1626435586-15eceb6ba43f688400eaeb312dc6d98a (Сейдж, Мелса - Идентификация систем управления), страница 3

Впрочем, при достаточно малых й все они приводят к одинаковым ответам. Один из лучших способов проверить, достаточно ли мало Ь,— повторить все вычисления для Ь' = Л72. Если не происходит ааметных изменений, то Л достаточно мало, в противном случае следует выбрать А" = Ь'/2 и снова провести вычисления. В терминах ступенчатых аппроксимаций и (() я Ь (а) интеграл в (2.2Л) при г = пй приближенно запишется в виде у(пЛ) = Ь,Я Ь( — Л вЂ” Ж) ш((А). (2.2.4) Обозначив Ф-вектор наблюдений выхода череэ ут (Т) ут (Т) [у (Л) у (2Л) у (Фй)1 (2 2 5) и )г'-вектор значений весовой функции в точках фиксации через Ь (7) =[Ь ~ 2 )Ь ~ 2 ) "Ь~ 2 ЛДъ (2.2.6) перепишем уравнение (2.2.4) в виде у(т) = Л%Ь~т).

(2.2.7) Здесь матрица % определяется равенством и(0) 0 0 0... 0 и(Л) и '0) 0 0... 0 %= и(2Л) и(Л) и(0) 0... 0 и [(Ф вЂ” 1) Л) и [(М вЂ” 2) Л) . и (0) Отметим, что % — левая треугольная матрица. Теперь задача сведена к определению иэ уравнения (2.2.7) вектора Ь значений весовой функции в точках фиксации. Ввиду условия ш (О) чь О, как легко видеть, йе(% = [и (0)Р Ф О и % невырождена. Поэтому формально решение уравнения (2.2.7) можно записать в виде Ь =% ау. (2.2.8) Благодаря левой треугольной форме % выраяаение для Ь [3 клАссические методы идентиФикАции [гл, 1 легко переписать в рекуррентном виде Я вЂ” 1 Ь" = 0) ~~ Л ~~~ ~Ь ао(1Л)1, (2.2.9) где ( 2 ) (2.2.10) Ь, =- —. к(А) АФ(0) ' (2.2 11) Определив величину (2.2.13) Отметим, что в (2.2.9) необходимо оперировать с постоянно растущим объемом данных. Для определения Ь„ нужно произвести примерно и умножений и столько же сложений.

Поэтому использование этого алгоритма для последовательной идентификации или идентификации в реальном масштабе времени становится невозможным, как только интересующий нас интервал времени перестает быть достаточно малым. Кроме того, накапливающиеся ошибки округления существенно снижают точность метода при возрастании п. Тем не менее зта процедура очень проста и может быть вполне эффективной для многих задач идентификации. Применяя быстрое преобразование Фурье, также удается существенно упростить вычислительную процедуру метода решения уравнения свертки.

Другим достоинством рассмотренного подхода является возможность испольэовать л[обые входные сигналы. Поскольку нет необходимости применять специальные тестовые, сигналы, можно использовать реализации, полученные в процессе нормальной эксплуатации системы. Если входным сигналом является функция единичного скачка, алгоритм (2.2.9) заметно упрощается. В атом случае к1 (1Л) = 1 для всех 1, и поэтому (2.2.9) принимает вид Я вЂ” 1 Ь„= — "" ) — Я Ь ь (2.212) 2.2] методы ОпРеделения весОВОИ Функции 29 удается привести это выражение к особо удобному виду (2.2Л4) При этом Н„определяется простым рекуррентным соотношением Н„=Н„,+Ь,.

(2.2.15) Алгоритм (2.2Л4), (2.2Л5) записан в простой форме, предполагающей выполнение двух сложений и одного деления (на Ь) на каждом шаге. Рис. 2.2.2. Пример 2.2Л. Пример 2.2.1. Проиллюстрируем применение полученных выше результатов на простом примере. Задача показана на рис. 2.2.2; истинная весовая функция объекта равна Й(~) =е '. Для идентификации на вход подается единичный скачок, и нетрудно убедиться, что выходной сигнал равен у(1)=1 — е '. Значения весовой функции были определены в точках интервала 0 ~ 2 ( 1, расположенных с шагом Ь = 0,1. Точные и приближенные значения л (2) даны в табл.

2.2Л и демонстрируют отличное совпадение. разумеется, эта задача очень проста, так что естественно ожидать хороших результатов. Помимо отмеченных выше вычислительных трудностей, применение этого алгоритма наталкивается на дополнительные осложнения, если измерения выхода сопровождаются ааметной помехой. Поскольку каждому измерению выходного сигнала алгоритм сопоставляет одно зна- 1гл. а 20 клАссические методы идентиФикАции Таблица 22.1 Точлые и приближенные зеачеллл весовой функции л го лк> 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,577189 0,522264 0,472561 0,427594 0,386903 0,951229 0,860708 0,778801 0,704688 0,637628 0,951625 0,861068 0,779125 0,704981 0,637894 0,576950 0,522046 0,472367 0,427415 0,386741 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 у(17) = ЬР7.

(Т) Ь(Т) + л (1,). (2.2.16) чение весовой функции в очередной точке, усреднение помех оказывается невозможным. Для борьбы с шумом можно провести ряд экспериментов при одинаковых входных сигналах и использовать для определения весовой функции усредненные значения выхода. Если повторение входного сигнала недоступно, можно усреднить значения весовой функции, вычисленные для нескольких наборов различных входных и зашумленных выходных сигналов.

