Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987), страница 8

Продолжая рассматривать ЛА как твердое тело, кинематику его пространствеиюго движения ьюжно разделить на кинематику вращательного движения вокруг центра масс н поступательного движения центра масс. Прн описании поступательного движения требуется определить изменение относительного положения нормальной земной и нормальной СК, которое в условиях пренебрежения вращения Земли запишется в виде г = Г». (2.33) В проекциях на осн нормальной земной СК это уравнение принимает вид 1 (2.34) (часто вместо Х для обозначения высоты полета мы будем использовать Н).

Если вектор земной скорости ~а определен в траекторной СК (интегрированием (2.10)), то вместо (2.34) следует записать Л создсоз- фип оа8 ппФ от и (2З5) Если же вектор земной скорости определен в связанной СК (интегриро- ванием (2.11) ), то (2.36) Описание пространственного вращательного движения ЛА как твердого тела вокруг центра масс может иметь по крайней мере трн различные формы. Первая из них связана с углами Эйлера (см. рис. 2.4), вторая — с направляющими косинусами углов, показанных на рнс.

2.3, а трепа — с кватерннонамн (параметрами Родрига — Гамильтона). Рассмотрим первые две формы подробнее. Относительно третьей формы заметим лишь, что она весьма эффективна прн моделировании прострел. ственных движений ЛА в полунатурных моделирующих комплексах ~2.1). Лля того чтобы получить кинематические уравнения, описывающие из. менение углов Эйлера. достаточно н .йти проекции вектора угловой ско.

рости 1! А нэ непрямоутольиую систему осей ОХ (совпадает с т), О у (сов- 34 нарвет с Ф) и промежуточной оси между 02 и ОУ на рис. 2.4 (совпадает с д). Полагая, что проекции вектора угловой скорости ЛА на оси связанной СК известны„получим с» = с~у эш 7 + ш» соь 7» 7 сс»» тйо(сс> соэ7 о~гйп7)» ('.37) 1 йг = — (ссу соэ у — сс, пп у). соэд Такая форма описания кинематики углового движения традиционна, однако ее существенным недостатком является наличие особых точек пространственных говоротов (д = +90'), в которых уравнения (2.37) терпят разрыв.

Кннематнческие уравнения в направляющих косинусах (уравнения Пуассона) можно получить дифференцированием в связанной СК единичных векторов (ортов) нормальной СК. Так, для вертикального орта, направленного вдоль осн Оуа, справедливо Принимая во внимание, что проекции единичного вектора ехг на оси связанной СК суть соответствующие направляющие косинусы, можно запи- сать еуэ мэ еуу ыу ау э ахг <'~а еуэ сдаехх (238) еуг = сдуех» сохеуу. Аналогично получаются уравнения для остальных шести направляющих косинусов. Для матричной записи уравнений Пуассона используют следующий прием: из компонент угловой скорости формируют квадратную косо- симметрическую матрицу !П) = (2.39) В этом случае матрица направляющих косинусов (2.1) удовлетворяет уравнению Ь,", = [(2) О,"..

(2.40) Среди достоинств такой формы описания кинематики углового движения можно отметить отсутствие особых точек, т.е, моделируемые угловые движения не имеют ограничений. Избыточность вычисляемых параметров (девять вместо трех) частично компенсируется, если одну из строк митрицы Юа' определять через алгебраические дополнения. Объединяя изложенные выше результаты н вводя дополнительные соотношения для углов атаки, скольжения и пр., мохшо записать в матричной форме уравнения пространственного движения ЛА (вертикальной чертой разделены возможные варианты уравнений). 3' 35 1 :1 =на, 11,..., М,КЕ).

