1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 5

Нередко форму передаточной функции удается определить из общих соображений о свойствах объекта. При этом указанным методом можно легко найти ее параметры. Детали этого подхода содерх1атся в упомянутой работе Мелсы и Шульца И02). Метод отклика на сннусоидальный сигнал можно распространить на линейные нестационарные системы, хотя прн этом он оказывается значительно сложнее простой процедуры, рассмотренной выше. Для построения соответствующего алгоритма необходимо рассмотреть зпреобрааовательный» метод для линейных нестационарных объектов. Двухстороннее преобразование Лапласа от переходной матрицы объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеет вид Фундаментальное свойство линейных стационарных объектов состоит в том, что их переходная матрица зависит только от «возраста системы» (С вЂ” т).

Для неетационарных объектов это неверно, так что переходная матрица должна быть записана в общей форме Ф (С, т). По аналогии с предыдущим равенством все же можно определить следующее преобразование: Верхний предел интегрирования, можно заменить на С, поскольку Ф (С, т) = 0 при т ) С. ЗА1 ндннтиФниапня ннстьпиоиьвных овъвктов Вг Удобно определить вектор г (у) = В (з)п (у), представляю- щий свободные члены рассматриваемой системы х (г) = А (у) х (у) + В (у) и (у). Можно показать, что для вектора состояния справедливо выражение Ю х(у) = ~,„~ Ф(И, 1а)В(1ы)е~'"'йо, (2.4.4) 1 (О а Ф(8, 1ю)+ [1а1 — А(8)[Ф(У, 1в) = 1, (2.4.5) в котором'1в рассматривается как фиксированный параметр. Последнее уравнение представляет интерпретацию в терминах состояния уравнения Заде (Заде [149[) для зависящих от времени частотных преобразований. Для стационарной системы а, Ф (ю, 1в) = 0 а (2.4.6) и, как уже указывалось выше, Ф (У, 1в) = [1ю1 — А] т.

Приведем теперь' схему идентификации нвстационарных линейных систем, основанную на этом зависящем от времени преобразовании Заде. Воспользуемся тем фактом, что это преобразование. удовлетворяет обыкновенному линейному дифференциальному уравнению, тесно связан. являющееся обобщением известного матричного соотношения для стационарных систем. Важным свойством матрицы характеристик реакции системы на показательное возмущение Ф (г, 1ы) является то; что она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решить которое проще, чвм интегральное уравнение для передаточной функции системы.

Кроме того, она позволяет разработать перспективный подход к задаче идентификации нестацнонарных линейных объектов. Можно показать, что эта матрица должна удовлетворять линейному матричному' дифференциальному урав- нению Ог классичнскин митоды идннтификации (гл. е ному с уравнением, описывающим динамику физической системы. Если рассматриваемое преобразование удается измерить, его можно подставить в это уравнение и определить его коэффициенты. С помощью алгебраических операций над этими коэффициентами можно получить выражение характеристической матрицы дифференциального уравнения, описывающего неизвестную систему.

Периодическое повторение этой процедуры позволяет выявить изменения, происходящие в системе с течением времени (Сейдж и Чоат (И9)). Для математической формулировки задачи рассмотрим систему с одним входом, описываемую уравнениями х = А(е)х+ В(д) и, (2.4.7) е = Сх + Рп.

(2.4.8) Здесь х — п-мерный вектор состояния, а х — скалярный выход, определяемый уравнением (2.4.8) через известные матрицы С и Р. Предполагается, что по крайней мере первая компонента х, вектора х может быть определена одновременно с наблюдением г. пд-мерный вектор входа и получается из скалярного входа и в соответствии с уравнением нт = (и, рп,, (2.4.9) в котором через р обозначен оператор Н/й. Матрицы А (д) и В (д) неизвестны полностью, однако предполагается, что они имеют вид А (() = (а~а (д)1 = , (2.4ЛО) О О О ... д а„д(д) а„е(д) а„е(д) ..

а „(д) о о о ... о о о о ... о В (д) = ((дде (д)) =- , (2.4.И) о о о ... о (д) ь (д) ью (д) или могут быть приведены к такому виду невырожденным линейным преобразованием . Таким образом, задача идентификации, сформулированная в терминах уравнения г оу кдвнтиаикация нвстлцнонагных овъкктов зз (2.4.7), ааключается в определении функций времени аы(у), г = 1,..., и, (2.4.12) Ь„„(У), Уе=1,..., и.

(2.4Л3) В общем случае некоторые из этих и+ уи функций могут быть известны эаранее. При этом, раэумеется, задача идентификации облегчается. Зависящее от времени частотное преобрааование Ь (уа, г) определяется равенством Ь(ув, Ю) = Т(уа) )[(уа, Й), (2.4.14) где Т(уа) = [цо(ув)1, (2.4.15) а)у-г гв(ув) = г, р г)~ = Я( — Ув)' ", У > Уе, (2.4.16) Ьг(ув) = О, У(Уе, [ Т (ув)[ = 1, 40 К(У' ) = ~ (Ь э)е-' — Иэ. ОО (2.4.17) (2.4.18) (2.4.19) г э, п, сеадж, дж.

л, меосе Переходная функция ы (У, $) представляет реакцию вектора состояния, когда на вход подается единичный скачок в момент у =$. Нетрудйо проверить, что из определения (2.4Л4) следует такое свойство элементов Ь(ув,г)г ЬУ (ув, У) = рй| г(уа,г), 3 = 2, ..., и. (2.4.20) Определение Ь (уа, у), данное в терминах отклика на единичный импульс„можно сформулировать через реакцию системы (2.4.7) на синусоидальное возбуждение.

