1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 6

(2.4.32) Используя этот результат и определение (2.4.26), видим, что р2р(уа, С) = 1в(уа, С) соз вС вЂ” 12(ув, С) з)п аС. (2.4.33) Эти два соотношения показывают, что задача осуществления измерений сводится к демодул)сникли рф К счастью, нет необходимости исследовать зти уравнения отдельно, так как их можно обьединить в одном соотношении.

Для этого введем (я + 1)-мерный вектор ут(ув с) = (Ь~(ув с) / (ув с)). (2.4 34) Компонентами вектора у являются подлежащие измерению величины. Обозначая расширенный вектор состояния системы, отвечающий входу и, = соз ас, через 2рс (у'а, с), получим ~р2 (ув, С) = уе(уа, С) соз вС вЂ” уг (ув, С) з!и вС, (2.4.35) з,«1 идвнтиеикапия нвстлционагных овъйктов Зт и задача сведена к демодуляции функции «р'(ув, «); Ниже мы детально рассмотрим метод определения ув. Затем будут оговорены те незначительные изменения, которые необходимо внести для определения уь Первый шаг при определении ув заключается в умножении «р«на соз «»».

В результате получается (л -(-1)- мерный вектор, обозначаемый далее через р (у«», г). Из (2.4.35) следует, что р = «р«соз е»« = '/» (ув+ уксоз 2«сг — у«з»п 2«к). (2.4.36) Поскольку желательно провести анализ р (у'»», Г) в частотной области, удобно ввести преобразование Фурье этого вектора Р (у«», у1«), где р, означает частотный параметр преобразования. Трудности графического изображения вектор-функции Р заставляют обратиться к ее скалярной характеристике, которая должна быть пропорциональна «длине» Р.

Отсюда сразу следует выбор в качестве такой характеристики нормы Ц РЦ = (Р'Р)*'*, где значком «+» обозначен сопряженный вектор. Вначале рассмотрим случай стационарной системы, для которого очевидно, что у не зависит от времени, т. е.' у (!'«», г) = у ()'«е). По этой причине спектр р (у'«», 8) дискретный и состоит из трех импульсов. Их амплитуды равны (я/2)Ц т Ц, я Ц твЦ, (я(2) Ц у Ц и расположены они на частотах р = — 2«», О и 2«» соответственно. Этот спектр показан на рис.

2.4. 4, а. Очевидно, что для измерения тв достаточно просто пропустить р через низкочастотный фильтр, значительно ослабляющий сигналы с частотой (» = 2«». Можно извлечь дополнительные преимущества из того факта, что выходной сигнал фильтра не меняется. Следовательно, его можно усреднить для дальнейшего подавления составляющих с р = -~-2»» и любого содержащегося в сигнале шума (с нулевым средин»«значением). Перейдем теперь к случаю медленно меняющейся системы. Во избежание недоразумений с употреблением слов «медленные изменению> предлагается следующее оп-' ределение.

Медленно изменяющейся называется нестационарная система, у которой расширенный вектор зави- сящего от времени частотного преобразования у (у'се, т) по существу постоянен на любом интервале времени Х, превосходящем период наиболее низкочастотной гармоники собственных движений системы, «замороженной» при Ут Ю1'л Уа титру тУП -Ьа уу яш ут -яи уу яв р -Лет уу яв р лу ау уу Рис. 2.4Л. Частетиые сиектры дии задачи идеитификации. некотором т Е= 1; параметр се выбирается так, чтобы 1 у (у' се) ~ = — '4 у(уО) ~, где у (усе) — расширенный вектор частотного преобразования замороженной системы. В данном случае анализ спектра обнаруживает появление непрерывных компонент. Зти компоненты, называемые в дальнейшем субспектрами, компактно группируются вокруг тех частот, которым соответствовали дискретные компоненты спектра в стационарном случае. Субспектр, сформированный около р = О, соответствует ук, два остальных — у. (Заметим, что представление спектра с помощью нормы не поаволяет различать преобразования Фурье, отличающиеся только по фазе.) Типичный спектр для случая медленных изменений показан на рис.

2.4.1б. При хорошо разделенных компонентах спектра ув можно выделить из у с помощью низкочастотного фильтра, подобно тому как зто делалось для стационарных систем. Однако в этом случае к фильтру предъявляются более жесткие требования. Пренебрегая шумом, необходимо, чтобы идеальный фильтр имел постоянную амплитудную характеристику и постоянный фазовый сдвиг во всем диапазоне частот субспектра,порожденного ув,и нулевой отклик на всех других частотах.

Эти условия определяют идеальный полосовой фильтр, который, как следует ожидать, физически неосуществим (при реалистичных требованиях к затратам времени). Используемый реализуемый фильтр следует вкубирать так, чтобы пн приближался н указанным ха- дя класснческия мвтоды идвнтнФнкАции игл.

3 и,1 идкптиьвклпия нвстхцаоыгных овыктоя зэ рактеристикам в диапазоне частот, где ~Р~ не слишком -мала. Нри наличии шума физически осуществимая аппроксимация идеального полосового фильтра может уже не дать удовлетворительных результатов. (Шум в общем случае содержит, кроме случайной компоненты, управляющее воздействие, приложенное ко входу системы наряду с тестовым сигналом.) В данном случае оптимальным будет такой фильтр, который наиболее эффективно подавляет помехи и дает наилучшую оценку ук. В идеале критерий, определяющий наилучшую оценку, должен 'принимать во внимание (2.4.3$).

