Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом (1987), страница 10

(2.72) Одно иэ далыюйших упрощений связано с предположением малости углов крена. Модель (2.70), (2.71) описывает боковое движение жесткого ЛА при ограничении 7 < я~2 весьма условно, так как в уравнение для 'Р пищат коэффициенты аэродинамических снл продольного движения. Однако более глубокой проработкой модели этот дефект ьюжно устранить, если ввести условие, что управляемые продольные н нормальные силы ЛА ис. пользуются для обеспечения Ю „= сонат, д „= сонат н, следовательно, являются функциями компонент вектора состояния бокового движения. Можно поступать и иначе: пренебрегать влиянием соответствующих слагаемых в уравнении для угла пути, по может быть вполне оправдано при достаточно малых значениях Ф вЂ” Ф и 7 5 2.4. Линейные модели двнжеааи самолета Значительным упрощением математической модели ЛА является ее линеаризация, Методика ллнеаризацни уравнений движезюя широко известна и включает: — выбор опорного движения ЛА; — разложение уравнений возмущенного движения ЛА и других соотношений в окреспюсти этого опорного движения в ряды Тейлора; — удержание в рядах Тейлора только линейных членов (на основании предположения о малости отклонений возмущенного движения от опор.

ного); — вычитание нз уравнений н соотношений возмущенного движения соответствуаллих уравнений н соотношений опорного движения. В результате применения этой методики все рассмотренные выше модели движения ЛА могут быть приведены к моделям в малых прираще- 45 нияз относнтельиэ произволыюго опорного движения ЛА. В форме Коши этя модели имеют вид дх = А йх +ВАЬ + АЬ, (2.73) где Дх — вектор приращений вектора состояний в исходной модели; АЬ— вектор приращений вектора управлений в исходной модели; А и  — аютветственно квадратная и прямоугольная матрицы коэффициентов, завися.

щих от параметров опорного движения; Ь| — суммарный вектор приращений возмущений. Рассмотрим процесс линеаризаани в общем виде. Пусть движение ЛА описывается дифференциальным уравнением хпЕ(х,а, Ь, г)„ (2.74) где х — л-мерньй вектор состояния; а — г-мериый вектор параметров, определяемых свойствами среды; Ь вЂ” т-мерный вектор положения рулевых органов; г — текущее время. Введем в рассмотрение произволыю изменяющиеся во времени вектор состояния ЛА х и (г) и вектор положения рулевых органов Ь и (г) (для этих век'горов удовлетворение уравнения (2.74) необязательно).

Разложим теперь уравнение (2.74) в окрестности х п и 6 и в ряды Тейлора, полагая, по зтл векторы соответствуют опорному движению. В результате получим аР аР хоп+Ахпб(лоп ~ Ьоп Г)+ Ах+ — ЬЬ+О', (275) оп оп где Ах =х-х „, АЬ = 6-6 „— приращения вектора состоянняи вектора положения рулевых органов по отношению к векторам хоп и Ьоп соответственно; д)г~дх и и ЭГ/ЭЬо„— матрицы частных производных векторной функции Р' по компонентам векторов х и Ь, вычисленные при значениях х =хоп и 6 - "Ь „; Π— малые величины более высокого порядка.

Из (2.75) следует облйщ цид уравныщя для приращений аР аР Ах — Ах+ — АЬ+Š— х +Оэ. ах дЬ оп оп оп оп (2.б7) При достаточно малых отклонениях х и Ь от опорных значений хоп и Ь „ малыми величинами более высокого порядка в (2.7б) мржно пренебречь.

Конкретньй внд линеаризованной ьюдели зависит от выбора опорного движения х п (г), 6 и (г) ЛА. Больпюй интерес представляют два частныл случая: а) в качестве опорного движения выбирается некоторое "невозмущенное" движенне ЛА, когда х и (г) и 6 и (г) удовлетворяютисходномууравнению (2.74), при этом лннеаризованная модель имеет вид дР' дЕ Ах = — Ах+ — АЬ; (2.77) дхо„ 66 „ б) в качестве опорного движения выбираются неизменные во времени состояние ЛА и положение рулевых органов, т.е. х „= 0 и Ь„„= О, при этом лннеарязованная модель имеет внд ар ар.

Ьха — Ьх+ — Ьа+г'(К п,а, Б п,г). (2ла) ах.п за.п В данном параграфе речь идет только о моделях тяпа (2.77), а моделя типа (2.78) будут нслользовап ся в последуалцнх главах. рассмотрнм некоторые лннейные модели двнженнл самолета, полученные лннеарнзацней относителнв невозмущенного движения ЛА првведеннмх в $2.3 моделей. В резулмате лннеарнэацнн (2,60), пренебрегая прнращеннямл снл, вызванными отклоневнямн рулевых органов, получим аа аа а а '6 '66 аа аа тх тх аа ат а а аа ат Р 6 о о Ьи„ а ар ту ту аР тх тх 0 О О О 0 67 6 а а 7 7 о о о о о о о о о о а' аР." 0 6 6 ав арп 0 6 6 ту и!7 О О 6 Рп р.в (2лй) О О О о о о коэффициенты для этой моделя олределяаггся соотношеннямн аа а~ оп ппаоп тйРоп + а~гоп созови тай~а + (сото а 6 Ра ащ'"оп сов топ соз ооп) ссай~~ — пл(п „+ Ф) собст + + СО6(цоп + Р) СОад — ~ С СОаб оп оп ~ 1 уо оп 1' 1 1 а а <.э .

