Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965), страница 4

Поэтому, во гзбежание недоразумений, мы здесь и употребляем для элементарной работы обозначение 6Т, а не дТ. Но если поле потенциально, то 6Т (13) Сопоставляя эти соотношения с формулами (8), убеждаемся в том, что функция (12) является, потенциалом поля (7). 3. Элеиентарной работой силового поля на элементе пути йе называется скалярное произведение 6Т=ТТ йе, э >1 ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА ТЯГОТЕНИЯ гз совпадает с Лl: дУ д(l дУ йи= — х+ — йу+ — й .

дх ду дг Итак, в этом случае бТ=асг, ЯУ= Р йг. (14) Если под действием поля единичная масса пе1 еместилась из положения Я в положение Р, описав некоторук> дугу ОР, то выполненная полем работа Т определяется криволинейным интегралом т = 1 Р йг.

ОР В случае потенциального поля Т= ~ й(7= и(Р) — и(Е, ОР то есть Т зависит не от пути, по которому перемещается единичная масса из точки 1~ в точку Р, а только от положения этих точек. В частности, в случае центрального ньютоновского поля Т = 7', — 7" .

При АЯ вЂ” ОО и М М )АР~ ~АЯ~ АР = г найдем, что Т = 7' —: — У (г). (15) Таким образом, потенциал У (г) ньютоновского поля имеет простой физический смысл: это — работа, которую выполняет поле при переносе единичной массы из беско- нечности в данную точку Р, отстоящую от А на расстоя- нии г. Можно сказать и так: силовая функция б' (г) — это работа, которую следует затрап:ить, чтобы преодолеть притяжение массы М и удалить единичную массу на беско- нечно большое расстояние от массы М.

Величину — с>' (х, у, г) называют потенциальной энер- гией поля в точке (х, у, г). В случае ньютоновского поля (7) потенциальная энергия точки, имеющей единичную массу, равна — гМlг, ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА В механике часто выгодно сначала найти потенциал силового поля, а затем уже силу, действуюшую в каждой точке поля.

При таком способе вычисления приходится иметь дело лишь с одной скалярной функцией, а к векторным величинам переходить лишь на конечном этапе рассуждений й. Задачи 1. Какое тело притягивает Луну сильнее — Земля или Солнце? 1 Масса Земли меньше массы Солнца в -- 10а раз и больше массы Луны в 81 раз.

Расстояние Луны от Земли около 380 000 км, расстояние Луны от Солнца около 150 10' кн. 2. Две активно гравнтирующие массы Мь и М, расположены в двух точках Аз и Аз. Найдите потенциал гравитационного поля, созданного этими массами. Зная расстояния гг и гз от пассивно гравитирующей точечной массы т до точек Аз и Аз, получите формулы для силы, действующей на массу ль Е 2. ПОТЕНЦИАЛ ШАРА СО СФЕРИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОТНОСТИ Пусть имеется тело )г (рнс.

!.2) с массой М и материальная точка (Р, т). Тело !г притягивает точку (Р, т) с некоторой силой )и. Сила дю определяется как равнодействующая сил, с которыми все частицы тела Г притягивают точку(Р, т). Опишем кратко способ нахождения потенциала ой поля тяготения к телу )г. для этого нам придется ввести понятие плотности. Выделим в АУ теле )г некоторую часть собьи емом Ь)г. Средней плотностью называется отношение массы Рис.

1СЕ ЬМ этой части к Л)г. Предел б (9) этого отношения, когда часть М' стягивается к точке ф, называется плотностью о точке б ((!) =!Цп —. АМ оу-а А)г ПОТЕНЦИАЛ ШАРА 25 При малом ЛР' мы имеем приближенное равенство где 6 — плотность в точке 9 объема Ь)А. Обозначая через г' расстояние от точки Р до точки Я, найдем «элементарный» потенциал поля, создаваемого частью ЛР';тела. д(? рбй~ Отсюда интегрированием находим выражение для потен- циала поля тела Р' (2) Величину силы Р можно выразить через потенциал по формуле (11) предыдущего параграфа.

