1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 2

Авторы сердечно благодарят Дина Томаса Л. Мартина- младшего из Технологического института Южного методистского университета, чье вдохновляющее руководство создало атмосферу, в которой оказалось возможным появление этой книги. Оригинальные исследования авторов, на которых базируется книга, были частично поддержаны сектором аэрокосмических исследований отдела научных исследований ВВС. Авторы особенно благодарны научному руководителю проекта доктору Джошуа Х.

Розенблуму, поощрявшему исследовательские усилия авторов и их студентов. Авторы благодарят Мэри Лу Карузерс, Томми Доусона, Пэтси Вунш и Каролин Хьюджес за кропотливую работу по перепечатке рукописи. Гааза С ВВЕДЕНИЕ Во многих задачах системотехники, в особенности связанных с управлением, могут быть выделены четыре взаимодействующих части: 1) определение цели; 2) определение положения системы относительно цели; 3) определение внешних факторов, влияющих на прошлое, настоящее и будущее системы с последующим построением модели системы; 4) определение политики управления в соответствии с целью (1), текущим состоянием (2), внешними воздействиями и моделью системы (3).

Часто политика управления на этапе 4) определяется оптимальным образом; эта задача служит предметом теории оптимального управления. В этой книге мы будем заниматься третьим из перечисленных выше этапов общей задачи системотехники. В частности, мы изучим построение моделей системы по записям результатов ее функционирования. Общая формулировка этой задачи такова. Наблюдается вектор я (С), искаженный шумом вариант вектора состояния системы х (С), входной сигнал и (С) и внешнее возмущение ъ (С), причем в (С) = Ь [х (С), и (С), тт (С), р (С), т (С), С). В этой;модели наблюдений р (С) — неизвестные параметры системй, а ч (С) — вектор ошибок измерений. Предполагается, что вектор состояния описывается стохастическим дифференциальным уравнением ах Я!аС =1(х(С), п(С), (С), Р(С), С).

Порядок уравнения, вообще говоря, неизвестен, хотя для большинства схем идентификации порядон модели предполагается выбранным заранее. Эта общая задача идентификации схематически изображена на рис. 1.1. вввдвнив Решение аадачи идентификации должно включать определение оценки вектора неизвестных параметров р (1) и размерности вектора т, если она неизвестна.

Вектор параметров р (8) может состоять из коэффициентов системы Ряс. 1 1. Общая задача ядевтвфвкацвв дифференциальных уравнений, средних значений и дис. персий входного шума чт (1) и ошибки измерений т (1). Легко выделить некоторые подклассы атой общей задачи идентификации, например: 1. Идентификация без помех, когда отсутствуют шумь и (1) и т. (1). Это простейший тип задач цдентпфпкацив, при котором имеется известный вход и (1) и точные наблю денна функции вектора состояния. 2.

Модели наблюдений и системы линейны. 3. Входной шум в (1) ненаблюдаем. В дальнейшем будут рассмотрены некоторые из этих подклассов. Определение всех характеристик процесса, модель которого нужно построить, не является, вообще говоря, не только возможным, но даже и желательным. Характеристики, знать которые необходимо, определяются целью, поставленной перед системой, допустимой степенью сложности системы в целом и требованиями к сопутствующим вычислительным процедурам.

При классическом подходе к проектированию систем моделирование осуществлялось лишь один раз в процессе проектирования, и этот этап по-прежнему остается важной частью идентификации и моделирования. Во многих гл. ц вввдвнив современных системах желательно использовать повторную или непрерывную в реальном масштабе времени идентификацию, чтобы обеспечить возможность оптимальной адаптации системы в условиях неопределенности и изменения внешних воздействий. Поэтому мы будем здесь научать методы идентификации, одинаково применимые как в реальном, так и в измененном масштабе времени, прн идентификации вне контура регулирования. Излагаемые ниже вопросы можно разделить на три класса: 1) «классические» методы идентификации, 2) функции штрафа в задачах идентификации, 3) вычислительные методы идентификации.

Глава 2 представляет обзор различных классических методов ццентификации. Мы обсудим простую «музейную» задачу идентификации по отклику на синусоидальный сигнал как для элементарного случая линейной системы с постоянными параметрами, так и для значительно более сложного случая линейной, но нестационарной системы. За обсуждением метода определения весовой функции объекта, основанного на подаче белого шума на вход и вычислении корреляционной функции выходного сигнала со сдвинутым во времени входным, следует приложение уравнений фильтра Калмана к определению весовой функции стационарной линейной системы.

Кратко изучено применение винеровской аналитической теории нелинейных систем, а также критически рассмотрен подход к задаче идентификации, использующий обучающиеся модели и оказавшийся весьма популярным при построении моделей для адаптивного управления. Глава 3 полностью посвящена формулировке функций штрафа для задач идентификации. Рассмотрены, в частности, идентификация по методу максимума апостериорной вероятности (байесовский подход к методу максимума правдоподобия)и классические методы оценки максимального правдоподобия.