$д ЮРу аа '6 а (Ф тх тх а а "'х "у ту ту а а о)у тх тх а у 7 42 тх а Ф 16 ту а т тх бах а а т, 7' 8' (з(паоп Я" дол + созаоп совТоп сов доп) Яопдоп + Р дЯ;~ ' оЯ + — яп(» „+у)япд „вЂ” — с созд „+ — с, япд „, и '" " Г " '" и и" п(-созаопЗ~доп), и - пяпаопзадоп, Х (я~аоп совдоп соваоп соз у и звп доп) сов доп» д с"з поп Яп2оп спздоп сов Роп~ Г 4 Ю (сохопсова и) — и, „з!па „вЂ” — (япаопйпд пыпд + по Ф Рй + соз ао„зщ д „сову -„сов д „) — — сов(а и + р) яп д „+ оп + — яп(а „+ у) яп д „+ — сп, пр = (0»заоп~~~вд п в~одоп -''паоп сов4оп сов1оп а 'доп— р Х В з оп оп Роп ( дЮ вЂ” япд „яп~ „совд и)- сов(а „+~)созд „+ вр «япаоп) ' 5 = ((' -""д-~'д '""а-' Р-а"'"-'®" ° а,У = (сова и) (2.80) -сов д и яп у „япд,п), ~и ( ди у х' тх ~ у х)' х х уя ~ (.

-(* Чд) х п 1' у х ~ тх ~ у хоп у х х х х У У ап тх и юх тх а Фдх тх ту ' сдз, ту п~в = — (япа пяп9 „япу псовд „+ (совд „сов7 псозд „)), ,„и У э' . - Ху а,"„у = — ахов + — а"* = — т"э э э э 7 и ы 'е = оуопееа7оп — ~эоппл7оп ' и-4йбопСОатопэ оэ 1 а *нтйд~„йп7~„, а = — (оэу псоэ7,п — оэ, пэ1п7,п), соээд „ Здесь в фигурнью скобки заключены слагаемые, оказывающие наиболыцее влияние на характер динамических процессов в модели в условиях полета, близких к горизонтальному прямолинейному полету (о „= О, д „= О, у „~ О, б „~ 0) .

Как показьвают результаты моделирования, при анализе только "быстрых" движений самолета в уравнениях (2.79) для Ьо и Щ можно пренебречь составляющими, обусловленньцни силой тяжести ЛА и тягой двигателя. Это позволяет сократить общее число уравнений ьюделн, исключив уравнения для йд и Ау (последние даа уравнения). Таким образом, для моделирования взаимосвязанного движения самолета по таигажу н рысканию в ряде задач может использоваться упрощенная линейная модель о Р па аа о Р аа о Р а,нх а,нх Р 0 а,„„ о~х аа ых аа 4 >х ауих 0 1 Ьп ЬД ~у 0 мэ э а~х ад,х Г4 доэх ыу оээ а,„а,„„ э~у а„„а,„э '"'х ату 4 $х а,„ Ь оэу 0 0 0 Дбэ 0 0 аэ арн а а,„„ Ьэ арн а,„э а„,,' О Абр.н (2.81) 0 ~о р.э ар.н а,„.' 0 0 4.8.Н. Буков На рис.

2.7 приводятся переходные функции пространственного движения самолета, полученные с использованием моделей (2.60) и (2.79). При этом последняя иэ них была дополнена слагаемыми, отр жаюшими инерционное взаимодействие (см. п. 2 в 5 2,3). Анализ этих функций покаэьвает, по при отклонении элеронов нли руля направления на 1О (такие отклонения можно полагать "болыцими") движения моделей в течение первой секунды мало различаются. В дальнейшем возникают существенные различия (см. д на рис. 2.7, а).

а,б, йсеб — б -б Р ««б «Р «б ас Е,с Р йе «а «с гс 'с Ме ма э аф,ах с ~ -Р -4 Р Рб «Р «Р 2,бг,с Р $б «Р «б Р,Р Ф,с о б рис. З.7. Сравнение переходных функций нелинейной (силошные линии) и линейной с добавлением инерционных свхаей (штриховыа линии) моделей самопета: с — реакции на опслонение эперонов аа -10'; б- раакциина отклонение руин направлении ар.н Проведем пинеарнзацию уравнений изолированного продольного движения самолета (2-,66) с учетом (2,67) и (230).

Применение описанной выше методики при дополнительном предположении Ф = О дает [1.2, 1.5, 1.38, 2.1] а О а — и У а стх О юа — ц соа('оа' ю боп О О 1 О Ьх д,Й Ьд К -Ф х à — И У Рта а -с +а„ х а — л,+и, а лта — Ра шбоп 1 асоабоп О О -л„ О О вЂ” ао У О вЂ”,„ уг О О О О О О О О О Ьх (аН Ьд ру 4 х а р'" У а,' 0 аэ а„ ьз а, аэ а«««а о а р.в » ьр.в-. У а р.в ап«а о «58р.в (2.82) О О о Выражения для коэффициентов (2.82) могут быть получены дифференцированием правых частей уравнений (2.66) и здесь не приводятся.

Отрицательные знаки перед коэффициентами в (2.82) расставлены таким образом, чтобы сами коэффициенты в случае статической устойчивости самолета с компоновкой, показанной на рис. 2 1, являлись положительными. Уравнение (2.82) часто упрощается отбрасыванием "свободньпС' компонент вектора состояния, не образуаяцнх внутренних обратных связей в модели, и пренебрежением наиболее слабыми свяэяьа«.