1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 10

прямыми: Зу+х+2=0 и х+Зу — я+2=0, х+1 у х — 10 — 3 4 6 г=8Ф и х=1+Ф, 9= — 2Ф, 6.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х+ бу+ х = О, х — х+ 4 = О и образующей угол 45' с плоскостью х — 49 — 8г+ 1 = О. 6.68. Доказать, что две данные прямые пересекаются, и составить уравнения биссектрис острого н тупого углов между ними: 1) х = 4 — 4й, у = 1 + 41, з = — 5 + 7С и х = — 3 + г, 9 = — 1 + +21, г= — 4+2г; 2) х=4+г, у=1 — 1, в=5+4~их= — 3 — 31, у=8+31, я=1; 3) х= 1+28, у=2+За, в=11 — 6$ и х=1+8, у=3+1, г = 7 — 1. 6.64.

Найти угол между плоскостью 4х+ 4у — 7х+ 1 = 0 и прямой: 1) х+у+х+1=0, 2х+у+Зх+2=0; х — 1 у+2 х 2) — = — =— 3 2 — б' х — 2 у — 1 я+3 3) — = — =— 4 4 — 7 х — 1 9+1 с+3 4) 11 — 4 4 6.65. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А (1, 3, 2) параллельно плоскости Оху и образующей: 1) угол 45' с прямой х = 9, х = 0; 2) угол вгсз1п(1/с/ГО) с плоскостью х — р = 1. 6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через х у точку А( — 1,2,1) параллельно прямой — = -- = — г и образую- 2 3 щей угол 60' с прямой х = у, я = О. З б.

Плоскость и арямал в иростпранствс 51 6.69. Боковые стороны равнобедренного треугольника имеют общую вершину А(З, 4, 5), две другие вершины лежат на осях Ох и Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Ох. Найти углы треугольника и составить уравнение его плоскости. 6.70. Даны точка А(2, — 1, 0) и прямая 1.

Вьгчислить расстояние от точки А до прямой 1; найти координаты проекции точки А на 1 и координаты точки В, симметричной с А относительно 1; составить уравнения прямой, проходящей через точку А и пересекающей данную прямую под прямым углом (»опустить перпендикуляр» из точки А на 1). Прямая 1 задана уравнениями: х — 7 р — 1 с — 3 1) — = — = —; 3 4 2 2) х= 1+21, у= 2 — 21, х= -3+1; 3) 2х+у — с+1=0, х+у+х+2=0. 6.71.

Точка А лежит на прямой х — у — 3 = О, 2у+ х = О. Расстояние от точки А до прямой х = у = с равно ~/6. Найти координаты точки А. 6.72. Найти расстояние между прямыми: х — 4 у+1 с — 1 х — 5 у с 3 6 — 2 — 6 -12 4 2) х = 3+ 2$, у = 10 — 3$, х = 3+ 41 и х = 1+ ЗФ, у = 1 — 21, с=1+ЗФ; 3) х+р+х — 1=0, х+Зу — с+2= 0 и х+Зу+х+2=0, х+ 2у — с+1 = О. 6.73. Даны прямые 1~ и 1». Составить уравнения их общего перпендикуляра (т.е.

прямой, пересекающей 1г и 1» под прямым углом); найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислить расстояние между 1г и 1». Прямые заданы уравнениями: 1) х= 5+1, у=З вЂ” 1, с=13+1 и х=6+Ф, у=1+21, х = 10 — 1; 2) 2х+7у — 13=0, Зу — 2х — 1=0 и х+у — 8=0, 2х+ 4- у — х = 0; х — 6 о — 1 с — 10 х+4 у — 3 с — 4 3) — = — = 1 2 — 1 — 7 2 3 6.74. Точки А( — 1, -3, 1), В(5, 3, 8), С(-1, -3, 5), Р(2, 1, — 4) являются вершинами тетраэдра. Найти; 1) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины Р на грань АВС; 52 Гл. 2. Лрямал и плоскость 2) длину высоты основания АВС, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) расстояние между скрещивающимися ребрами АР и ВС; 4) угол между скретцивающимися ребрами АР и ВС; 5) угол между ребром АР и гранью АВС.

