1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 3

1.31. Даны две точки А(3, — 2) и В(1,4). Точка М лежит на прямой АВ, причем (АМ~ = 3)АВ~. Найти координаты точки М, если: 1) М лежит по ту же сторону от точки А, что и точка В; 2) М и В лежат по разные стороны от точки А. 1.32. Даны три точки А(хм уы х1), В(хз, уз, хз), С(хз, уз, хз), не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 1.33. Зная радиус-векторы гм гз, гз, г4 вершин А, В, Р, А1 параллелепипеда АВСРА1В1С1Рп выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин. 1.34. Отношение длин оснований АР и ВС трапеции АВСР равно т: п. Выразить радиус-векторы вершины Р, точки М З 1. Линейнме соотношения 13 пересечения диагоналей трапеции и точки Я пересечения боковых сторон через радиус-векторы гг, гз, гз вершин А, В, С. 1.35. Доказать, что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус-векторов гго вершин.

1.36. Зная радиус-векторы гы гз, гз вершин треугольника, найти радиус-вектор центра окружности, вписанной в треугольник. 1.37. В плоскости треугольника АВС найти точку О такую, что ОА+ ОВ+ ОС = о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника? 1.38. В точках, имеющих радиус-векторы гы ..., г„, сосредоточены массы гпы ..., т„. Найти радиус-вектор центра тяжести этой материальной системы. 1.39.

Однородная проволока согнута в виде угла АОВ со сторонами (ОА~ = а и (ОВ! = Ь. Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат О, ОА/а, ОВ/д. 1.40. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника АВСР с вершинами в точках А(3,1), В(7,3), С(0,4), Р( — 1,2). 1.41. Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 1.42. Точки К и Т являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС.

Доказать, что точка пересечения диагоналей ОАВС совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ОК7. 1.43. Точка К лежит на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, точка Ь вЂ” на продолжении стороны ВС за точку С, точка М вЂ” на продолжении стороны СА заточку А, причем (АВ~: ~ВК~ = ~ВС~: )СЦ = )СА): ~АМ~. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и КТМ совпадают. 1.44. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и И так, что )АМ(: (ВМ! = т~ .

пы ~АЖ(: )Сг1) = тз: пз. Точку пересечения отрезков ВИ и СМ обозначим через О. Найти отношения~ВО): )Ог7( и )СО): )ОМ~. 1.45. Применяя результат задачи 1.44 при гпг = п~ = тз = = пз = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Гл. А Векторы и координаты 1.46 (р). Вершина Р параллелограмма АВСР соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС, такой, что )ВК): ~КС~ = = 2: 3. Вершина В соединена с точкой Ь, лежащей на стороне СР, такой, что )СЦ: (ЬР) = 5: 3. В каком отно1пенин точка М пересечения прямых РК и ВЬ делит отрезки РК н ВЪ2 1.47.

На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки М и Ф так, что ~АМ): )ВМ) = т: 1, )СФ): )ВМ) = п: 1. Прямая ММ лересекаст высоту ВР треугольника в точке О. Найти отношение )РО~: )ВО). 1.48. 1) Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусумме длин оснований (теорема о средней линии трапеции).

2) Точки Е и Р являются серединами сторон АВ и СР четырехугольника АВСР (на плоскости или в пространстве). Доказать, что если )ЕГ) = ((ВС(+1АР()/2, то АВСР— трапеция (теорема, обратная теореме о средней линии трапеции). 1.49. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки М, М, Р так, что (АМ) = )АВ(/и, ~ВЫ~ = = )ВС)/и, '1СР~ = )СА)/и.

Площадь треугольника АВС равна Б. Найти площадь треугольника, полученного при пересечении прямых АФ, ВР и СМ. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 1.50. Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3: 1, считая от вершины.

1.51. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тстраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. 1.52. На диагоналях АВ1 и СА1 боковых граней треугольной призмы АВСА1В1С1 расположены соответственно точки Е и Р так, что прямые ЕР и ВС1 параллельны. Найти отношение )ЕР): )ВС1(. 1.53. На диагонали ВС1 боковой грани треугольной призмы АВСА1В1С1 взята точка М, а на диагонали СА1 другой боковой грани — точка И. Прямая МИ параллельна плоскости АВВ1Ап Найти отношение (СИ): )СА1~, если )ВМ): )ВС1( = = 1: 3.

з Я. Скалярное произведение векзпоров 15 $ 2. Скалярное произведение векторов 2.1. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если: 1) |а|= 3, |Ь!=1, ~(а,Ъ) =45'; " 2) |а! = 6, |Ь! = 7, ~(а,Ь) = 120', ""' 3) |а! =4, |Ь| = 2, ~(а,Ь) =90'; 4) |а| = 5, |Ь! = 1, а и Ь сонаправлены; 5) |а! = 2, |Ь| = 3, а и Ь противоположно направлены. 2.2.

Вычислить выражение |а|~ — ~ГЗ(а,Ъ) + 5|Ь|~, если; 1) |а| = 2, |Ь! = 1, ~(а, Ь) = 30', 2) |а! = 3, |Ь! = 2, ~(а, Ь) = 150'. 2.3. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- нЫх своими координатами: 1) а(4,-1), Ь( — 1,— 7); 2) а(2,1), Ь(1,-3); 3) а(1,2), Ь( — 4,2). 2.4. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1,2), Ь(2,4); 2) а(1, 2), Ь(4, 2); 3) а(1,2), Ь( — 2,1); 4) а(1,— 1), Ь( — 4,2); 5) а(2,— 1), Ь( — 4,2).

2.5. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: 1) А( — 1,2), В(5,10); 2) А(3,— 2), В(3,3); 3) А(1,2), В(1,2). 2.6. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- ных своими координатами: 1) а(3,2,— 5), Ь(10,1,2); 2) а(1,0,3), Ь( — 4,15,1); 3) а(2,1,5), Ъ(7,-9,— 1). 2.7. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- ми координатами: 1) а(1,-1,1), Ь(5,1,1); 2) а(1,-1,1), Ъ(-2,2,-2); 3) а(1,-1,1), Ь(3,— 3,3); 4) а(1,— 1,1), Ь(3,1,— 2); 5) а(1,— 1,1), Ь(4,4,— 4). Гл.

1. Векторы и координаты 2.8. Найти расстояние между точками А и В, заданными своими координатами: 1) А(4,— 2,3), В(4,5,2); г) А(-З,1,— 1), В(-1,1,-1); з) А(з,-'з',-7), 'в(1,-'4,'-5).' 2.9. Даны три вектора: а( — 1,2), Ь(5,1), с(4,— 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) — с(а,Ь); 2) (а)з — (Ь,с); 3) (Ь(з+(Ь,а+Зс). 2.10. Даны три вектора: а(1,— 1,1), Ь(5,1,1), с(0,3,— 2). Вычислить: 1) Ь(а,с) -с(а,Ь); г) )а)з+ )с)~ — (а,Ъ) (Ь,с); 3) (а,с) (а,Ь) — /а~з(Ъ,с).

2.11. Доказать, что векторы а и Ъ(а,с) — с(а,Ъ) взаимно перпендикулярны. 2.12. Верно ли, что для любых векторов а, Ь, с, Й выполняется соотношение (а,Ь) (с,е1) = (а,с) (Ь,й)? 2.13. Даны три вектора а, Ь, с такие, что (а~ = (Ь( = (с~ =1, а+Ь+с = о. Вычислить (а,Ъ) + (Ь,с) +(с,а). 2.14. В треугольнике АВС даны длины сторон. Найти скалярное произведение (АС, ВС), если: 1) )Ав~ = 5, (ВС) = 3, )АС! = 4; 2) ~АВ~ = 7, )ВС1 = 4, (АС! = 5; 3) ~АВ( = 3, ~ВС( = 2, ~АС~ = 3. 2.15. Дан треугольник АВС.

Выразить через Ъ = АВ и с = =АС: 1) длину стороны ВС; 2) длину медианы АМ; 3) площадь треугольника. 2.16. В треугольнике АВС проведена высота АВ. Найти кооодинаты вектора АО в базисе, образованном векторами АВ и АС. 2.17. Доказать, что для произвольного прямоугольника АВСР и для произвольной точки М (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства: 1) (МА,МС) = (МВ,МР); 2) )мА)'+ (мГ,"!' = )мв!'+ (мР!' Э й. Скалярное произведение векторов 17 2.18.

В трапеции АВСР отношение длин оснований ~АР): : ~ВС~ равно 3. Выразить через Ь = АВ и с = АС: 1) длины сторон и углы трапеции; 2) длину отрезка ЯМ, где Я вЂ” точка пересечения боковых сторон трапеции, М вЂ” точка пересечения диагоналей. 2.19 (р). Длины базисных векторов е~ и ез общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно ~/2 и 1, а угол между ними равен 45'. Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (2, 2) и ( — 1, 4). 2.20.

Длины базисных векторов е~ и ез общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120'. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А( — 2, 2), В( — 2, — 1), С( — 1,0). Найти длины сторон и углы треугольника. 2.21. Длины базисных векторов ем ез, ез равны соответственно 3, ~/2, 4, а углы между ними равны ~(емез) = = ~(ез,ез) = 45', ~(емез) = 60'.