При оценивании по методу максимального правдоподобия максимиэируется условная плотность вероятности результатов наблюдений относительно некоторых постоянных, но неизвестных параметров с помощью оптимального выбора этих параметров. Идентификация по методу максимума апостериорной вероятности осуществляется максимизацией условной плотности распределения н известных случайных параметров ВВЕДЕНИЕ [гл. ~ относительно наблюдаемого выходного сигнала. Два важных метода идентификации — по мвнимуму дисперсии и с помощью условных математических ожиданий — в этой главе по существу не рассматриваются, поскольку в настоящее время недостаточно разработаны вычислительные методы построения оценок на основе условных математических ожиданий.

Будет, однако, показано, что оценки состояния по условным математическим ожиданиямследуют из метода максимума правдоподобия. В главе 7 продемонстрирована также тесная связь между алгоритмами последовательных приближений при идентификации с помощью условных математических ожипаний и соответствующими алгоритмами метода максимума апостериорной вероятности для достаточно широкого класса аадач.

В главах 4 — 7 обсуждаются различные вычислительные методы решения задач идентификации. В главе 4 предлагаются прямые вычислительные методы, основанные на аналиае первых и вторых вариаций. Градиентные методы первого и второго порядков, а также метод сопряженного градиента даны в применении к одно- и многошаговым, а также непрерывным задачам идентификации. В главе 5 излагается стохастический градиентный метод первого порядка или метод стохастической аппроксимации.

Дан углубленный анализ .задачи идентификации динамики линейной системы с помощью стохастической аппроксимации. В главах 6 и 7 обсуждаются два прямых вычислительных метода решения задач идентификации. Излагаются дискретный и непрерывный методы Ньютона — Рафсона, или методы квазилинеаризации, в применении к различнымзадачам идентификации. В главе 7 изучаются дискретные и непрерывные методы инвариантного погружения, порождающие последовательные приближения к решению двухточечной краевой аадачи и задач с функциями штрафа из главы 3. Обширная библиография современных исследований по идентификации составляет заключительный раздел книги. Работа с библиографическим указателем облегчается наличием у каждой включенной в него работы ссылки на главу или раздел данной книги, в которой используется соответствующий материал. Глава 2 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 2Л.

ВВЕДЕНИЕ В этой главе рассматривается ряд так называемых «классических» методов идентификации. Слово «классические», пожалуй, несет оттенок старомодности, в данном случае совершенно непреднамеренный. Напротив, термин «классические» здесь используется в смысле «проверенные и испытанные» давно используемые методы, в отличие от сравнительно недавно развитых «современных» методов, составляющих содержание остальных глав книги. Методы этой главы дали хорошие результаты в применении к большому числу практических задач.

Основной недостаток этих методов, за исключением метода обучающейся модели, заключается в их непрямом подходе к задаче. Это утверждение, по-видимому, нужно пояснить. Классическими методами обычно определяется весовая или передаточная функция системы.

В то же время, как правило, наиболее желательно получить основные дифференциальные уравнения, описывающие систему, а задача построения модели системы по весовой или передаточной функции далеко не всегда тривиальна, особенно если эти функции получены, как это обычно бывает, в графической форме. 2.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИИ ИЗ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ В этом разделе рассматриваются простые методы определения весовой функции стационарной линейной системы. Для простоты мы ограничимся системами с одним входом и одним выходом. Рис.

2.2Л иллюстрирует эту задачу: по наблюдениям входного и выходного сигналов линейной стационарной системы на конечном промежутке времени 0 ( 8 «( Т нужно определить ее весовую функцию й (г). 16 клАссические методы идентеФикАции 1гл. 3 Приведенная формулировка задачи чрезмерно претенциозна и нуждается в некоторых упрощениях, чтобы стать доступной для математического исследования. Мы будем наблюдать входные и выходные сигналы только в Ж равномерно распределенных на отрезке (О, Т) с шагом Ь точках фиксации, причем )а'Ь = Т.

Основываясь на зтих данных, мы будем искать приближенные значения весовой функции в указанных точках. Рнс. 2.2.1. Схема задачи определения весовой функция. Выходной сигнал системы при входе ю (1) и нулевых начальных условиях выражается хорошо известным интегралом свертки у(1) = $Й(1 — т)в(т)с(т. (2.2 1) а Здесь предполагается также, что вход и (ч) равен нулю при ч( О. Кроме того, потребуем, чтобы ю (О) -ь 0; если зто ограничение не выполнено, ему легко удовлетворить соответствующим преобразованием независимой переменной 1. Введем теперь аппроксимацию входной функции времени и (1), полагая ее равной значенизо в левой точке фиксации на всем интервале между двумя соседними точками.

Следовательно, мы принимаем и> (1) и (пй) при лб (1( (и + 1) Л. (2.2.2) Точно так же функцию Ь (1) примем постоянной между точками фиксации, присвоив ей значение, соответствующее средней точке интервала: Ь (1) =й ~ — Ь~ при пй ~(1((п + 1) Л. (2.2.3) Можно было бы также принять ю (1) = 0,5(ю (лй) + + и> ((п + 1)Л)) при пй ~( 1( (и + 1)Ь или исполь- ал1 мвтоды опгвдвлвния ввсовои эвикции (7 совать ряд других способов аппроксимации.