6.Т5. Длина ребра куба АВСРА1В1С1Р1 равна 1. Найти: 1) расстояние от вершины А до плоскости В1СР1, 2) расстояние между диагональю куба АС1 и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани СРН 3) отношения, в которых точки пересечения общего перпендикуляра к прямым АС1 и СР1 с этими прямыми делят отрезки АС1 и С.Рь 6.76.

Три грани АВСР, АВВ1А1 и АРР1А1 параллелепипеда АВСРА1В1С1Р1 лежат соответственно в плоскостях 2х+ Зу+ 4х + 8 = О, х + Зу — 6 = О, в + 5 = 0; всршина С1 имеет координаты 6, — 5, 1. Найти: 1) расстояние от вершины А1 до плоскости В1ВР; 2) расстояние от вершины Р до прямой АВ; 3) расстояние между прямыми АС и А1С1, 4) расстояние между прямыми АА1 и ВС; 5) угол между прямыми АС и С1Р1, 6) угол между плоскостями ВРР1 и АСС|; 7) угол между прямой СА1 и плоскостью РССп 6.Т7. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы тот из четырех двугранных углов, образованных двумя пересекающимися не перпендикулярными плоскостями А1х+В1у+С1л+Р1 = 0 и Аох+Воу+Сзх+Рз = О, который содержит точку Ме(хе, уе, хе), был: 1) острым; 2) тупым.

6.78 (р). Даны две плоскости х+2у+2х = 0 и Тх+4у+ +4х = О. Третья плоскость гп проходит через начало координат О так, что конец ее нормального вектора, отложенного из точки О, лежит в тупом двугранном угле, образованном данными плоскостями. Косинусы острых двугранных углов между т и данными плоскостями равны 2/15 и 4/45 соответственно.

Составить уравнение плоскости т. 6.79. Рассматривается тот двугранный угол между плоскостями х — 29+в+3 = 0 и х+у+2х= 1, внутри которою лежит точка А( — 1,0,0). Доказать, что множеством точек, лежащих внутри этого угла и удаленных от данных плоско- З б. Плоскость и прямая в пространстве 53 отей соответственно на расстояния ~/6 и 2~Гб, является прямая.

Составить уравнения этой прямой. 6.80. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями х — з — 5 = 0 и Зх+ 5у+ +4з = О, внутри которого лежит точка А(1, 1, 1). 6.81. Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями х — х — 5 = 0 и Зх+ у 5у+ 4г = О. 6.82. Грани тетраздра заданы уравнениями х+ 2у — 2з+ 93 = О, 4х — 4у + 7з — 9 = О, 8х+ 4у + з — 3 = О, у — х = О. Составить уравнения: 1) биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями; 2) прямой, лежащей во внутреннем трехгранном угле между первыми тремя гранями, все точки которой равноудалены от этих трех граней.

6.83. Вершинами тетраэдра являются точки А(1, 2, 3), В( — 2, 8, 9), С (5, О, 7), Р (3, 4, 2). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной сфер. 6.84. Найти радиус и координаты центра сферы, проходящей через точку А(0,1,0) и касающейся плоскостей х+ у = О, х — у=О, х+у+4з=О. 6.85.

Найти координаты центра О и радиус г сферы, касающейся плоскостей 5х — у+с — 17= 0 и х+у — с+11= 0 и проходящей через точки А( — 7, — 1, -1) и В(1, 1, 1). 6.86. Найти координаты центра О и радиус т сферы, касающейся плоскости х+ 5у+ г — 33 = 0 и проходящей через точки А(2,3,— 2), В( — 2,3,4) и С(0,— 1,2).

