Батенко А.П. Системы терминального управления (1984), страница 2

Относительно выбора вида функций [г' н гв обычно не дается никаких строгих реко-: мендаций. Если в (1.1) положить г = О, то система оптимизируется по функ-~ ционалу 7 (Е) = зв [~) (Т), ть (Т), 7'[. (1. 2) Отметим здесь, что при использовании функционала (1.2) задача вырождается в чисто краевую, так как единственной целью управле-, ния становится соблюдение конечных условий.

В этом случае никаких дополнительных требований к фазовой траектории не предъявляется. В 1968 г. Н. Н. Красовский [5[ отметил большие трудности решения краевых задач в вариационной постановке. Однако к настоящему времени появилось достаточно много работ, где отмеченные в [Я трудности преодолены. Для решения терминальных задач применительно к самолету ~ Л.

Л. Красовский [6[ предлагает способ минимизации следующего функционала, который обеспечивает не только перевод объекта в за-' б л,шш г ьткзпишн, по и хоро!пее качество этого перевода: а '* Р,[х,((,),..., х„(1,), г,)+ — ','~ 1" 1' — "*' '1 [1+ ю ![' Ф + ' ~ ~(й,.—,")'и. '-'), ;!ш~ ь р, д положительные числа, удовлетворяющие соотноше- нию 1/р 1 !/д 1, и такие, что гр, гт — четные функции г; /г; — за- дпппьп шгп<чьпкппые числа; $' == $' (Х„..., Х„, г) — решение уравдр у дГ и ппи, .

— Р; = 0 при граничном условии ['г'(Х„-... Ш, ~ дХ~ 01~ и Рз [хм ((з) ", ха (1г), та) Кпк показывает моделирование, полученные законы управления га ьчн чипа!от вывод самолета на взлетно-посадочную полосу (ВПП) бгз пгргрегулирования. И 17- 121 изучаются вопросы терминального управления линей- ным объектом при ограничениях управляющей функции [и (1)) ( 1 плп и, (!) ( и (г) ( и, (1).

Минимизируется следующий функционал: Й'(и) =~х~*(Т), 1 обгьчк швающий перевод объекта на минимальное расстояние от иачплп координат. Оптимальные управления имеют вид переключательпын функций, принимающих крайние значения, заданные ограничениями, И несколько отличной постановке рассматривается задача в [131. 11!и дполагается, что критерий оптимизации зависит не от всех фазовых кп рлпш!т.

Исходная задача преобразуется к новой, в которой число фи юных координат равно числу координат, входящих в критерий исходной задачи. После этого она решается известным методом. И 1141 оптимизируется функционал гл ~ ( и - 1 [ х ! „и !' ~- 1 ° ю !) а. ~ ж х„(!) — конечные значения фазовых координат. Для решения заычп привлекаются три мощные математические теории: преобразовании Фурье, целых функций и интерполирования.

Ллгоритм пахождеппи управлений отличается достаточной сложностью. И 1151 рассматривается задача управления приземлением самоле~з. ! 1дся состоит в том, что задается программа движения и самолет юн ржпвается на ней дискретными управляющими воздействиями. 11рп этом минимизнруется квадратичный функционал У = (х')', характеризующий отклонение от программы. Работа П61 посвящена синтезу оптимального управления для лип пппги объекта х (1) = Л (~) х (~) + В (1) и (1).

Критерием качества 7 служит фчпкппопзл ~ и-(/) г0, й (1.3) пук>щпй энергетические затраты на управление. ~,' качестве примера решена задача вывода ракеты в течение времени Т в заданную точку с координатой хтг и конечной скоростью хтх. Управляющая функция имеет вид 6хг (г) 4хг (г), бхай, 2хтг (1.4) (Т вЂ” г)' (Т вЂ” г) ' (Т вЂ” г)г (Т вЂ” г) Здесь и — заданное ускорение объекта; Т вЂ” требуемое время выполнения задачи; х, (г), х, (г) — текущие 'значения координаты и скорости объекта; хть хгг — конечные значения координаты и скорости.

