Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987), страница 14

К таким задачам относятся прицеливание, посадка, выход в заданный район в заданное время и т.д. Соответствуннцие требования отражаются в 1',аа(х, г„) . К нетерминальным относят задачи. для которых не назначается заранее момент окончания процесса управления. Это задачи типа стабилизации заданного состояния. В этом случае поступают следующим образом [15[: — задают Г„я(г„) в виде вынужденного решения уравнения (ЗЛ8) и ищут установившееся решение; — назначают скользящий интервал оптимизации некоторой постоянной длительности Т, т.е. вместо (ЗЛ) используют функционал вида (32). 2.По особенностям представления объекта управления задачи делятся иа управление положением рулевых органов обьекта, когда уравнения объекта имеют вид (38), и на управление скоростью перемещения руле- 63 вых органов, когда обьект представляется в виде х=Е(х,а, Б, с), Б =и, (3.20) где Б — ю-мернъй вектор положения рулевых органов объекта, принадлежащий Ь~, а остальные обозначения соответствуют (1,1).

Формально уравнения (3.20) могут быть приведены к форме (3.8) переходом к расширенному вектору состояния. Применительно к (3.20) соотношение (3.15) принимает вид ар" «опт А ° (3.21) ББ Исследования показали, что в прикладных задачах подход, основанный на представлении обьекта в форме (3.20), дает лучшие результаты. 3. По способу реализации процесса оптимизации управления различают предварительное решение оптимизационной задачи (38), (3.!2), (3.18), когда при проектировании системы управления на этап функционирования этой системы возлагается, как отмечалось в э 1.3, только реализация закона (3.15), а точнее, его аппроксимации в пространстве состояний объек. та (3,8), и совмещенный синтезуправления. Впоследнемслучаевсяоптимизациониая задача решается непосредственно в процессе функционирования системы управления, 4.По основам алгоритмического обеспечения варианты делятся на; — алгоритмы с матричным уравнением Ляпунова (область применения этих алгоритмов ограничена линейными обьектами н квадратичными функционалами) 11.51; — алгоритмы с фундаментальными матрицами (область применения этих алгоритмов ограничена линейными объектами и квадратичными функпионалами или случаем степенных разложений соответствующих функций в (3.8) и (332)) !1.51; — операционные алгоритмы (область применения ограничена задачами с небольшой длительностью интервалов оптимизации г„— г) 11.43, 3.121; — алгоритмы с прогнозирующими моделями (можно полагать, чсо зто наиболее универсальный вариант алгоритмического обеспечения), В данной работе обобщаются основные результаты исследований метода синтеза управлений с прогноэирующей моделью и рассматриваются вопросы построения на его основе адаптивной системы управления полетом.

В дальнейшем в качестве названия такой системы автор использует термин адаптивная прогнозирующая система (АПС), предложенный Г.И. Авруцким. В заключение параграфа рассмотрим метод аналитического конструирования в формулировке А.А. Красовского применительно к стохастическим объектам !3.13) . Пусть объект подвержен действию случайных возмущений типа белого шума, т.е. вместо (3.8) имеет место уравнение х =Дх, а, !) + р(х, а, г) и + $„, (3.22) где $„. — белый шум с нулевым средним и известной матрицей интенсивности Б„. Минимизируемый функционал (3 12) заменим математическим ожиданием гк 1 гк ~ом[ККР) =М 1~вал(гк)+ г 0с1г+ 3'(и~ 'и+нолти 'иопт)г11 2 г, (з.гз) В этом случае оптимальное управление определяется формулой (3.15), где функция Г(х, Г) представляет собой решение уравнения в частных производных второго порядка ду' др 1 оэà — + — Х+ — гг, 5х= а (3.24) аг ах 2 ахах' " с граничным условием (3.19), где дт Р7дхбх — матрица вторых частных производных функции 1'(х, г) .

Доказательство оптимальности (3,15), (3.24) можно провести следую- щим образом, Запишем полную производную по времени функции К(х, г), которая по правилу дифференцирования Иго определится соотношени- ем [3.14] ар ар, 1 а1 Г= — + — х + — гг —,5„. Эг ах 2 а .ах' "' С учетом (3,22) ее можно записать в виде а1 аР ' Эт Эт 1 а1 Г= — + — у+ — ри+ — $ + — гг — Я дг Эх бх дх 2 Эхдх' Воспользуемся (33 5) и запишем аР ЗР,, ЭГ 1 аэ1 К= — т — ~- и'„~К ~и + — $х + — тг —, Я„.

дг дх олт дх 2 дхйх' Если функция Г(х, г) удовлетворяет уравнению (324), то ак ~"=-0 — иопх~ 'и+ — $х. Проинтегрируемэто соотношение по г от го до гк иполучим гк гк гкбу' И(» )-р'(го)=- Ха1г- Х .'„,К-' г+ Х вЂ” ~„тг. го г, гв оХ понимая последний интеграл как интеграл Иго [3.14) . Теперь воспользуемся полученным соотношением и граничным условием (3.19) для записи минимизируемого функционала (3.23) в виде гк ка) 1=М 1'(Го)+ — Х(и — и .)'й '(и-и ) Й+ Х вЂ” ахи гю го Для интегралов Иго можно изменять последователыюсть операций интегрирования и определения математического ожидания.