Во многих случаях, как упоминалось во введении, в теории притяжения материальные тела заменяют материальными точками. При этом естественно считать массу тела сосредоточенной в его центре тяжести. Мысленно сосредоточим всю массу Л1 тела ~' в его центре тяжести О и подсчитаем силу', с которой эта (сосредоточенная) масса притягивала бы точку (Р, т). Получим некоторую новую силу Р,. Справедливо ли равенство Р, =: Р? Иначе говоря„изменится ли сила, с которой тело 1' притягивает материальную точку (Р, т), если всю массу тела сосредоточить в его центре тяжести? Оказывается, что, вообще говоря, изменится. Более того, может оказаться, что сила Р даже и не направлена к центру тяжести тела. Однако есть такие очень важные для практики случаи, когда силы Р, и Р совпадают.

Далее мы покажем, что это имеет место, в частности, если тело является шаром с так называемым сферическим распределением плотности, а точка (Р, т) находится вие этого шара. Если во всех точках, равноудаленных от центра шара, плотности равны, то говорят, что шар имеет сферическое распределение плотности. Простейшим примером такого шара будет однородный шар. В этом случае во всех точках шара плотность одна и та же. В общем случае можно себе 26 ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ггл.

~ т = )' г' + р' — 2гр 51П ~р, (3) Г = СОП51, р = СОП51, г+р, то сз2 С05 СР— ~/2 1 = — — ((г + р) — ~ г — р ~<1. гр С (4) Рис. ЕЗ. Геометрически г можно истолковать как расстояние от точки 'А (р соз ср, р 5(п ~р), лежащей на окружности х'+ г2=- р', до точки Р, лежащей на луче Ог (рис. 1.3). Интеграл вычисляется в предположении, что точка А пробегает дугуСА0 (правую полуокружность на рис.!.3). Доказательство.

Так как Г2 — г' + р' — 2гр впар, то 2тй = — 2гр соз ~р гйр, с05 ф сйр с(т гр ' и Прн ср = —— 2 и 1=- г+р; при ср=-— 2 1= ~г — р( наглядно представить шар со сферическим распределением плотности как составленный из однородных сфер, имеющих Общий центр и наслаивающихся одна на другую. Найдем силу, с которой такой шар притягивает материальную точку Р, имеющую единичную массу и лежащую вне шара.

Для этой цели мы сначала подсчитаем потенциал шара на эту точку Р (то есть значение в точке Р потенциала поля тяготения к шару). Для упрощения выкладок вычислим сначала один вспомогзтельный интеграл. Лемма. Если 27 ПОТЕНЦИАЛ ШАРА Поэтому 2/2 ~ — и сов/р г й 1 сов/р г й ,) /'р /р — и/2 .-~Р В частности, при г) р найдем: и/2 соз /р 2 (5) — /2 Т е о р е м а 1. Если шар имеет сферическое распределение плотности, то его потенциал на внешнюю точку не изменится, если есю массу шара сосредоточить в его центре, Рис.

1.4. Доказательство. Пусть /И вЂ” масса шара, /2 — его радиус, 6 (р) — плотность шара в точке, отстоя. шей от центра на расстоянии р. Положение точки А внутри шара характеризуется сферическими координатами р, /р, Х. Здесь р — расстояние точки А от центра шара; /р — широ- та точки А, А — долгота этой точки.

28 ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА 1гл. т Вырежем из шара элемент объема ЛУ с помощью следующих поверхностей (рис. 1.4): а) двух сфер радиусов р и р + а(р соответственно; б) двух меридиональных плоскостей, образующих с осью Ох углы Л и Л + Г(Л; в) двух плоскостей, определяемых следующими двумя тройками точек: О, А (р, ф, Л), В (р, ф, Л + г(Л); О, С(р,ф+ '~р, Л), Р(р, р+а(ф, Л+а(Л).