~х ~ пдв ««ооа х «,14 Ехх 1'гсх + Еху 1'«су + Ехх "«сх* Ннеух$'Ьх+Е Гху+е зГЕх, т = (Еху Еух — Еууехх ) 3с + (Еухехх — Еххеуз) а««су +(Ех Еуу — сух еху) р» Ехх Ссх Еху «»у Ех а Еух =ШхЕуу Оплеух. Еху = Сох Ехд — Шх Ехх, Еха «Оуехх «ох Еху* хуу «'~хеух Соа Еух Еуз = Иуеух — сохеуу. Введенные здесь функции г«(1 = 1, 2,..., 7) соответствуют: матричная функция )'« — формуле (2.4); матричная функция Л вЂ” таблице 2.2; скалярные функции Гз и У4 — стандартной атмосфере; векторная функция Д вЂ” формуле (2.16); векторные функции Уа и Ьт — формулам (2.30). Положения всех рулевых органов являются входными управляющими сигналами данной модели. Скорость и направление ветра, как н неучтенные моменты и силы, связанные со сбросом груза, изменением центровки и т.д., являются возмущающими факторами.

Запишем (2.41)-(2.47) в скалярном виде, используя варианты уравне- ний, расположенные справа от вертикальной черты: соз»«» р'.=Р'у Ъ вЂ” 1'. у-8е,х+ — г(бр.у, 1, И)+ 4о + сх(а» бр.в ° 8т.»д бз» М). з1п«р р~~ = ~а со„— Р~ «о — яе + — Р(8р т, 1с, Н) + «л «1Ь' + — с (а, 8р „8„8„о, М), 4о' у«сх а'«схсоу а'«су«ох 8еух+ са(«т,Р,брн, 8по, М), т — 4~1 х х '*х 'х ~да «~~у «х«ох сох + 481 + л«у(а Р «»х «'»у бз бр.н» 8р.в» 8п.о» М)» (2.48) Уу Эти дифференциальные уравнения дополняются алгебраическими соотношениями, вытекающими из (2.45) — (2.47): 1х = ьах ехх)пхн еху )Рун ехх(ухн» 1у = 1~ау — сух 1»»хн — еуу»»»»ун — е Ь» н, и, = и, — (е„е, — „— ех,) Вх„— (2.49) (сух ехе еххеуе) 1»»ун (еххеуу ехуеух) )ухн Все дополнительные алгебраические соотношения (2.49) могут быть включены соответствующими подстановками в правые части дифференциальных уравнений (2А8). В результате модель (2.48), 12.49) приводится (с учетом задания соответствующих начальных условий ) к форме Коши Х=г(Х,8,1у',Г)+$х, Х(ГО)=Х(0), (2.50) где х — 15.мерный' ) вектор состояния модели ЛА; 6 — вектор управления; Й' — вектор скорости ветра; $х — адцнтивные возмущения в виде неучтенных моментов и сил.

!1олные уравнения пространственного движения жеспсого самолета в форме (2.48), (249;: обладают высокой универсальностью и при достаточно полном описании коэффициентов аэродинамических сил и моментов (2.30), (2.31) позволяют исследовать динамику движения самолета на предельных режимах, включая режимы сваливания на больших углах атаки [2.131. Однако для многих режимов полета такая модель обладает чрезмерными сложностью и трудоемкостью, з 2.3. Упрощенные нелинейные модели движения самолета. ') Завышенная размерность вектора состояния (для движущегося в пространстве твердого тела размерность вектора состояния равна 12) обусловлена особенностями направляющих косинусов. 38 Решение частных задач управления полетом допускает применение существенно более простых моделей движения ЛА.

Рассмотрим несколько вариантов моделей жесткого самолета, получаемых из (2.41)-(2.47) путем введения дополнительных упрощающих предположений. Некоторые иэ этих моделей получили достаточно широкое распространение, Будем полагать, что от математической модели требуется воспроизведение пространственного движения жесткого самолета при следующих условиях: — диапазоны изменения углов атаки и скольжения настолько невелики, что для аппроксимации коэффициентов аэродинамических сил и моментов можно воспользоваться линейным приближением (2,30); — изменение высоты полета на рассматриваемом временном интервале незначительно н влиянием изменения плотности воздуха и скорости звука на аэродинамику самолета можно пренебречь; — по содержанию решаемой задачи интерес представляет только ориентация самолета относительно местной вертик .

