1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 12

Чтобы сменить знак коэффициента при линейном члене уравнения, можно дополнительно у 7. Геометрические свойства и канонические уравненил 61 повернуть систему координат на 180'. При этом, почти каноническое уравнение Ахг + 2Еу = 0 преобразуется хг = ( — 2Е/А)у, замена х = — у', у = х' приводит к у'г = ( — 2Е/А)х'. Если Е/А > О, то требуется еще замена х' = — х", у = — у", после чего получается каноническое уравнение параболы у"г = 2рх", где р = Е/А > О. Для отыскании канонической системы координат выписываем каждую из формул перехода, подставляем их одна в другую н получаем окончательное выражение исходных координат через канонические х=счХ+агу+оо, у=ДХ+)8гУ+До.

Коэффициенты этих формул дают координаты начала канонической системы координат 0'(ао,Во) н ее базисных векторов Е,(пью), Ег(аг,бг) относительно исходной системы координат. Если система уравнений (6) совместна (в частности, если Б = = АС вЂ” Вг ~ 0 — случай центральной кривой), то упрощение уравнения кривой удобно начинать с переноса начала координат в центр кривой: х = хо + х', у = уо + у'. Тогда в преобразованном уравнении коэффициенты при х' и у' обращаются в нуль (см.

задачи 9.18, 9.20). Затем следует выполнить шаг 2. В первом приближении тнп кривой второго порядка можно определить до упрощении ее уравнения по знаку О. Кривая относится к эллиптическому типу (эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых) при Б > 0; к гиперболическому типу (гнпербола, пара пересекающихся прямых) при Б < 0; к параболическому типу (оствльные типы в табл.

1) при б = О. Уравнение второго порядка (1) в подходящей декартовой системе координат приводится к одному из канонических уравнений: 1) хг+уг 1, 2) хг+уг 1, 3) хг+уг 0; 4) х — уг = 1; 5) хг — уг = О; 6) уг = х; 7) уг = 1; 8) уг = — 1; 9) уг = О. Таким образом, существуют 9 аффинных типов кривых второго порядка. 9 7. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения Окружность (Т.1 — Т.10) 7.1. Найти радиус и координаты центра окружности: 1) хг+уг+4у= О; 2) хг+ уз+ 5х — 5у+ 12 = 0; 3) 2хг + 2уг — 12х+ у+ 3 = 0; 4) 7хг + 7уг — 2х — 7у — 1 = О. 7.2. При каком необходимом н достаточном условии уравнение Ахг + Вуг + 2Сх+ 2йу + Е = О задает окружность? Выразить радиус и координаты центра окружности через коэф- 62 Гл.

Я. Кривые второго порядка фициенты уравнения. Т.З. Составить уравнение окружности с центром в точке М(2,2), касающейся прямой Зх+у — 18 = О. 7.4. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы прямая Ах+ Ву+ С = О: 1) не имела общих точек с окружностью (х — а)~ + + (у — ь)' = л'; 2) имела с этой окружностью две общие точки; 3) касалась этой окружности.

7.5. 1) Составить уравнение касательной, проведенной к окружности (х — 1)~ + (у+ 2)~ = 25 в точке М(-3, 1). 2) Составить уравнения касательных к окружности (х — 1)~+ (у+ 1)~ = 9, проходящих через точку М(1,4). 7.6. Составить уравнения касательных к окружности (х+ 3)~+ (у+ 1)~ = 4, параллельных прямой 5х — 12у+1 = О. 7.7. Проверить, что две данные окружности касаются, и составить уравнение их общей касательной, проходящей через точку касания: 1) (х — 1)' + (у — 2)' = 18, (х — 5)' + (у — 6)' = 2; 2) (х + 1)~ + (у — 1)~ = 45, (х — 1)г + (у — 5)г = 5. 7.8.

Составить уравнения общих касательных к окружностям (х — 2)г + (у + 1)г = 9 и (х — 4)~ + (у — 3)~ = 1. 7.9. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены прямая, касающаяся окружности в точке В, и еще одна прямая, пересекающая окружность в точках С и В. Доказать, что ~АВ~т ~АР~ ° (АС! 7.10. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена прямая, пересекающая первую окружность еще в одной точке А, а вторую окружность еще в одной точке В.

Доказать, что касательные к окружностям в точках А и В параллельны. Множества точек на плоскости, при изучении которых используются уравнения кривых второго порядка (Т.11 — 7.20) 7.11. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В отношение (МА)/)МВ~ постоянно и равно й ) О, является прямая линия при к = 1 и окружность при к ф 1. Выразить радиус этой окружности через и и длину отрезка АВ.

