1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 4

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ Часто употребляемый метод идентификации динамики линейной системы основан на использовании белого шума в качестве входного сигнала и применении корреляционных методов. Этому подходу присущ ряд достоинств: 1) идентификацию можно проводить независимо от записей реализаций сигналов, получаемых в процессе нормального функционирования системы; 2) вычисление корреляционных функций на достаточно длинном временном интервале поаволяет сниаить ампчитуду пробного воздействия настолько, чтобы объект яе испытывал существенных возмущений; 3) не требуется априорных сведений об идентифициру емой системе; К сожалению, ряд серьезных недостатков ограничивает применимость этого метода. Среди них: 1) решение задачи часто требует слишком большого времени; 2) использование белого шума вызывает необходимость в дополнительной аппаратуре и средствах программирования; 3) метод применим лишь к линейным системам, а фактически — лишь к линейным системам с медленно меняющимися характеристиками.

Основную задачу идентификации, которую мы будем исследовать, иллюстрирует рис. 2.3Л. Для индентификации высокочастотной составляющей й (~) необходимо, что- бы к> (Н был широкополосным сигналом, и определение 24 КЛАссичвские методы идентиФИКАции [Гл. 2 Ь(г) с нулевойошибкой требует, вообще говоря, бесконечной полосы сигнала и (~).

Практически почти всегда удается подобрать пробное воадействие, спектр которого аначительно шире полосы пропускания системы. Поэтому мы яиия рис. 2.3.1.айадача"идевтифвкацви линейной системы с виешввми (тестовымв воедействвями. ье будем рассматривать ошибки, вовникающие ив-за ограниченности спектра источника входного шума, хотя сделать это совсем нетрудно.

Наблюдению доступен только т (~) — 'игкая<енный шумом вариант выходного сигнала - (Г), а пе сам й,'1). Рис. 2.3.2. Коррелятор в аадаче идентификации. Блок-схема корреляционного метода идентификацип приведена на рис. 2.3.2. Предполагается, что снстеыа функционирует достаточно длительное время, так что достигнуто стационарное состояние. В то иче время влияние нормального функционирования системы на процесс идентификации не рассматривается.

Шумы ш(~) ц г(~) предполагаются эргодическими гауссовскими с нулевыми сред- з,з) ИОРРвляционные метОды идентиФикации об ними аначениями. т(ак станет ясно впоследствии, предположение о равенстве нулю математических ожиданий шумов очень существенно, и нужно внимательно следить за обеспечением равенства средних значений нулю (если они отличны от нуля, но известны, их влияние может быть устранено путем центрирования случайных процессов).

Усредненное по времени значение выхода коррелятора есть ха(~) = — ~ (Л)НЛ, с (2.3.1) (2.3.4) ь) Авторы употребляют одвваковые обозкачеккя (взменяя только аргумевт) для корреющпопной функции н соответствующей спектральной плотности, что ве должно вводить читателя в заблуждевке, (йрим.верее.) причем соотношения х(() = з (() и(ь' — т), (2.3.2) з(г) = у(()+ з(г), (2.3.3) ьо р(г) =) й(Ч)и(( — )ИЧ с следуют сразу из рис. 2.3Л и 2.3.2. Как видно из (2.3.() и (2.3.2), математическое ожидание выхода коррелятора с учетом зргодичности и определения В, (т) = 8 (и (()г (г+ т)) есть 8(х,(ь))= —,$8(х(Л))дЛ =8(х) В„,(т).

(235) с Согласно (2.3.3), (2.3.4) и предположению о равенстве нулю среднего значения и(г), обозначив В„(т) = = 8 (и (г) и (г + т)), получаем 8(х,(()) =В„,(т) = $й(т))В„(т — т))с(Ч. (2.3.6) с Применяя преобразование Фурье, приходим к соотношению для взаимной спектральной плотности а) В„, (з) = Ь (з) В„(з). (2.3.7) та классичкскик мвтоды идинтиэикации !гл. з Если полоса частот В„ (з) значительно шире, чем полоса Ь (з), то приближенно мояшо считать, что В„, (з) = ЬЬ (з), В„, (т) = ЬЬ (т). (2.3.8) Это соотношение является точным, если ш(г) — белый шум, так что, обозначив через бв дельта-функцию Дирака, можно записать В„(т) = В„бв (т), В (з) = В !2я, (2.3.9) итогдаприВ =1 ' В„,(~) =' е (х,(г)) = Ь(т).

