1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 8

Плоскость и прямая в пространстве Плоскость может быть задана: 1) векторным параметрическим уравнением г = ге+ аи+Ьи ((а,Ь! ф о), (1) где а, Ь вЂ” направляюшне векторы плоскости, гв — радиус-вектор фиксированной точки плоскости; 2) нормальным векторнъм уравнением (г — гв,п)=0 (пфо), (2) где и — нормальный вектор плоскости; 3) общим уравнением в декартовой системе координат Ах+ Ву+ Са+ 0 = 0 (А~+ В~+ С~ ф О). Уравнение (2) можно записать в виде (3) 5.64. На плоскости даны три точки А (2, 3), В (1, 4), С( — 1,2) и прямая х — 5у+ 7 = О. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат А, АВ, АС. 5.65. Прямые Зу = х+ 2 и Зх+ 2у — 5 = 0 являются соответственно осями О'х' и О'у' новой системы координат, а точка А(-1, 2) имеет в новой системе координаты (1,1).

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 5х — 4у+ 7 = О. 5.66. В прямоугольной системе координат О, еы е2 прямая задана уравнением ч(Зх+2у — б = О. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке О'( — 2,3), а базисные векторы е~ и ее~ получаются из векторов е1 и ез соответственно поворотом на угол 30' в направлении кратчайшего поворота от е1 к еа. Составить уравнение данной прямой в системе координат О', е', ез~. 5.67. Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями 2х — у+1 = 0 и х+ 2у — 7 = О, являются соответственно осями О'х' и О'у' новой прямоугольной системы координат, а точка А(2,0) имеет в новой системе положительные координаты.

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 4х+ у — 1 = О. у б. Плоскостпь н прямая в пространстве 39 (г,п) =.О, а уравнение (1) — в виде (г — го,а,Ь) =О.

(4) Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения плоскости х = хо+ а<и+ ого, у = ус+До+Ого, 2 = ео+ утп+.~го. Уравнение (4) в координатной форме равносильно уравнению х — ха У вЂ” Уо 2 † а< <т'т ут = О. аг <тг Уг Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно записать в векторной форме (г — ге, гт — го, гг — го) = О и в координатной форме х-хо У-Уо 2 † хт — хо ут — уо хт — ха =О.

х2 — хо У2 Уо 22 го Здесь х„у;, 2<, т = 0,1,2, — декартовы координаты данных точек, а г< — соответствующие радиус-векторы. Всякий вектор а(а,<г, у), компланарный плоскости, заданной в ттбтцей декартовой системе координат уравнением (3), удовлетворяет уравнению Аа+ В<3+ Су = О. Если система координат прямоуголь~вя, то нормальным вектором плоскости (3) является, например, вектор с координатами А, В, С. Если плоскость задана уравнением (3), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительном полупрот транстве»), выполняется неравенство Ах+ Ву+ Се+ В > О, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицательном полупространстве»), — неравенство Ах+ Ву+ Се+ Й < О. Расстояние от точки с радиус-вектором гт до плоскости, заданной уравнением (2), равно /(гт — го,п)//!и(.

Расстояние от точки м(хт,ут,хт) до плоскости, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (3), равно ~ ы, «в„,то*„-атД*'+»*«от Прямая линия в пространстве может быть задана: 1) векторным параметрическим уравнением г=го+а< (афо), (5) где а — направляющий вектор прямой, го — радиус-вектор фиксированной точки прямой; 2) векторными уравнениями (г — го,а) = о (а ~ о) Гл. х. Прямая и плоскость или ]г,а]=Ь (афо, (а,Ь) =0), равносильными уравнению (5).