Иными словами,'первоочередной интерес представляет ошибка в определении Х. Даже когда шумом можно пренебречь, в измерениях ув, вообще говоря, будут присутствовать ошибки. Частично их происхождение обязано тому, что спектр у редко бывает в строгом смысле ограниченным, и, следовательно, происходит некоторое перекрывание «хвостов» субспектров.

В результате на выходе фильтра появляется аномальная компонента. Другой источник искажений порождается неидеальностью характеристик фильтра, который может применяться при осуществлении идентификации в реальном масштабе времени. Оба эти эффекта можно существенно ослабить при правильном проектировании схемы идентификации, если система меняется достаточно медленно. Наконец, исследуем случай, когда система меняется быстро.

Спектр в этом случае отличается от спектра в слу-' чае медленных изменений в первую очередь тем, что субспектры перестают быть узкими. Теперь они размазаны в широком диапазоне частот, как показано на рис. 2.4Л е. В такой ситуации разделить их с помощью какого-либо фильтра невозможно. Единственный, выход — увеличи-. вать частоту тестовых воадействий до тех пор, пока субспектры не окажутся разнесенными настолько далеко, чтобы субспектр ув стал выделенным.

Такое оказавшееся воэможньтм в данном случае улучи ение служит лишней иллюстрацией хорошо известного принципа, что высокая несущая частота позволяет передать более значительный объем информации, чем низкая, если полоса частот, котоРой мы располагаем для передачи этой информации, составляет фиксированную долю несущей частоты. 4о кльссическйв катоды ЙдвнтиФикАций !гл. 2 К несчастью для задачи идентификации природа сопротивляется такому подходу. С ростом частоты проявляются два вредных эффекта. Первый состоит в том, что при фиксированной амплитуде тестового сигнала амплитуда спектра Р начинает убывать. Естественно, при этом убывает отношение сигнал / шум, усложняя проблемы, связанные с помехами.

Второй эффект заключается в увеличении чувствительности получающегося решения для Х к малым помехам, присутствующим в измеренных значениях т. Очевидно, что второй эффект усугубляет трудности, порожденные первым, и в итоге достаточно точное определение Х при больших ю может оказаться слишком сложным. Тем не менее при очень низком уровне шума и весьма совершенной измерительной аппаратуре выбор большой а позволяет осуществить идентификацию даже очень быстро меняющихся систем. Процедура определения тг из ф' аналогична рассмотренной процедуре определения ув.

Единственное существ енное различие состоит в том, что ф1 умножается на зш ея вместо совем. Из получающегося в результате произведения при благоприятных условиях путем фильтрации может быть выделена уг. Поскольку эта процедура демодуляции не предполагает использования каких-либо новых идей, обратимся теперь к задаче измерения векторов частотных преобразований, когда пробное воздействие содержит гармоники нескольких частот. В многочастотном случае пробный сигнал является суммой синусоид и,(~) = ~ а~созе;Й 1 1 Обозначая соответствующий этому входу расширенный вектор состояния через ф' (иеп ~), на основании (2.4.35) и принципа суперпозиции получим (2.4.37) Ф'(уво ~) = ~~~~ а; ['увсоз озф — 'там аш аД. ~(2.4.38) Если спектры'у ограничены и а~ расположены достаточно далеко друг от друга, то спектр ф' состоит из неперекрывающихся субспектров, как яа рис.

2.4.2. На рисунке з Ы ИдннтИФИКАЦИЯ НкстАЦИОНАРНЫХ ОБЪККТОВ 44 трт фо, у[А) представляет преобразование Фурье от тр' (у'а, ~). Если субспектры хорошо разделены, как здесь показано, то каждый из них можно выделить с помощью соответствующих полосовых фильтров. Выходные сигналы этвх фильтров можно затем демодулировать методами, обсукдавшимися вьппе в связи с определением сук и егт. г«г аг р г«г «тг Р Рнс. 2.4.2. Многочастотный спектр.

Можно вывести критерий, определяющий условия, при которых удается успешно провести измерения векторов частотных преобразований (в предположении, что шумы отсутствуют и фильтры идеальны). Перепишем (2.4.38) в виде тр'(уа;, ~) =,Я а;/2 ['уе'"б+ ('уе'"") ], (2.4.39) обозначая звездочкой коешлексно сопряженные величины и применим к обеим частям последнего равенства преобразование Фурье тут ([аь дА) =,Я а~/2 (Г [[ае 1 (р — а~)) + Г [ — уае у (р+ ае))); Еея (2.4.40) Здесь Г означает преобразование Фурье от у. Если субспектры не пересекаются, слагаемые в этом равенстве разделены, откуда следует, что скалярное произведение Г+ [уач [(р — ае)) Г [уа„, ) (р ~ а„)) = О, 1с+ ~, (2.4.44) для всех 2 = 1,2, ..., с. Можно показать, что при выполнении этого условия не только каждый субспектр, формиру- 42 КЛАССИЧИСКНИ Мнтсды ИлкитИФНКАПИН т [ГЛ.