(2.3ЛО) Таким образом достигается полная идентификациясистемы, если использовать Ф параллельных корреляторов, позволяющих измерять В„,(т;) = Ь(тч), 1 = 1, 2, ... Л'. (2.3.11) Отметим, что до сих пор никак не использовалось предположение о гауссовости сигналов,такчто в качестве источников пробных сигналов можно было бы применять и негауссовские источники. Однако анализ погрешностей, к которому мы теперь переходим, существенно использует допущение о гауссовости. Для определения статистических характеристик ошибки идентификации удобно вычислить корреляционную функцию выходного сигнала мультипликатора: В„(т) = е (х(~)х(г+т)) = Ж(г(г)й(~+т)ю(~ — т) х х ю(~ — т+ Т) = Ж(и(~) иН+ т)) Ж(ю(г — т)ю(й — т+()НОО Э +й'~ ~Ь(Х,)Ь(Х,)Ж(в(г — т)ю(~+ т — т)в(~ — Х,) х ос х ю(г+ ( — Хз) НЛ,ИХй). (2.3.12) Воспользуемся свойствами момента четвертого порядка гауссовской случайной величины (Сейдж и Мелса (127)).

Именно, если совместное, распределение а„ а.„ а,и а, гауссовское, то 8 (~~а ~~~~) = = В(агаз) Ж (а,а4) +е (а,аа) е' (а,а4)+ Ж (а,а,) е' (а,а„). (2.3Л 3) Использовав это соотношение в (2.3Л2), получим О Ф Вх(Т)=Вх(Т) Вх(Т)+~ ~ Ь(Х1)Ь(Хз) (Вв(Т)ВР(Т+Хт Хз) + о о )- В„(т — Х1) В„(т — Хз) + + В„(т -) Т вЂ” Хз) В (т — Т вЂ” Х,)) дХ, с(Х,. (2.3Л4) Часть этого выражения представляет собой сигнал из (2.3.6).

Остальные члены дают погрешность измерений. Предполагая, что шум ю (~) — белый, В„(7) = = В„бр (у), получим из (2.3.14) В.(т) =В.(Т)В бв(Т)+Ь'(т)В'+В'Ь( +Т)Ь(т — Т)+ СО + В'„бв (Т) ~ Ь (Х1) Ь (Хэ + Т) дХ,. ' (2.3Л5) О Определив Вх (Т) = В'. (Т) + В. (Т) = Ь'(т) В' + В. (Т) получим Вх(Т) = В. (Т) Вхбв (Т)+ В'Ь(т+ т) Ь(» — т)+ 00 + В,',бв (Т) ~ Ь (Х,) Ь (Х + т) ФХ . О (2.3Л 6) (2.3Л7) Такова корреляционная функция шумовой компоненты х (г).

Первый член этого выражения объясняется влиянием внешнего шума Р (1). Два остальных возникают исключительно благодаря самой идентифицируемой системе и пробному сигналу. Линденлауб и Купер (92) показали, что соответствующим выбором псевдослучайного пробного сигнала удается устранить влияние этих двух последних членов предыдущего соотношения. Как правило, именно эта ситуация и возникает во многих практических задачах идентификации, когда дисперсия помехи измерений значительно превосходит дисперсию пробного сигнала. При этом условии корреляционная функцияшумовой составляющей х (Г) равна В,(у) = У (у) = В,(Т) В бв(у) и представляет собой дисперсию х (г), вычисленную в предположении, что последние два слагаемых в (2.3.17) 2.31 ИОРРеляционные метОды идвнтиэикАции зт 28 КЛАССИЧГСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИБАЦИИ ИГЛ.