Если уравнение (5) записать в общей декартовой системе коор- динат, то получим параметрические уравнения прямой линии: х = хо + аг у = уо + Рг т = хо + 7с. Исключением параметра 1 параметрические уравнении приводятся к канонической форме х то у уо х хо а ~3 у Если у = О, то канонические уравнения принимают вид х — хо У вЂ” Уо — — х = то. а ф Аналогично записываются уравнения прямой, если а = 0 или ф = О. Если 6 = ч = О, то канонические уравнения прямой линии имеют вид у = уо, т = го. Аналогично записываются канонические уравнения, если другая пара компонент направляющего вектора нулевая. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, можно задать в векторной форме г = г1 + (гз — г1)$ и в координатной форме х — х1 у — У1 х — х1 хз — х1 уз — У1 хо — х1 Здесь гн го — радиус-векторы данных точек, а (хн ун х1), (хз,уз,хг) — их декартовы координаты.

Если х1 = хз, то уравнения у — у1 х — х1 прямой принимают вид х = хн = —. Если же х1 = хз уз — уз тз — г1 и У1 = уз, то уравнения прямой запишутся в виде х = хы у = ун Аналогично рассматриваются другие случаи совпадения одной или двух координат точек.

Прямую можно задать н как линию пересечения двух непараллельных плоскостей с помощью нх уравнений. Векторные уравнения прямых и плоскостей (6.1 — 6.12) 6.1. Записать уравнение: 1) плоскости г = го + аи+ Ьн в виде (г, п) =.Р; 2) прямой г = го+ а1 в виде (г, а] = Ь; 3) прямой (г,а] =Ь в виде г=го+ай; 4) прямой (г,п;) = Р;, г' = 1,2, в виде ]г, а] = Ь; 5) прямой (г,п;) = Р;, 4=1,2, в виде г = го+а1. 6.2.

Найти необходимое и достаточное условие, при котором плоскости (г, п1) = Р1 н (г,пз) = Рз. З' о. Плоскость и прямая в пространстве 41 , 1) пересекаются по прямой; и 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают. 6.3. Найти необходимое и достаточное условие, прн котофзм прямые г = г1 + а1$ н г = ге+ азФ: 1) пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку); 2) скрещиваются; 3) параллельны, но не совпадают; 4) совпадают, 6.4. Даны прямая г = ге+аФ и плоскость (г,п) = Ю.

При каком необходимом и достаточном условии: 1) они пересекаются (имеют единственную общую точку); 2) они параллельны (не имеют общих точек); 3) прямая лежит в плоскости? 6.5. Найти радиус-вектор точки пересечения: 1) прямой г = го + а4 с плоскостью (г, и) = П (если (а, и) ф 1Е О); 2) прямой [г, а] = Ь с плоскостью (г, и) = В (если (а, и) ф ~ О). 6.6. Точка Ме определяется радиус-вектором го.

Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точку Мо перпендикулярно плоскости (г,п) = Й; 2) плоскости, проходящей через точку Ме перпендикулярно прямой г = г1+а1. 6.7. Составить векторное уравнение плоскости, проходящей через прямую г = ге+ а1 и точку М1 (г1), не лежащую на чтой прямой. 6.8. Даны точка Ме(го) и плоскость (г,п) = В.

Найти радиус-вектор; 1) проекции точки Ме на плоскость; 2) точки Мы симметричной с Мо относительно плоскости. 6.9. Даны точка Ме(ге) и прямая г = г1 + аФ, Найти радиус-вектор: 1) проекции точки Мо на прямую; 2) точки Мм симметричной с Мо относительно прямой. 6.10. Составить уравнения: 1) проекции прямой г = ге+ а1, не перпендикулярной плоскости (г, и) = 11, на зту плоскость; Гл. З. Прямая и плоскость 2) прямой, пересекающей прямую г = г1+ аФ под прямым углом и проходящей через точку Мо(го), не лежащую на данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки Мо(го) на прямую г = г1 + ас); 3) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = г1 + а1$ и г = га + азФ и проходящей через точку Мо(го), не лежащую ни на одной из этих прямых; 4) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = г1+ а1 Ф и г = та + азФ под прямыми углами (общего перпендикуляра к этим прямым). 6.11.

Найти расстояние: 1) от точки Мо(го) до плоскости (г, и) = Р; 2) между двумя параллельными плоскостями г = г1 + аи + + Ьо и г = гг + аи + Ъи; 3) между двумя параллельными плоскостями (г, и) = Р1 и (г,п) = Рз, 4) от точки Мо(го) до прямой г = г1 + аФ; 5) от точки Мо(го) до прямой [г,а] = Ь; 6) между двумя параллельными прямыми г= г1 +аФ и г=гз+аФ; 7) между двумя параллельными прямыми [г,а]=Ь1 и [г,а] = Ьз; 8) междудвумя скрещивающимися прямыми г = г1 + а1Ф и г = го+ азу; 9) между двумя скрещивающимися прямыми [г,а|] = Ь| и [г,аз] = Ьз.

6.12. Даны прямая г = го+ ас и плоскость (г,п) = Р, не параллельные между собой. Точка М лежит на прямой и удалена от плоскости на расстояние р. Найти радиус-вектор точки М. В задачах 6.13 — 6А4 система координат общая декартова 6.13. Точка М лежит в плоскости Ах+ Ву+Сг+ Р = О, вектор ММ1 имеет координаты (А,В, С). Доказать, что точка М1 лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости. 6.14.

1) Зная параметрические уравнения плоскости: х = 1+ и — и, и = 2+ и+ 2и, г = — 1 — и+ 2и, составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 2х — Зу+ г+ 1 = О, составить ее параметрические уравнения. 1 б. Плоскость и арамал в арострапстве 43 6.15. Доказать, что направляющий вектор а прямой, за- данной в виде пересечения двух плоскостей А1х+ В|у+ Сгз+ +В1 = О, Аох+ Взу+ Сзг+.Оз = О, можно находить по прави- лу «векторного произведения» а= В,' С', е1+ С', А,' е2+ А,' В,' ез не только в прямоугольной правой, но и в общей декартовой системе координат.

6.16. 1) Записать уравнения прямой х = 2 + 3$, у = 3 в 4, з = 1 + 1в виде пересечения двух плоскостей н в канонической форме. 2) Записать уравнения прямой х — у+ 2з + 4 = О, — 2х + у+ +с+3 = 0 в параметрической и канонической форме. 6.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1, — 1, 2) и параллельной плоскости: 1) х — Зу+ 2з+ 1 = 0; 2) х = 5; 3) у = 4; 4) з = 3; 5) х=4 — а+и, у=2+и+2е, г= — 1+7и+Зе.

6.18. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- ку А(1,3,1) и параллельной прямой: 1) х+ у — в+ 2 = О, 2х+Зу+ з = 0; х+1 у — 2 «+2 2) — = — = —; 3 4 21 3) х=2,у=З; 4) х=О',.=О', 5) у= — 1,в=2. 6.10. Составить уравнения прямой, проходящей через две Данные точки: 1) А(1,3,— 1) и В(4,2,1); 2) А(3,2,5) и В(4,1,5); 3) А( — 1,1,2) и В(5,1,2).

6.20. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (если эти точки определяют плоскость): 1) А(2,1,3), В(-1,2,5), С(3,0,1); 2) А(1,-1,3), В(2,3,4), С( — 1,1,2); 3) А(3,0,0), В(0,-1,0), С(0,0,4); 4) А(2,1,1), В(2,0,-1), С(2,4,3); 5) А(1,1,2), В(213,3)> С( — 1,— З,О). 6.21. Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Если Гл. 2.

Прямая и плоскостпь плоскости пересекаются, составить канонические уравнения линии пересечения. Плоскости заданы уравнениями: 1) Зх+ у — х+ 1 = 0 и 5х+ Зу+ х+ 2 = 0; 2) х+ у — 2г+ 1 = 0 и 6х — Зх — Зу — 3 = 0; 3) — к+у+э =1 и х — у — э = 2; 4) х= 3+и+и, у=2 — и+и, х=Зи — 2и и х=5 — и, у = 3+и, х = и+ 2и. 6.22. При каких а плоскости х+ ау+ х — 1 = 0 и ах+ 9у+ аз + — э+3=0: 9 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают7 6.23.