э" 7. Гсометпричсскис свойстпва и канонические уравненип 63 7.12. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В сумма )МА)+ (МВ~ постоянна и равна 2а, является эллипс с фокусами А и В. Выразить длины полуосей этого эллипса через и и длину отрезка АВ. 7.13. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В модуль разности (МА~ — (МВ~ постоянен и равен 2а, является гипербола с фокусами А и В.

Выразить полуоси этой гиперболы через а и длину отрезка АВ. 7.14. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки А и фиксированной прямой 1, является парабола с фокусом А и директрисой 1. 7.15. Определить множества точек, которые в прямоугольной системе координат задаются неравенствами: 1) ха+(у+2)2 < 4; 2) (х+-) +(у — -) >25; 3) хз+у~+Зх < О, у < О; 4) — 1 < за+ у~ — 2х+ 2у < 7; ха уа 5) — + — < 1; 16 9 .2 2 6) — + — > 1; 4 9 2 7) 1< — +у2<9; 9 3) 4зз — 4з+9у<+бу+ 1 < О; й н7 -— 'Г<о'<Л*<1Р<Р«; 10) д г<< — в <<~<$<в >4; ха у~ 11) — — — < 1; 16 9 12) — — У >1; 4 9 13) ~/х+ (у < 2; 14) — — — < 1; 15) )Зх~ — 9уз( > 1; 'й Л -кг<Р- Лг<2Р+Р<к 17) у~ < 4х; 18) у~ > бз; Гл.

Я. Криоме отоорого ворядхо 19) х<у <Зх; 20) — 2х — хг < уг < — 2х. Т.16. Какие кривые на плоскости задаются следующими параметрическими уравнениями: 1) х = Зсоз$, у = Ззш1, 0 <1< 2тт; 2) х = 1+2сов1, у = 2+2вшФ, 0 <1< 2я; 3) х = сов 1, у = вш1, 0 < 1 < яу 7.17. Доказать, что параметрические уравнения х = хе+ + осовев, у = уз + Ья1п1 (а > О, Ь > 0) задают эллипс с центром в точке (хо,уе) и с полуосями а и Ь.

7.18. Доказать, что параметрические уравнения х = хз+ +ас1тг, у = уз+ ЬзЫ, где а > О, Ь > О, задают правую ветвь гиперболы с центром в точке (хо, уо) и с полуосями а и Ь. Как нужно изменить эти уравнения, чтобы задать обе ветви гиперболы? 7.19.

Изобразить множество точек, которое в полярных координатах задается уравнением: 1 1)т=1; 2)г= 1 — 2сояу' 3) т = ; 4) г = 3 1 2 — соя у ' яш~ ( р/2) Т.20. На плоскости дан отрезок АВ ((АВ! = а). Найти множество точек М таких, что угол при вершине А в треугольнике АВМ вдвое больше угла при вершине М. Эллипс (7.21 — 7.34) 7.21.

Точка А лежит вне эллипса с фокусами Ьы гя, отрезки АРы АЕр пересекают эллипс в точках В, .Р соответственно, и С вЂ” точка пересечения отрезков Р~Р, К2В. Доказать, что в четырехугольник АВСР можно вписать окружность. 7.22. Найти длины полуосей, эксцентрнситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса: х у 1) — + — =1,а>Ь>0; ог Ьг .2 2 2) — + — = 1, Ь>а >0; ая Ь2 3) 9х~+25у'=225; 4) 4хз+уг = 1.

7.23. Даи эллипс 25х~+ 144у~ = 1. Определить, лежит ли точка А на эллипсе, внутри или вне его: 1) А(1,1/6); 2) А(1/13,1/13); 3) А(1/6,— 1/24). у 7. Геометрические свойства и каиоиические уравиеиия 65 7.24. Вычислить длину фокальной хорды эллипса х~ у~ — + — = 1, перпендикулярной большой оси. 9 4 7.25. В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10; 2) хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом агсв1п(3/5); 3) фокусами эллипса являются точки (~1,0), а точка (~/3, ~/3/2) принадлежит эллипсу; 4) фокусами эллипса являются точки (~2,0), а директрисами являются прямые х = х18; 5) расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси Оу, равно 8; 6) треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7; 7) отрезок оси Ох между фокусом г'7 и дальней вершиной А большой оси делится вторым фокусом Ет пополам, а расстояние от Гэ до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1/~/17; 8) директрисами эллипса являются прямые х = х4, а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси— квадрат; 9) эксцентриситет эллипса равен ~/7/4, а четырехугольник, вершинами которого являются вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4,8.

7.26. Вычислить эксцентриситет эллипса, если: 1) расстояние между фокусами равно среднему арифметическому длин осей; 2) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2: 1; 3) расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1,5 раза больше расстояния до вершины малой оси; 4) отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом; 5) большая ось видна из конца малой оси под углом 120'; 6) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси виден из конца малой оси под прямым углом; Гл. Х Кривые второго иорлдха 7) стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса.