1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 4

Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (1, — 3, О) и ( — 1, 2, 1). 2.22. Длины базисных векторов ез, ез, ез равны соответственно 1, 1, 2; углы между ними равны Л(еьез) = 90', е'. (ем ез) = е'. (ез, ез) = 60'. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а( — 1,0,2) и Ь(2, — 1,1). 2.23. Из одной точки огложены три вектора а(0, — 3, 4), Ь(4, 1, — 8) и с.

Вектор с имеет длину 1 и делит пополам угол между а и Ь. Вычислить координаты вектора с. 2.24 (р). Даны два вектора а и Ь, причем а ф о. Выразить через а и Ь ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а. 2.26. Найти сумму ортогональных проекций вектора а на стороны правильного треугольника. 2.26. Дан вектор а(1,1). Найти ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора Ь относительно этой прямой, если вектор Ь имеет координаты: 1) (1, -3); 2) (1, -1); 3) (3, 3); 1, Ф7"( ф. Фь 18 Гл. 1.

Векторм и координать 2.27. Двн вектор а(1, — 1,2). Найти ортогональную проекцию вектора Ъ на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора Ъ относительно этой прямой, если вектор Ь имеет координаты: 1) (2,-2,4); 2) (1,1,2); 3) (4,0,— 2). 2.28.

Даны два вектора а(3,— 1) и Ь( — 1,1). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х, а) = 13, (х,Ь) = -3. 2.29. Даны векторы а(~/3, — 3) и Ь(1, — 1). Найти все векторы х, образующие угол я/3 с вектором а и такие, что (Ь, х) = 1. 2.30. Даны три вектора а(4,1,5), Ь(0,5,2) и с( — 6,2,3). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (х, Ь) = 1, (х,с) = 1. 2.31.

Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить через а и р какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а) =р. 2.32. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (х,а) = р, а также его частного решения, коллинеарного вектору а: 1) на плоскости; 2) в пространстве. 2.33. Объяснить геометрический смысл: 1) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х, Ь) = д на плоскости (векторы а и Ь неколлинеарны); 2) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х,Ь) = д, (х,с) = в, в пространстве (векторы а, Ъ, с некомпланарпы).

2.34 (р). Даны два вектора а(1,— 1,1) и Ь(5,1,1). Вычислить координаты вектора с, который имеет длину 1 и ортогонален векторам а и Ъ. Сколько решений имеет задача? 2.35. Даны два вектора а (1, — 1,1) и Ь (5,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором Ь угол агссоз ( /2/27).

Вычислить координаты вектора с. Сколько решений имеет задача? 2.36. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника. 2.37. В параллелограмме АВСР точки К и Ь вЂ” середины сторон ВС и СР. Найти (АР(, если )АК) = 6, )АЦ = 3, а угол КА5 = я/3. З в. Скалярное произведенне векепоров 19 2.38. Длины сторон треугольника связаны соотношением а~ + о~ = 5с .

Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны. 2.39. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как еп: и, а угол между этими сторонами равен ее. Найти угол между диагоналями параллелограмма. 2.40. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника.

2.41. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно т: и (т > > и). Найти: 1) отношение длин боковых сторон; 2) отношение длин диагоналей; 3) величину острого угла трапеции. 2.42. Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.

2,43. Пусть М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС, Доказать, что ~АМ)з + ~ВМ~з + ~СМ1~ = ДАВ~э + + ~ВСР+ ~АСРУ3. 2.44. Длины ребер ААы АВ и АР параллелепипеда АВСРА1В1С1Р1 равны соответственно а, 6, с. Величины углов между ними е'.ВАР, ЛА1АР и ЛА1АВ равны соответственно ее, ~9, у. Найти длину диагонали АСь 2.45. Дан произвольный тетраэдр АВС.0. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и СР и ребра АС и ВР, то ребра ВС и АР также перпендикулярны. 2.46. Даны два отрезка АВ и СР (вообще говоря, в пространстве).

Доказать, что отрезки перпендикулярны, если )АС(з+ ~ВР)з = (АР~э+ ~ВС(з. Верно ли обратное утверждение? 2.47. В правильном тетраэдре АВС.Р точки М и Р— середины ребер АР и СР соответственно, точки Ж я Ч вЂ” центры граней ВСР и АВС соответственно.

Найти угол между прямыми МИ и РЯ. 2.48. Длина ребра куба АВСРА1В1С101 равна а. Точка Р— середина ребра ССы точка Я вЂ” центр грани АА1В1 В. От- 20 Гл. 1. Векторы и координаты резок М1У с концами на прямых АВ и А1В1 пересекает прямую РЯ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. 2.49. В правильном тетраэдре АВСВ точки Е и Р являются серединами ребер А1Л и ВС соответственно. На ребре Сй взята точка Ф, на отрезке ЕР— точка М так, что ~ММС = 45', л'.1УМЕ = атосов(2/3). В каком отношении точки М и Ж делят отрезки ЕР и СВ? 2.50. В правильной шестиугольной пирамиде $АВСРЕР (Я вЂ” вершина) длина стороны основания равна 2.

Вершины К и М ромба КЕМР лежат на ребрах АВ и Яй соответственно, и [КМ[= 3, а отрезок КЬ пересекает ребро ЯВ. Найти объем пирамиды. 8 3. Векторное и смешанное произведения векторов 3.1. Найти векторное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами: 1) а(3, -1, 2), Ь (2, -3, -5); 2) а(2, — 1, 1), Ь( — 4, 2, — 2); 3) а (6, 1, О), Ь (3, -2, О). 3.2.

Упростить выражения: 1) [а+Ъ, а — Ь]; 2) [а — Ь+с/2, — а+2Ь вЂ” бс]. З.З. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 3.4. Векторы а и Ь не коллинсарны. При каких значениях скаляра Л коллинеарны векторы Ла+ Ь и За+ ЛЬ? 3.5. Векторы еп ег ез образуют: 1) ортонормированный правый базис; 2) ортонормированный левый базис; 3) ортогональный правый базис. Выразить векторные произведения [е1, ез], [еа, ез], [ез, е1] через векторы е1, еа, ез.

3.6. Известно, что а = [Ь, с], Ь = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними. 3.7. Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов. у Ю. Векторное и смешанное нроивведенил векторов 21 3.8. На векторах а(2,3, 1) и Ь( — 1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти: 1) площадь этого треугольника; 2) длины трех его высот.

3.9 (р). Длины базисных векторов е1 и ет общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30'. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: (1,3), (1,0) и ( — 1,2). Найти площадь параллелограмма. 3.10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника АВСР равна половине длины векторного произведения [Ас', ВБ]. 3.11. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих этим граням, равна нулю. 3.12. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов а, Ь, с равенства [а, Ъ] = [Ь, с] = [с, а] выполняются тогда и только тогда, когда а+Ь+с = о.

3.13. Доказать тождества: 2 ] (а,а) (а,Ь) ~ (а,Ь) (Ь,Ь) 2) [а, [Ь,с]] = Ь(а,с) — с(а,Ь); (Ь ) (Ь (а,с) (а,й) 3.14. Даны се, ф, у — плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранньее углы. 3.15. Даны два вектора а и Ь такие, что а ~ О, (а, Ь) = О. Выразить через а и Ь какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению [х,а] = Ь. 3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения [х,а] = Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору [а,Ь].

3.17. Из одной точки отложены четыре вектора а, Ь, с, й. Вектор с1 имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами а, Ь, с: 1) равные острые углы; 2) равные тупые углы. Выразить вектор с1 через векторы а, Ь, с. 22 Гл. 1. Векторы и координаты 3.18. Из одной точки отложены четыре вектора а( — 1,1, — 1), Ъ( — 1,1,1), с(5, — 1, — 1) и Й. Вектор й имеет длину 1 и образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора Й. 3.19. Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, заданных своими координатами: 1) а(1,-1,1), Ь(7,3,-5), с(-2,2,— 2); 2) а(3,5,1), Ь(4,0,-1), с(2,1,1); 3) а(2,1,0), Ь(3,4,-1), с(-1,-3,1); 4) а(1,2,3), Ь(5,— 2,1), с(2,1,2).

3.20. Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: 1) а(2, 3, 5), Ь(7, 1, — 1), с(З, — 5, — 11); 2) а(2,0,1), Ь(5,3,— 3), с(3,3,10). 3.21. Векторы а, Ь, с некомпланарны, При каких значениях скаляра Л компланарны векторы а+ 2Ь+ Лс, 4а+ 5Ь+ 6с, 7а+ 8Ь+ Л2с? 3.22.

Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти: 1) объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с; 2) объем тстраэдра,построенного на векторах а, Ь, с. 3.23. Даны точки А(2, 1, — 1), В (3, О, 2), С(5, 1, 1), Р(0, — 1, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С.