Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987), страница 13

Заданное состояние х„„для ЛА может отражать заданное положение центра масс ЛА в пространстве, заданные значения перегрузок или компо- 59 нент, характеризующих угловое положение ЛА, и яр. При автоматическом управлении полетом этот вектор определяется старшим уровнем иерархии бортового комплекса на основе, например, решения навигационной задачи.

При автоматизации ручного управления самолетом вектор формируется на основе создаваемых летчиком отклонений органов управления. В любом из этих случаев имеются, вообще говоря, две возможности формализации требований к динамике переходных процессов управляемого движения. Первая из иих сводится к тому, что х„формируется практически мтновенно по результатам анализа решения навигационной задачи или положения органов управления. Все требования сосредоточиваются в соответствующем подборе параметров функционала. Вторая возможность заключается в использовании эталонной модели движения ЛА, возбуждаемой сигналами навигационного вычислителя или датчиков органов управления.

Параметры функционала подбираются из условия обеспечения наилучшего слежения ЛА за эталоном. Первый способ представляется менее обременительным, но указанное выше отсутствие непосредственной ясной связи прямых и косвенных показателей качества движения может создать труднвсти на этапе формулирования критериев, особенно для задач автоматизации ручного управления. Второй способ опирается на уже достигнутые результаты в области проектирования систем управления ЛА [3.31. Оба эти способа при автоматизации ручного управления полетом требуют продолжения исследований человеко- машинных систем. Ниже основное внимание уделяется путям реализации адаптивного оптимального управления при заданньгх х„, и лодьщтегральных функциях (3.3) критерия оптимальности управляемого движения. 5 32.

Методы аналитического конструирования Для последнего десятилетия характерно бурное развитие обшей теории оптимального управления, базирующейся на рассмотрении пространства состояний и функционалов качества управления. Методы этой теории все в большей мере конкурируют с классическими методами анализа и синтеза систем регулирования как при решении традиционных задач, так и при реализации новых принципов управления динамическими объектами.

К числу таких методов относится аналитическое конструирование регуляторов. Наиболее полное решение задачи оптимизации в общем виде, характерное для аналитического конструирования, обусловливает интерес к этому методу с точки зрения осуществления совмещенного синтеза оптимальных управлений в адаптивной системе управления. За полноту общего решения аналитическое конструирование расплачивается условиями, накладываемыми на динамические свойства управляемого обьекта и на структуру критерия, отрахспощего предъявляемые к управлению требования.

Укажем зти условия. 1. Уравнение (1.1), описывающее движение объекта, линейно относительно вектора управляющих воздействий, т.е. вместо (1.1) можно пользоваться записью х=~(х, а, г)+ср(х, а, г)и, (3.81 (3.10) (3 12) При выполнении условий 1, 2 и 4 гамильтониаи системы, т.е. вещественная скалярная функция вида где «и чс — известные с точностью до вектора параметров векторная и матричная функции указанных аргументов.

2. Область возможных значений управляющих воэдеистаий в У являет- ся незамкнутой. 3. Все возможные переходные функции объекта (3.8) непрерывно диф- ференцируемы в Х". 4. Минимизируемый функционал (3.1) или (3.2) является квадратич- ным относительно вектора управления и, тл. подынтегральная функция последнего члена в каждом из этих функционалов имеет вид 1 Ь(и, «) = — и'(«) К '(«) и(«), 2 (3.9) где К(«) — некоторая положительно-определенная невырождеиная матрица, характеризующая "свободу" выбора управлений в У Перечисленным условиям может быть дана физическая интерпретация. В большинстве случаев зти условия приводят к несильным ограничениям в практических задачах. Так, удовлетворение условия 2 при ограниченных управлякяцих воздействиях в реальной системе может быль обеспечено соответствующим выбором К(«) в (3.9) .

Как показано в 13.4 — 3.7], усло- вия 1, 2 и 4 в определенном смысле могут быть ослаблены. В настоящее время известны две формулировки метода аналитического конструирования: Летова — Калмана 11.5,3.8] и А.А.Красовского [1.5, 3.9]. чсормулировка, данная АА. Красовским, отличается включением в мини- мизируемый функционал дополнительно интегрального члена с положитель- но.определенной подынтегральной функцией вектора состояния и в общем случае времени.

Структурно этот член для (3.1) может быть представлен в виде ск 2 с, где ие„т — ссс-мерный вектор неизвестных пока оптимальных управляющих воздействий. Так как в предположении существования решения задачи управления вектор и„„, является функцией вектора состояния и времени, то подынтегральная функция в (3.10) действительно является функ- цией х и «. Таким образом, при оптимизации управления объектом (3.8) на интер- вале 1«е, «к] по Летову — Калману минимизируется функционал ск ск Ул к Гэад ссх(«к), «„] + 1 Д(х, «)с««+ / и 'К ' («)ссс««, (3.1 1) с, 2 с, а по А.А.Красовскому — функционал ск ск Укр = ~;, 1х(«„),«„] + 3' Д(х, «)с««+ — /' (иК 'и+и'„К 'и„т)с««.