В самом деле, равносильное определение Ь (у'а, у) имеет вид Ь (Ув, $) = е ~'Т(уа) ь(ув, Ф), (2.4.21) где (, (ув, г) — отклик системы на вход и = еу'". В рассматриваемой схеме идентификации уравнение (2.4.21) используется как средство определения Ь (ув,у). Элементы Ь (у'в, у) принадлежат полю комплексных чисел.

Поскольку результатами измерений являются деФ 34 клдссичвские мвтоды ндвнтйФЙВАцни «гл. з ствительные числа, удобно разложить этот вектор на действительную и мнимую части. Полагая для краткости Ь ~ Ь (у'вд, «), обозначая действительную часть индексом К и мнимую часть индексом 1 и рассматривая вд как фиксированный параметр, можно показать, что й-~: ." ."'."1й ~ ."1 "' где и х и-матрица Е (у'вд, «) имеет такую же форму, как и А («), элементы (е„„(уа, «) ) связаны с элементами (а д («)) матрицы А («) формулами ,„ е , е - л †. -----, ед (2.4.23> «К (Уи)з-г а Ев и Ед — соответственно действительная и мнимая части матрицы Е. Добавочный элемент а„,„+д(«) принимается равным — 1; и-вектор Ь (уод, «) связан с матрицей В («) равенством уи Ь(уедз «) В(«) (2.4.24) 0'и) Если известны Ь и рЬ, то, подставляя их в (2.4.22), с помощью (2.4.23) и (2.4.24) можно получить два алгебраических уравнения для функций а„, («) и Ь„„(«). Измеряя Ь на о частотах едд, аю ..., ою удается получить 2д таких уравнений.

Допуская, что г из и + т функций а„д(«) н Ь„з («) известны априори, приходим к вьдводу, что для определения матриц', А («) и В («) нужно взять д = (и + + т — е)У2 или а = (и + т + 1 — е)У2, в зависимости от того, какое из этих чисел окажется целым. Итак, вели обозначить Л («) = (а„, («), а„, («),..., а„„(«), Ьт («),...> Ь„~ («)), (2.4.25) то задача идентификации может быть кратко сформулирована как задача определения Л(«). Чтобы получить выражение для Л, удобно определить $ (уед, «) = (р +уед) Ь (ую, «). (2.4.25) ЗА) ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ 35 Это определение оправдано не только с точки зрения удобства обозначений: мы покажем, что введенную величину при некоторых условиях можно непосредственно измерять. Подстановка (2.4.26) в (2.4.22) приводит к векторному ур 1знению, и-я компонента которого запишется в виде /»(/ю, Ю) = ат(т) Ь(/Ф, Ю) + Ьт(1)Ф, (2.4.27) где /„— и-и элемент 1, а„и ܄— л-е строки матриц т т А (~) и В (1) соответственно.

Уравнение (2.4.27) эквивалентно уравнению /„(!Ф, т) = (Ь (/Ф, 1) е ) Л(т). (2.4.28) Поскольку /„и элементы Ь и 1э — комплексные числа, а результаты измерений неизбежно вещественны, желательно выделить в этом выражении действительную и мнимую части. Формулу (2.4.28) можно переписать в виде двух- компонентного векторного уравнения (2.4.29) Обозначая верхним левым индексом у рассматриваемых величин соответствующее значение частоты (например, 1/„= /„(/Ф„1), 1ЬТ = Ьт (ую„т)), можно переписать (2.4.29) в виде "Е "ЭЕ т т 1 1 ЧЕ 'Ф„ т т ,Ьт,,т 1 1 '/» и '/»1 Л.

(2.4.30) '/»1 Обозначим вектор в левой части этого уравнения через т, а матрицу справа — через 0; очевидно, что 0 — квадратная матрица, если размерности т и Л совпадают. Это условие удовлетворяется, если последней компонентой т является 1/1(д = (и + т)/2) при четном (п +т) и соответственно ч/е (д = (л + т+ 1)/2) при нечетном (и+я). Как правило, 6 не вырождена, поэтому решение 36 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ГГЛ. 2 уравнений (2.4.30) можно ааписать в виде Х (с) = О ' ()во с) ч (уас, с). (2.4.31) Эта формула дает возможность осуществить идентификацию системы, если 6 и ч удается измерить в результате наблюдений за системой.

Рассмотрим теперь подробнее процесс измерений. При использовании уравнения (2.4.31) для идентификации системы необходимо располагать способами определения Ь (у'ас, с) и у„(уви с), С = 1, 2, ..., д. По существу, предлагаемый метод заключается в возмущении системы тестовыми сигналами и извлечении необходимой информации из отклика системы.

Выбор вида пробных воздействий основывается на уравнении (2.4.20), из которого следует простая связь между Ь (у'в, с) и реакцией системы на входной сигнал и, = ес"'. Поскольку последний физически нереализуем, выбирается близкий физически реализуемый вид входного сигнала и, = соз вС. Обозначая отклик на этот сигнал через ~р(уа, С) и замечая, что реальная система описывается вещественными коэффициентами, получим, что 'ф(уа, С) =Ве(ь(уа, С)) = Ье(ув, С)созаС вЂ” Ьс(ув, С)зшаС.