При таком подходе, однако, может заметно возрасти объем вычислений. Существует еще один метод, применимый при наличии помех на выходе. Правда, он требует усечения весовой функции при некотором конечном значении времени. Если объект асимптотически устойчив, так что й (1) -+. О при 1- о, то при таком усечениине допускаетсясерьезной оглибки. Допустим, что Ь (1) = О прп 1) Т, а измерения входа и выхода осуществлены для О ( 1( 11 = тЬ, причем 11)) Т.

В терминах рассмотренного выше алгоритма налицо значительный избыток информации, так как достаточно иметь лишь измерения входных и выходчых сигналов для О(1(Т. Эти избыточные данные можно использовать для улучшения оценок весовой функции. Чтобы показать, как это можно сделать, перепишем формулу (2.2,7) в предположении, что й (1) усечена: 2.2) методы Опгеделенкя ВесОВОЙ Функции 21 Здесь ут(1)) [р(Ь) у(2Ь) у(жЬ)] (2 2 17) и (О) 0 0 и (Л) и(0) ... 0 и[(Ч вЂ” 1) Л] и [РЧ вЂ” 2) Л] и (ЖЛ) и [(Ч вЂ” 1) Л] 1Ч,(Т) = и (О) и (Л) и [(си — 1) Л] и [(Ри — Е) Л]... и [(т — 2Ч) Ь] (2.2.18) Ковариационную матрицу у (11) обозначим чаг(у(1,)) = Ч„(Я.

Оценка Ь (Т) по и-мерному вектору наблюдений у (11)— классическая задача теории точечных оценок (Сейдж и Мелса [127]). Наилучшая в среднеквадратическом смысле оценка Ь (Т) выражается формулой Ь(Т) = [Ж~(Т) Ч %„(Т)] ~]Ч% (Т) Ч,,~у(21). (2.2.20) Заметим, что для ее вычисления требуется обращение матрицы размера )Ч х Ф. Кроме того, алгоритм не рекуррентного типа, так как вычисления можно провести, только собрав всю исходную информацию полнос1ыо.

Если компоненты вектора шума у (1Ь) независимы и имеют дисперсии Г, (1Ь), то алгоритм построения оценки [1 (1) можно записать в простой рекуррентной форме. Будем обозначать через Ь (Т ] и) оценку, основанную на векторе наблюдений в п точках у (ЕЬ). Легко показать (Сейдж в Мелса [1271), что при этом Ь(Т] и) = Ь(Т] и — 1)+ Ь(ЕЬ) [р(ЕЬ) — с(пЬ) Ь(Т] и — 1)]. (2.2.2 а Ь (Т) по-прежнему определяется равенством (2.2.6).

Шум на выходе предполагается аддитивным, с нулевым математическим ожиданием и выражается вектором ч (1)), определяемым как Ут (11) = [Р (Ь) Р (2Ь) ... У (тЬ)]. (2.2.19) 22 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИГЛ. 2 Здесь Ф-вектор [г (пА) определяется как ]г (ЕЛ) = Ч [(я — 1) А] сг (ЕЛ) [с (ЕА) Ч [(л — 1) Л] с г (ЕЬ) + + Ч„(пЛ)) ', (2.2.22) У Х Л'-матрица Ч (пЛ) задается разностным уравнением Ч (пА) = [Т вЂ” к (ЕЛ) с(еЛ)]Ч [(е — 1) А], (2.2.23) а Х-мерный вектор-строка с (ЕЬ) есть с(пА) = (и [(и — 1)Ь]ю [(и — 2)А] ... и [(я — Ф)Л]) (2.2.24) Применение этого алгоритма можно начать с определения 6 (Г [ Ж) из (2.2.9) по первым Х наблюдениям и затем использовать рекуррентное соотношение (2.2.21) по мере накопления новой информации.

При подобном последовательном подходе требуется обращение лишь скалярных величин. Пример 2.2.2. Применим этот рекуррентный алгоритм к задаче идентификации иэ примера 2.2 1; При этом мы с малой ошибкой можем считать, что Ь (~) = 0 для ~ ) 4. Воспользуемся снова входным сигналом в виде функции единичного скачка; в данном случае, при п ) 40, с(пА) оказывается постоянным 40-мерным вектором вида с = = [111 ...1]. Алгоритм построении оценки (2.2.21) примет внд м Ь|(4] и) = Ь;(4[п — 1) + Ь;(пЛ)[у(пЛ) —,5~ Ь~(4] и — 1), з-т Т = 1, 2,..., 40, и '> 40, причем компоненты векторного коэффициента усиления определяются формулой 4О м ао Ь; (ЕЬ) =,5д Т"н [(и — 1) Л] ~,Я ~'~ %',р [(л — 1) Ь] + $'„) ~=ь р=з Т'и (пА) = Т1н [(и — 1) А] — [с, (пА),Я Р'и [(я — 1) Л].

1-1 Отметим, что этот метод требует значительного объема вычислений, так как необходизю примерно 40 х 40 = 1600 з,з1 коггнляционнык мвтоды идннтиФикзпии 23 сложений на каждом шаге. Применение алгоритма следует начинать с определения Ь (4 ( 40) с помощью уравнений (2.2Л4) и (2.2Л5). При выводе алгоритмов численного решения уравнения свертки для систем более высокого порядка обычно приходится сталкиваться с проблемами численного анализа, лежащими за пределами нашего рассмотрения.

Заинтересованного читателя мы отсылаем к многочисленным источникам, приведенным в библиографическом указателе, где эти вопросы детально исследованы. Многие из возникающих здесь вычислительных проблем могут быть решены применением быстрого преобразования Фурье. 2.3.