6.87. Вершинами треугольника являются точки А(1,2,3), В(1,5, — 1), С(5,3,— 5). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 6.88. Доказать, что три плоскости х — 2у+ 2с+ 3 = О, 2х+2у+с — 6 = О, 5х+14у — 2з — 21= 0 не имеют общих точек, но три прямые, образованные при пересечении каждой пары этих плоскостей, параллельны, т.е. плоскости образуют призму. Найти радиус и уравнения оси примой круговой цилиндрической поверхности: 1) вписанной в эту призму; 2) описанной около нее. 6.89. В правильной четырехугольной пирамиде ВММРЯ (Я вЂ” вершина) точки Н и Р— середины ребер МФ и ИР со- Гл. й Прямая и плоскость 54 ответственно.

Точка Е лежит на отрезке $Н, причем фН~ = 3, ~ЯЕ~ = 9/4. Расстояние от точки Я до прямой ЕГ равно ~Г5. Найти объем пирамиды. 6.90. В основании прямой призмы АВСРА,В1С1Р, лежит ромб АВСР с углом ЛА = 60'. Длина стороны основания призмы равна а, длина бокового ребра равна ~/За. Точка Е является ортогональной проекцией вершины С1 на плоскость АВ1 Х1м а точка à — ортогональной проекцией точки Е на плоскость АА1Р1Р.

Найти объем пирамиды АРЕК. 6.91. В правильной призме АВСА1В1С1 длина бокового ребра равна 3. Точка М вЂ” середина ребра АС, точка Ф лежит на ребре В1См а точка Р принадлежит грани АА|В|В и удалена от плоскости АВС на расстояние 1. Известно, что угол в 30' образуют каждая из прямых РМ и РИ с плоскостью АА1В1 В и прямая РИ с плоскостью ВВ1 С1С. Найти объем призмы. 6.92. В правильной призме АВСА1В1С1 длина стороны основания равна 2а, длина бокового ребра равна а.

Через вершину А проведена плоскость перпендикулярно прямой АВм через вершину  — плоскость перпендикулярно прямой ВС1 и через вершину С вЂ” плоскость перпендикулярно прямой САь Найти объем многогранника, ограниченного этими тремя плоскостями и плоскостью А1В1Сь Замена системы координат (6.93 — 6.97) 6.93.

Даны две системы координат О, ем ез, ез и 0', е'„ е~з, е~з. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ащ, азо, азо, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (аы,аз|,аз1), (а1з,азз,азз), (а1з,азз,азз) соответственно. В первой системе координат плоскость задана уравнением Ах+Ну+Сх+Р =О. Составить уравнение этой плоскости во второй системе. 6.94. В пространстве даны четыре точки А(1,2,1), В( — 1, 3, 0), С(2,5,3), Р(-2, 3, 4) и плоскость 2х+ у — Зх+ 2 = О. Составить уравнение этой плоскости в новой системе координат А, АВ, АС, АР. 6.95.

Плоскости х — 2у+ Зх — 6 = О, 2х+ у — х = О, 4х+ з— — 5 = 0 являются соответственно плоскостями 0'у'з', 0'х'х', 0'х'у' новой системы координат, а точка А(2,0,1) имеет в новой системе координаты 1, 1, 1. у' 6. Плоспостпь и прпмал в просгпра~стве 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у', с' в новой системе.

2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается уравх — 1 у+1 е — 2 нениями — = — = —, 1 — 4 — 1 ' 6.96. В прямоугольной системе координат О, еы ео, ез плоскость задана уравнением ЗА+ 59+ ~Г2в+ ~/2 = О. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке О'(1,1,— 1), базисный вектор е~з противоположен вектору ез, а базисные векторы е', и еэ~ получаются из векторов е1 и е2 соответственно поворотом в содержащей е1 и ез плоскости на угол 45' в направлении кратчайшего поворота от е1 к е2. 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты я', у', я' в новой системе.