Если при этом полагать, что д Р7ох н ах независимы, то последнее слагаемое обращается в нулю 5.н.н. Буков В результате получим тк Х=М Цте)+,)'(и — и лт)'К '(и — и ет)т!Г (3.25) 2 т, Так как математическое ожидание функции Цте) не зависит от выбора управления, то в силу положительной определенности К ' функционал (3.25) достигает минимума при и = и „„что и требовалось доказать.

Необходимость решения уравнения второго порядка (3.24) в значительной степени усложняет задачу аналитического конструирования в стохастической постановке. В некоторых частных случаях удается упростить зто уравнение. В [15) А.А. Красовским формулируется специальная модель случайных возмущений $„., которая представляется последовательностью достаточно редких импульсов. В этом случае в (3.24) можно положить 5„= О, что позволяет, по существу, вернуться к детерминированной постановке.

Основные результаты, излагаемые ниже, относятся к детерминированным обьектам з 3.3. Алгоритмы с прогнозированием при управлении положением рулевых органов Применять прогнозирующую модель дпя решения задачи аналитического конструирования в формулировке А.А.Красовского (3.8), (3.12), (3.15), (3,18), (3.19) впервые предложил В.С. Шендрпк [3.15), Хотя аналогичный эвристический подход к построению систем автоматического управления бып известен раньше [3.16), развитие изпагаеьипх ниже алгоритмов оптимального управления с прогноэирующими моделями началось с [3.15). Этому направлению олтимизашш управления посвящены, например, работы [1.34, 3.17 — 321), а различные приложения алгоритмов с прогнозирующими моделями рассматриваются в [! 10).

В [322) предлагается способ использования оптимального по критерию обобщенной работы алгоритма с прогнозирующей моделью дпя минимизации функционала типа функционала Летова — Калмана. Независимо от этих результатов идея прогнозирования движения управляемого объекта нашла отражение и при решении иначе сформулированных задач [1.10, 1.42, 3.23, 3.24) . Однако в силу отмеченной выше относительной простоты уравнения (3.18) алгоритмы с прогнозирующей моделью, минимизирующие критерий обобщенной работы (3.12), характеризуются существенно меньшей трудоемкоспю вычислений, особенно дпя многомерных нелинейных объектов типа (3.8) . В целом использование прогнозирующей модели в задаче (3.8), (3.12), (3.! 5), (3.18), (3.19) позволяет: — сохранить универсальность комплекса алгоритмов системы,обеспечиваемую непосредственным решением задачи оптимизации управления в процессе функционирования системы (совмещенный 'синтез оптимального управления); — достичь значительной простоты в организации адаптивности синтезируемого управления путем соответствующих настроек прогнозируюшей модели по результатам идентификации динамических характеристик управляемого объекта; — избежать локальности во времени синтезируемого оптималъного управления, свойственной операционным алгоритмам [1.43]; — углубить исследования свойств движения объекта, управляемого на основе минимизации критерия обобщенной работы.

В основе рассматриваемых здесь алгоритмов с прогнозирующей моделью лежит применение для решения уравнения (ЗЛ8) с граничным условием (3.19) метода характеристик, называемого также методом Коши нли (применительно к уравнениям вида (3.16)) первым методом Якоби. Так, известно [1ЛО, 3.25], что искомая интегральная поверхность уравнения в частных пронзводнъпс (3.16) может быть образована из характеристик, т.е. из интегральных кривых, удовлетворяющих уравнениям дК', д3С' х=— (3.26) др дх где р = (д В'/дх) — вектор частных производных искомой функции К(х, г) по компонентам векторах(г) в Х". Прн атом полная производная функции Цх, г) на характеристиках определяется [3.25] следующим образом: дУ р" = — р — к.

(3.27) др Граничные условия для (3.26) и (3.27) формируются нз началъных условий для (3.8) и граничных условий (3.19). Формальное применение к уравнению (3.18) выражений (326) и (3.27), где дК 3~= — 1+0=РУ+О, (3.28) дх дает х=Дх,а, г), дД' Р= — Р— дх дх (3.29) (3.30) 5' р'= — д(х, г). (3.31) Полагая известнъпии текущее состояние х(г„) и вектор параметров а обьекта управления на интервале [Г„, г„], можно определить все необходимые граничные условия для (3.29) — (3.31). Действительно, при известном х(ги) детерминированное уравнение (3.29) однозначно определяет состояние объекта в момент г„. Подстановка х(т„) и т„в (3.19) лает граничное условие для скалярного уравнения (3.31), а предварительное дифференцирование (ЗЛ9) по компонентам х с последующей подстановкой х(г„) и т„дает граничное условие для (3.

30) . Особенностью уравнений (3.29) — (3.31) является то, что они связаны со "свободным*' движением (3.8), т.е. движением объекта, описываемым уравнением (3.8) при и = О. Название рассматриваемых алгоритмов об. условлено необходимостью "прогнозировать*' движение объекта управле- ния иа интервале 1тч, т„) с помощью (3.29). Условность такого прогноза вполНе очевидна, так как на всем интеРвале 1ти, Гк1 вопРеки РеальномУ пвижеиию полагается ц = О. В настоящее время известны и исследуются четыре ') редакции алгоритмов с прогнозированием, которые здесь рассматриваются применительно к (3.8).