повторив рассуждения, приведшие нас к соотношению (11.12), найдем, что Пап~Ух = леих1ас где иа — показатель преломления среды, расположенной за второй поверхностью. К тому же результату мы при- И (! 1.10) ха иа Согласно закону преломления (1.б) ааааа = иМ (мы заменили синусы углами), т. е. (! 1.! 1) Еа иа ' Заменим в формуле (!1.9) отношения аа/ас и зт/за нх значениями (1111) и (1!.16). В результате получится аоотношениеа за Ка а, Ка аа, а которому можно придать следующий вид: лситут = и,инуь (11.12) Если за первой преломляющей поверхностью расположить вторую так, чтобы Язв служило для нее предметом, то вторая поверхность даст изображение ДзРа дем, расположив за второй преломлявшей поверхностью третью и т.

д. Таким образом, в случае центрированиой системы, образованной совокупностью сферических поверхностей, разделяющих однородные среды с показателями преломления ль пъ пз и т. д., имеет место соотношение: (1! .13) о~ а~у~ = пэй~дз = пэпзрз = Эта соотношение носит название теоремы (или уело.

в и я) Л а г р а н ж а — Г е л ь м г о л ь ц а. Само же выражение пну называется инвариантом Лагранж а — Г е л ь м г о-л ь ц а. Углы иь из и т. д. суть углы, образованные с осью системы произвольными сопряженными лучами, проходящими через точки Яь в которых предмет (в случае пь иа н т. д.) нлн соответствующее изображение (в случае им щ и т. д.) пересекается с осью системы. В частности, в качестве углов иь иа и т.