1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 8

Сочетание случайного поиска (на первых шагах алгоритма) с градиентными методамн, а также применение методов «крутого восхождения» и «перебора гребней» обычно позволяют по[[учить хороший алгоритм. Применение градиентных методов к идентификации по обучающейся модели обсуждается далее в главе 4. К этой же теме относятся статьи Бландхола и Балхена И81, Эвели [361, Эйкхоффа [381, Марголиса и Леондеса [941, Менделя И031, Мишкина и Брауна И051.

2.6. ВИНЕРОВСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Винеровская теория нелинейных систем представляет фактически экспериментальный метод, в котором неизвестные параметры системы определяются как коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Входной сигнал системы раскладывается в ряд по функ»[иям Лагерра. «) См, глззу 4, клАссические метод:: идентиФЕИАпии игл. 2 Эти функции получаются из полиномов Лагерра умножением на экспоненту, так что для многочлена Лагерра ~в-1 Ь„(2) = е' — (г 'е '], и =1,2,..., (2.6.1) соответствующая п-я функция Лагерра определяется как ~ е ~~~А 8 ® ° ~ (~) ~ ~ ~ (2.6.2) Функции д„(г) ортогональны при всех г е= (О, оо]. Прошлые значения входного сигнала можно представить рядом О и( — г) =,Я и„д„(2), 2 ьО, (2.6.3) ОР и„=') и( — т)д„(т)йт. (2.6.4) о Ясно, что необходимые нам коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская х (2) через цепочку линейных динамических звеньев.

Рассмотрим генерацию коэффициентов Лагерра с помощью линейной системы с передаточной функцией, являющейся преобразованием Лапласа уравнения (2.6.1) (2.6.5) Эта система показана на рис. 2.6.1. Для полного использования всех выгод разложения входного сигнала в ряд по функциям Лагерра, в излагаемой теории предполагается, что для возбуждения системы на вход подается гауссовский белый шум. Можно показать, что при таком выборе входного сигнала функции Лагерра окааываются некоррелированными гауссовскими случайными процессами с равными дисперсиями. Поскольку полиномы Эрмита ортогональны при всех Г б= ( — оо, со], естественно воспользоваться разложением оператора системы по функциям Эрмита.

Для л-го полинома Эрмита ц„(и) Винер определил (л +1)-ю функцию Эрмита как н„(и) = е-~"чз)т]е (и). (2,6.6) Винер показал, что формулы перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу можно записать в терминах функций Эрмита с помощью ряда (О С 00 х(2) = Нш ~~~~ ~~~~ ... ~ ан...лНт(ит) Н;(ил) ... Нл(ир). (2.6.7) р т-2 2-2 Лл Л Его коэффициенты ап..л можно определить, умножая обе части уравнения на соответствующие произведения рно. 2.6Л.

Генерация ноаффнцнентов Ллгеррл с помощью линейной системы. функций Н„(и) и усредняя по 2 Е= [ — оо, оо!. Однако, благодаря выбору входного сигнала и формй разложения, необходимое усреднение можно осуществить путем определения корреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита. Например, можно показать, что т атв..л = (2И)т' Вш 2Г ~ и(2) та(ит)тэ(ил) ...т[л(ир)бг = -т = (2п)Рнии(2) о(т) . (2.6.8) Это уравнение реаюмирувт винеровскую экспериментальную теорию нелинейных систем. На рис.

2.6.2 представлена схема вычислений, необходимых для реализации этого метода. Несмотря на кажущуюся простоту уравнений (2.6.8), приведенное выражение предполагает выполнение, вообще говоря, бесконечного числа операций. Для практического использования винеровской теории необходимо обреаать все операции, связанные с предельными переходами, как по отношению к продолжительности измерений, так и по отношению к числу членов в рааложенни и (т). Анализ погрешностей, связанных с подобным усечением, был бы исключительно сложным. Кроме 50 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ (ГЛ. 2 того, дополнительные трудности связаны с особенностью описанной процедуры, неосуществимой в режиме нормального функционирования, поскольку в течение длительного Рис.

2.6.2. Схема для оценки коэффнциентов Винера. времени система должна подвергаться воздействию специальных тестовых сигналов. Далее, мы не рассматриваем нестационарные и неустойчивые системы. Наконец, возникает необходимость перехода от коэффициентов Винера к параметрам системы дифференциальных уравнений, что часто оказывается непростой задачей.

В цитируемых нами в библиографии работах можно найти много дополнительных деталей этого метода идентификации. 2.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В этой главе был исследован ряд методов идентификации, которые в прошлом использовались весьма эффективно. Рассмотрены различные процедуры: от простых численных алгоритмов решения уравнения свертки в разделе 2.2 до более сложной методики изучения реакции на синусоидальный входной сигнал для линейных нестационарных систем.

Остальные главы книги посвящены исследованию так называемых современных подходов к аадачем идентификации. Прежде чем заняться этим мы, однако, должны определить функции штрафа для задач идентификации, что и Составляет содержание следующей главы. Глава 3 ФУНКЦИИ ШТРАФА В ЗАДАЧАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЗЛ.