тн; — ветер отсутствует. (2.52) 45 /' 1', х х~'~у 1ушх Кеу~ + сх ~ ~ Бр.ы Бп.о пг и (254) Первое условие позволяет упросппь соотношения для коэффициентов аэродинамических сил н моментов (2.30) . Дополнительное упрощение свя- зано с переходом от угловых величин а и Р к отношениям уу/'1/х и у',/у' соответственно. Если (уу/Г„) „и (р~/ р)вв — опорные (средние для рассматриваемого диапазона изменения) значения, а Ь(уу/' 1'„) и Ь(у",/Р) — приращения этих отношений, то, применяя известные правила линеаризации (1.38, 2.11, можно записать вместо (2.3О): сх =с„о+с„у "Ь($~ /'1'х)+с„р вЬБ + ..., ру/1 х ар.в с =с~~+с„ /1(Р' /р'„)+с„' ЬБ~, +..., у*/~ ~"х (2.51) глх = тх * Ь(р' /Г) + т„х Ьй„+..., ту = л,"/"Ьу,(т')+ ~,"/1а„+..., гл, =т, "' "Л(Р",/р" )+т, ~~Ъс,р, +...

Введенные здесь производные коэффициентов по соотношениям 1' /1~х и 1',/'Г могут быть связаны с производными этих же коэффициентов по углам а и 11. Для этого достаточно воспользоваться правилом дифферен- цирования сложных функций. Так, с,у/ х=-са = с. н р йп 1 " Б(Ру/и„) ' 1+(Ру/Р„)' * если производная с,, не имеет размерности (угол а выражен в радиаль- ной мере), н 1 +(Р' /'Р'х) если производная сс ~имеет размерность град '. Аналогично можно полу- чить аа, 57,3 с,'/ =сье ' = с// (2.53) ' вг,р~ ',/Г- [Р;7~* ру/~ х "х/х Гх/р и соотношения для остальных производных с„у ", глх'', ту х ру/~ х и, . Напомним, что все этн производные коэффициенты должны опре- деляться для опорных значений соотношений р' / $~х, у',/К Используя (2.51), а также сокращая число уравнений на основании остальных сформированных условий, вместо (2.48) и (2.49) можно за- писать: р т эшР 45 (Г /л т 1'„ цЯ (Г, х ~х — К„.

дж ( и, сд = — и„сд, — — сд,+ — лс ~ — сд,ш б,б Ь .,б у= х х г * у( ~ х У1 э» рхо р.в п.оу У у у Й = ~ ш сд + сд + лсх~ сдх»бр.в.эбз ~х.о Еух = Сдусух — Сдхзуу. Еуу = Сдх Еух — Сдх Еух' Еу Сд~зуу Музу . Уравнения (2.54) позволяют моделировать пространственные маневры ЛА без ограничений при выполнении перечисленных выше условий. Изменим теперь требовании, предъявляемые к модели ЛА. В ряде задач необходимо получить процессы изменения во времени углов атаки и скольжения.

Эти процессы можно восстановить в модели (2.54) по отношениям Ру/Р'„н Р;/К Однако возможно и непосредственное вычисцение зтнх углов. Будем полагать также, что от математической модели требуется воспроизведение пространственного движения жесткого самолета при следующих условиях: в — изменения скорости и высоты полета на рассматриваемом временном интервале незначительны; — по содержанию решаемой задачи интерес представляет только ориентация самолета относительно местной вертикали; — ветер отсутствует. Углы атаки и скольжения определяют относэстельное положение осей связанной н скоростной СК. Изменение этих углов во времени вызвано пространственным вращением как связанной, так и скоростной СК.