2 пренебрежимо малы. При этом мы сталкиваемся с задачей оценки постоянного сигнала В , (т) = Л Ь гт) в присутствии гауссовского шума с нулевым средним и дис- персией Р'„(7) = Л~(7)Любо (у) Тогда легко показать (Сейдж и Мелса (127!), что оптимальная оценка равна Математическое ожидание выхода фильтра при этом равно В„Ь (т). Если выход сглаживающего фильтра разделить на Л, его среднее значение будет Ь (т), т. е. та самая весовая функция, которую мы пытаемся определить. Дисперсия ошибки идентификации при этом равна чаг (Ь(т)) = (1/Л'„) тат (х, (г)) = Л„(0)(гЛ„, По заданной дисперсии ошибки моигно найти требуемую минимальную продолжительность процесса идентификации 1' ~ ~Л,(0))Л тат(Ь"(т)). Пример 2.3.1. Продемонстрируем различные источники ошибок, возникающих при идентификации, для случая Ь(т) = е '.

Точное выражение для корреляционной функции выходного шума мультипликатора (2.3.17) примет вид Л. (7) = В. (7) Л.бв (т)+ Л'.Е(т, 7)+ Л'.бв(7).е /2а, где ~ е-м' — т<" 7(т, ( 0 в противном случае. Ясно, что второй член в этом выражении меньше остальных, так что хорошим приближением может служпть л, (т) аг (Ь(т))= —,' + —,. зл) идкнтиаикацня ннстапионАРных ОБ'ьвктов зе Дисперсия ошибки идентификации убывает с ростом интервала наблюдений к Учет «собственного шума«, вносимого пробным сигналом, не приводит к существенным усложнениям. Снова можно использовать достаточно большое время наблюдений, выбирая В достаточно малым, чтобы шум не влиял на нормальную работу системы.

Как уже отмечалось, периодические псевдослучайные чробные воздействия часто оказываются предпочтительнвв гауссовского шума, так как они легче генерируются, легче осуществляются задержка с помощью простых цифровых цепей задержки и умножение с помощью простых пвреключательных схем двоичной логики, а также благодаря тому, что двоичныв сигналы имеют наиболее благоприятное отношение среднего квадрата входного сигнала к максимальной амплитуде на входе. Литература по идентификации содержит многочисленные исследования корреляционных методов идентификации. Многие из ннх упомянуты в нашем библиографическом указателе.

Среди наиболее содержательных — работы Эйкхоффа (37, 381, Левина (901, Лихтенбергера 1941, Линденлауба и Купера 192)и Турина 14431. 2.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ОТКЛИКУ НА СИНУСОНДАЛЬНЫЙ СИГНАЛ В одном из простейших методов идентификации линейных стационарных объектов используется измерение отклика на синусоидальные входные воздействия. Если линейный стационарный объект с передаточной функцией Н(г) возбуждается входным сигналом вида А з!в а~, то установившаяся форма выходного сигнала есть АВ (а) з! в (а~ -1- а (а)1.

Здесь В (а) — отношение аьшлитуды сннусоидальной составляющей частоты а на выходе к амплитуде на входе, а а (а) — сдвиг фаз между входом и выходом. Легко показать, что В (а) и у (а) связаны с Н (г) соотношениями В (а) = ( Н (г) 1 (,,„(2.4А) а(а) = а«я Н (г) (, ъ. (2.4.2) Поэтому, измеряя отклик на синусондальный сигнал, а именно В (а) н тр (а) для ряда значений а, удается по- зо клАссические методы идентиФикАции сгл. 3 лучить графики амплитуды и фазы передаточной функции (так называемые графики Боде).

Наличия этих графиков достаточно для некоторых целей, например для исследования устойчивости и компенсации. При необходимости получить аналитическое выражение передаточной функции можно воспользоваться кусочно-линейной аппроксимацией экспериментальной кривой (Мелса и Шульц (102]).