Полученный закон управления является замкнутым и переводит объект в течение времени Т из произвольной начальной точки фазовой плоскости в произвольную конечную. Однако этот закон обладает особенностью в конечной точке: при г = Т знаменатель в (1.4) обращается в нуль. Эта особенность закона затрудняет его практическое использование. В (17) исследуется поведение линейного объекта х = А (г) х + Ви (1.5) вблизи конечной точки. Производится синтез оптимального терминального управления, переводящего объект в течение заданного времени Т из произвольной точки фазового пространства в )гачало координат. Критерием оптимальности служит функционал т у(п) = ~ (х'(() ЯИ) х(()+й(О гг'Я)г((. го Здесь штрик означает транспоннрование; О (г) — положительно определенная матрица размерности и м и, имеющая 2п — 1 непрерывных производных; Я (г) — положительная скалярная функция с 2п — 1 непрерывными на отрезке !го, Т) производными. Найденное оптимальное управление имеет вид и (г) = — (г (г) х (г), (1.7) (1 .6) где а(() = л,((У~(Т ().

~,((У(Т вЂ” ().— г,..., д„(()1(Т ()1; дг (г), г = 1. 2, ..., п, — непрерывные на отрезке (го, Т) функции. Показано, что при г' — Т„т. е. вблизи конечной точки, объект (1.5), оптимальный в смысле критерия (1.6), ведет себя идентично цепочке интеграторов и его поведение не зависит ото (г), Я (г) и элементов аг (г) матрицы А (г). Задача (1.5), (1.6) преобразуется к новой, более простой: т хео =и, х((,) =хо х(Т) =О, У(и) = ( их(г) г(1. '1,>и» о и (1.;>) и (1.6) необходимо положить !',! (1) = О, Й (1) =- О, >, »! . !>, >' 1, 2, ..., и. Этот факт свидетельствует о том, что замкну»,»» рмпнильныс законы типа (1.7) переводят в заданную конечную > ч>, > ли»ье линейный объект независимо от его динамических свойств.

!миничи >пы вектора (> (1) в законе управления (1.7) для цепочки ив» > р»»>рви имеют вид я> !>! и (2а — !)! !! Вл '+' (и — '-!- В!6 — В>(т — >1" '+' ! !» !.К) следует, что управляющая функция зависит только от порядки »б>скта и. !! 1!к, 19! рассматривается оптимальное терминальное управление зии йиым дискретным объектом при случайных возмущениях. .

1,>л,>чи решается методом динамического программирования. Показаш>, чго ирн >>> ) 2 (>>> — число переключений управляющей функции) > кг пг существует аналитического решения и для поиска неизвестных ь» и!и!>ицнентов прибегают к градиентному методу и ЭВМ. !! 12()! решается задача со статистическим критерием качества, пр лшапляющнм собой функцию от конечных значений фазовых коорлин.». 11а управление наложено ограничение а, (1) ( и (1) ( аз (1).

»и>имильное управление является релейной функцией, переключаю>ц и и г одного ограничения на другое. !!>двсдем теперь краткие итоги сделанного обзора. Мы ограничилш ь > равпнтельно небольшим количеством работ, ибо многочисленные >и у>ш раб>оты на эту тему но своей постановке и результатам не отан'>зи>тся от приведенных выше. Описанное направление базируется нн»орин оптимизации квадратичных функционалов. Каковы же хар>и»грныс черты этого направления? Прежде всего оно отличается >июыпп нпой трудностью получения решений.

1! постановке же задач отмечаются следующие особенности. У боль- и>ио»иа авторов невязки по фазовым координатам в конечный момент и1ч и нн Т включены в функционал. Зачастую кроме этих невязок ф> шониншл ничего другого не содержит — достаточно обратить внии,>ши на функционалы, используемые в (? — 12, 18 — 20). Следовательно, и»нн случаях достигается единственная цель — перевод объекта в » и чн>к фазовое состояние. Никакие дополнительные требования к фаь и и траектории не предъявляются.

Таким образом, сложные варианн ишл ме>оды применяются здесь лишь как средство решения краев> и >,шичи. !! гя>льшинстве рассмотренных работ управляемый объект переводи» и и начало координат фазового нространства. Так как при этом гьшные конечные значения фазовых координат равны нулю, то в > шчагсльные выражения для управлений они не входят. Нужно осои подчеркнуть, что перевод фазовой точки в начало координат или в ир ш шольную точку фазового пространства — не одно и то же1 ! и чпые значения фазовых координат входят в формулы для управлений со своими весовыми коэффициентами [см.

(1.4)1 и определение »нх коэффициентов является составной частью задачи синтеза. 9' В некоторых работах требуется в течение заданного времени Т = Т„„т лсрс«ости фазолую точку па возможно близкое расстояние к началу к<н<рллнат. Так как и этом случае конечное фазовое состояли«' <г<« '<< <<< нс« <и<с<и<ь 'го опо также не входит в окончательные форл< узы.