ВВЕДЕНИЕ В этой главе будут исследованы некоторые функции штрафа, которые можно использовать в задачах идентификации. Под функциями штрафа для задач идентификации понимаются потери или штраф, связанные с недостижением абсолютно точной идентификации. К примеру, если истинное значение подлежащего определению параметра равно О, а получаемая оценка равна О, подходящей функцией штрафа может служить (Π— О)'. Собственно говоря, истинное значение параметра О никогда точно неизвестно; именно это и является основной причиной возникновения задачи идентификации.

Следовательно, более разумным является использование статистических характеристик отклонения О от О. В общем виде в случае векторного параметра О эта характеристика может быть записана в виде СО Я=8(С(0(Х)~К) = ~ С(ЕЩр(О~К)до= О С ОР ~ ... ~ С(В(К))р(О~к)ИО,(0,... (О„. (З.1.1) — С С Здесь С [О (Е)) означает цену ошибки (штраф за ошибку). Ошибка определяется формулой Ор) == 0 — 0 (о), (3.1.2) где Π— истинное значение параметра и 0 (Е) — оценка параметра, основанная на некотором наблюдении Х.

Формула (3.1.1) представляет условное математическое ожидание штрафа за ошибку в оценке параметра и получается непосредственно применением основной теоремы о средних 12 Функции штгафА в задлчах идкнтнфикапии ~гл. э значениях. Наиболее распространенными функциями цены ошибки являются квадратичная С(Е(Х)) =)Š— ЕДф=(Š— Е(К))'В(Š— ЕД), (ЗЛ.З) где Я вЂ” неотрицательно определенная симметричная матрица, и ступенчатая ( Ьэ, с(е(к)) = [ [ о, О 6(х) = ~ ер(е~х)бе.

(3.1.5) Критерий (ЗЛ.4) часто рассматривается при достаточно малом е, так что эквивалентной (3.1.4) становится функция штрафа с(в(к)) = Цб, (е; — е,(к)). (Зл.е) Подставляя (ЗЛ.4) в (ЗЛЛ) и переходя в полученном выражении к пределу при э, стремящемся к нулю, или непосредственно подставляя (3.1.6) в (ЗЛ.1), получим штрафную фун ~цкю максимума апостериорной вероятности я = — р (едких), (ЗЛ.7) когда необходимо выбором 6 (Х) минимизировать Я. Такая оценка 6(2) называется оценкой максимальной апостериорной вероятности (МАВ), поскольку эта оценка получается максимизацией условной плотности вероятности р(6~ 2) и обычно находится из уравнения (3.1.8) ~э=емАВ(з) В дальнейшем мы будем часто испольэовать оценки МАВ.

(Ед(> з, (е(хц< . Минимизируя (3.1.1) оптимальным выбором Е (Х) при квадратичной цене ошибки вида (ЗЛ.З), легко прийти к выводу, что наилучшей оценкой 6 (Е) является условное математическое ожидание ввьдвйии Ьл) Более традиционной, чем штрафная функция максимума апостериорной вероятности, является штрафная функция максимального правдоподобия (МП); в этом случае максимяаируется условная плотность вероятности наблюдений относительно параметра 9.

Оценка определяется из уравнения дг (2! 6) ~ () (3.1.9) дв 1е=ампои при этом параметру 6 присваивается значение, при котором наиболее вероятно появление наблюдавшейся реализации Е. Легко понять, что оценки МАВ и МП тесно связаны, поскольку, согласно формуле Байеса, р(б~~) = р(У,~9) р(б)~р(~). (3.1.19) Поэтому оценка МАВ есть оценка МП, в которой априорная информация об оцениваемом параметре, содержащаяся в плотности вероятности р (О), используется для улучшения оценки. В оценке МП не используются никакие априорные знания о подлежащем оцениванию параметре б. Проиллюстрируем раэницу между двумя подходами на простой аадаче, которая нам еще понадобится впоследствии.' Рассмотрим идентификацию )т'-вектора состояния х(й), порождаемого линейной автономной моделью х(й+1) = Ф(й+ 1, к) х(й).

(ЗЛЛ1) М-вектор наблюдений, производимых в присутствии шума, имеет вид (3.1Л2) х(й) = Н(я) х(й)+т(й), причем шум т (я) — последовательность гауссовских слу- чайных величин с нулевым математическим ожиданием и таких, что сот(т(й), т(1)) = У„(й) Ьк(Ь вЂ” 1), сот(т(Ь), х(1)) = О, (3.1.13) где бн — символ Кронекера. Сначала рассмотрим задачу построения оценки х(й,) методом максимального правдоподобия, т. е. путем максимизации функции правдоподобия (ЗЛ.14) р (Х (Й~) ~ х (Йе)) 64 Функций штга»ьа в задачах йдкнФи<ьикхцяи [гл. а выбором х (й,). Идентификация х (й,) подобным образом аквивалентна' идентификации х (Й) для Йе «( Й «( Й!, так как х (й) порождается х (йе) в соответствии с (3.1.11).