сь 2 с, И' ~ д!с 'К х, —, и, «~ = Д + «. + — Р; дх дх (3 13) 61 Воспользовавшись тем, что зта сумма является скаляром, ее можно привести к виду 1 ар' 1,, ар' -и'К 'и+ — — ри+ — и'р' — + 2 2 дх 2 дх 1 а! , а!" 1 а! , а! ' + — — рКу' — — — — рКр'— 2 дх дх 2 дх дх что зквивалентио выражению — ~и+К~р' — / К ' ~ и+Кр' — / — — — амбр' —. (3.14) 2 ах ах г ах дх Отаода следует, что при положительной определенности матрицы А в открьпом множестве У~ гамильтониан имеет единственный минимум при , аг" поет = К!р (3.15) дх Регулярность гамнльтониана К, вь1полнение условия 3 и существование в Х" Х [ге, гк[ такого непрерывного дифференцируемого решения г(х, !) уравнения Гамильтона — Якоби — +Ж х,—,иет х,—,г,г =О, (3.16) которое при г = г„принимает значение р[х(т„), г„3 = гз, [х(г„), г„[, а соответствии с теорией Гамильтона — Якоби [1.20, 3.4! обеспечивают необходимость и достаточность управления (335) как решения задачи оптимизации (33), (3.1).

Соответствующими подстановками из (3.11) или (3.12) в (3.13) и (3.15) с учетом того, что при оптимальном управлении первое слагаемое в (3.! 4) обратится в нуль, ьюжно убедиться, что уравнение Гамильтона — Якоби а постановке Летова — Калмана принимает вид дГ а"г' 1 д1', д!" — + — ~' — — — ф~~р' — ~ — Д, (3 !7) ат ах г а» дх а в постановке А.А. Красовского — внд уравнения Ляпунова . ар а! — + — Г= — 0 ат ах (3.!В) где г' — некоторая вещественная дифференцируемая функция„определенная в Х" Х [ге, г„[, а д $7дх — матрица.строка, злементами которой являют. ся частные производные Р(х, г) по компонентам вектора состояния х(г), регулярен относительно Х".

Другими словами, существует единственный абсолютиьй щ!и К в Х". и Действительно, в силу (3.8) и (3.9) слагаемые гамильтониаиа (3.13), зависящие явно от управления и, принимают внд 1,, дà — и'К 'и+ ~ри. 2 дх Граничные условия лля этих уравнений одинаковы и определятся соотношением 1 (гк) 1 зал [х(гк). гк] ° (3.19) Содержание метода аналитического конструирования сводится к реализации (3.15) с использованием решения (3.17) или (3.18).

Сопоставление (3.17) и (ЗЛ8) показывает, что в выя~спительном отношении аналитическое конструирование в формулировке А.А. Красовского имеет определенные преимушества. Во-первых, уравнение (3.18) имеет меньшее число вычислительных операций, а во-вторых, оно линейно относительно частных производных искомой функции (функции Ляпунова) К(х, г). Кзк показано в [1.43), линейность (3.18) не толысо упрощает процедуры поиска решения, но и обеспе мвает автономность задач достижения высокого качества управления по (33) и выдерживания заданных ограничений (3.4) . Укаэанные обстоятельства определяют выбор метода аналитического конструирования в формулировке А.А. Красовского как основного метода совмещенного синтеза управлений в многопараметрической адаптивной системе управления. Использованию и анализу этого метода как в детерминированных, так и в стохастнческих задачах посвящена, например, работа [3.101.

Большой вклад в его развитие и исследование приложений внесли ученики А.А. Красовского: Р.М. Карапетян, В.В. Невструев, С.Н. Коробков, Е.П. Решетняк, А.С. федосеев и многие другие. В [3.11[ показано, что системы управления, спроектированные при условии минимизации критерия обобщенной работы, при управлении линейными объектами обладают запасом устойчивости по фазе, равным я/2. Вопросам использования аналитического конструирования в формулировке А.А. Красовского для совмещешюго синтеза управлений в адаптивной системе управления посвящены работы [1ЛО, 1.43, ЗЛ 2].

Получили распространение различные варианты алгоритмов аналитического конструирования по критерию обобщенной работы. 1. По особенностям задания функционала (3.12) различают терминальные и нетерминальные задаю. К терминальным относят задачи управления полетом, когда из физического содержания задачи назначен некоторый конкретный момент времени окончания процесса управления. В этот момент к движению ЛА предъявляются особые требования.