Нетрудно подсчитать, что с точностью до бесконечно малых порядка выше первого (относительно др, Г(ф, г(Л) АС = р а(ф, АВ = р соз ф а(Л, АО = а(р. Поэтому элемент аЛУ имеет объем Г(У = р' соз ф акр а(ф Г(Л. Вго масса АУ1 = 6 (р) р' соз фдра(фа(Л. Масса всего шара Я = ~)~6 (р) ра созфа(ра(фа(Л = и ма й = ~ 6 (р) раДр ~ созфг(ф ~ а(Л, о — иф и то есть М = — 4п~ 6 (р) раа(р. о (6) и=афа~р~т ! = 3/Га +. р' — 2гр з!п ф, Пусть теперь в точке Р помещена единичная масса.

Мы можем считать, что точка Р лежит на оси Ог. Потенциал массы а(М на точку Р равен ~ —, где 1=АР; ОР = Г=>К. НМ По формуле (2) находим теперь потенциал поля шара в точке Р: 29 2 21 ПОТЕНЦИАЛ ШАРА и для вычисления У можно воспользоваться доказанной леммой: и/2 // 7~ б ~р) 2а/ ~ соз ф,/ ~,/)„ 0 — 2/2 2 = — 4п ~ б (р) р2//р = 7' — .

(7) Г Г О Но в точности такой же потенциал на точку Р мы получим, если сосредоточим всю массу шара в его центре О. Теорема доказана. Рис. 1.5. С л едст в и е. Сила, с которой шар со сферическим распределением плотности притягивает лежащую вне его материальную точку (Р, т), не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. Опираясь на зто следствие, сделаем важное заключение о силе взаимодействия двух шаров, имеющих сферическое Распределение плотности и расположенных один вне другого. Под силой, с которой одно тело притягивает второе тело, понимают равнодействующую всех сил, с которымн частицы первого тела притягивают частицы второго тела.

зо теория ньютоновского потенциала [гл, ~ Т е о р е м а 2. Если два тела являются внешнерасположенными шарами *) со сферическим распределением плотности, то сила, с которой один из них притягивает к себе другой шар, не изменится, если массы этих шаров сосредоточить в их центрах. До к а з а т ел ь ст в о. Обозначим массы шаров через М, и М„центры шаров через О, и О,. Выделим внутри первого шара (рис. Е5) элемент объема й(/, с массой йМм Если «тело» с(к', достаточно мало, то можно рассматривать его как материальную точку и всю его массу считать сосредоточенной в одной какой-либо точке Р,. Так как второй шар имеет сферическое распределение плотности, то силу, с которой он притягивает элемент йМы можно считать равной М»йМ, ! ор,~' и направленной по прямой от Р, к О,.

В силу третьего закона Ньютона элемент с(М, притягивает второй шар с силой, равной /Ма йМ,/!0»Р,! и направленной от О, к Р,. Но в точности с такой же силой притягивает масса аМ, точечную массу М„сосредоточенную в точке О,. Поэтому равнодействующая всех сил, с которыми все элементы йМ, первого шара притягивают второй шар, равна равнодействующей сил, с которыми элементы первого шара притягивают точечную массу М,, сосредоточенную в точке 0 .

Так как первый шар также обладает сферическим распределением плотности, то согласно следствию из предыдущей теоремы эта равнодействующая равна /М,М»/!0»0.,!» и направлена по прямой 0,0,. А это и требовалось доказать. Рассмотренные в этом параграфе случаи весьма важны для космонавтики. В частности, при изучении движения искусственных спутников Земли в течение небольшого промежутка времени (порядка одного-двух оборотов спутника »! То есть такими шарами, расстояние между центрами которых больше суммы их радиусов.

ПОТЕНЦИАЛ ШАРА вокруг Земли) мы получим удовлетворительную информацию об этом движении, если будем считать Землю шаром со сферическим распределением плотности, а спутник— материальной точкой, Задачи 1. Представим себе гантель (рис. 1.6): два материальных шара А и В равной массы т, соединенных недеформируемым стержнем, масса которого ничтожно мала по сравнению с массой шаров. Гантель притягивает с некоторой силой точечную массу Ат, помещенную в точке Р на продолжении отрезка АВ.