1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 13

7.27. Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в хг уг эллипс — + — = 1, (а > 5 > О). Какую часть площади, ограниаг 5г ченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата? 7.28. Найти множество точек, являющихся серединами хг уг хорд эллипса — + — = 1, параллельных прямой х+ 2у = 1. 25 9 7.29. Через точку А(7/2,7/4) провести хорду эллипса х~ + + 4у~ = 25, деляшуюся в этой точке пополам. Т.ЗО. Через точку М(0,3) провести прямую, пересекающую эллипс х~ + 4уз = 20 в двух точках А и В так, что ~МА~ = = 2)МВ!. хг 7.31.

На эллипсе — + уг = 1 найти точки, из которых от- 4 резок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наибольшим углом. 7.32. Составить уравнения семейств эллипсов: 1) с общими фокусами (хс, О); 2) с общими директрисами х = ~е1 и общим центром в начале координат. Т.ЗЗ. Составить уравнение эллипса, если: 1) точки Р1(5, 1) и Рз(-1,1) являются фокусами, а прямая х = 31/3 — одной из директрис; 2) точка Р( — 6,2) является одним из фокусов, точка А (2, 2) — концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3; 3) оси эллипса параллельны осям координат, точки А(4,0) и В(0,4) принадлежат эллипсу, а точка В находится на расстоянии З~/2 от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

7.34. Пусть Π— центр эллипса, а, 5 — его полуоси, а А и  — такие точки эллипса, что прямые ОА и ОВ взаимно перпендикулярны. 1 1 1) Доказать, что величина — + — постоянна для ~ОА~г ~ОВ(г всех возможных пар точек А и В. 2) Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка АВ. г 7. Геометрические свойства и ханоничесхие уравнения 67 Гипербола (7.35 — 7.50) пг7.35.

Найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокуав, составить уравнения директрис н асимптот гиперболы: г г .г г < й;,1) — — — =1; 2) — — — = — 1; аг Ьг ' аг Ьг хг уг 3) — — — =1; 4) уг — хг=1; 16 9 5) ху=1; 6) ху= — 2. Т.36. Дана гипербола 100хг — Збуг = 1. Определить, лежит лн точка А на гиперболе, внутри одной нз ее ветвей или между ветвями; 1) А(1/8,-1/8); 2) А(1,1); 3) А(1,7); 4) А( — 1/2,0).

г 7.3Т. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы —— 4 г - — = 1, перпендикулярной действительной оси. 49 Т.38. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12; 2) длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе; 3) директрисами гиперболы являются прямые х = ~~/5/6, а точка ( — 9,4) принадлежит гиперболе; 4) длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении 4: 1; 5) эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2; 6) точка (7, -2~/3), принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние 4~/7; 7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60', а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно -(2 — ~/3); 3 8) точка ( — 5/4, 3/2) принадлежит гиперболе, а асимптотамн являются прямые у = х2х; 9) точка (-1, 3) прннадлежиг гиперболе, а асимптотами являются прямые у = х2х.

7.39. Составить каноническое уравнение гиперболы, содержащей точку (-1, 3) и имеющей аснмптоты у = х2х (сравнить с задачей 7.38, 9)). Гл. 3. Кривые вгпорого порядка 7.40. Вычислить эксцентриситет гиперболы, если: 1) ее полуоси равны (равносторонняя гипербола); 2) угол между асимптотами, содержапщй фокус, равен 120', 3) асимптотами гиперболы являются прямые у = ~3х. 7.41.

Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если: 1) расстояния от точки М(5, — 4), принадлежащей гипербо- ле, до директрис относятся как 2: 1; 2) сумма расстояний от точки Л( — 5, — 4) до асимптот ги- перболы равна 20/3. 7.42. Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцен- триситет в эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фо- кальные хорды, перпендикулярные действительной оси. 7.43.

Составить уравнение гиперболы, которая имеет об- щие фокальные хорды, перпендикулярные действительной хг уг оси, с эллипсом — + — = 1. 5 3 7.44. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы х~ — 2у2 = 1, параллельных прямой 2х — у = О. 7.45.

Через точку А(4, 4) провести хорду гиперболы х у — — — = 1, деляшуюся в этой точке пополам. 3 4 з у 7.46. На гиперболе хг — — =1 найти точки из которых 4 3 отрезок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наибольшим углом. 7.47, Составить уравнения семейств гипербол: 1) с общими фокусами (~с,О); 2) с общими директрисами х = ~4 и общим центром в на- чале координат; 3) с общими асимптотами у = ~Ах.

7.48. Составить уравнение гиперболы, если: 1) точки Р~(3, — 2) и Г2(5, — 2) являются фокусами, а пря- мая х = 7/2 — одной из директрис; 2) точка г'(1,3) является одним из фокусов, точка А ( — 4, 3) — вершиной, а эксцентриситет равен 3/2; 3) точка г'(О, 0) является одним из фокусов, а прямые х ~ у + 2 = 0 — асимптотами. ~ 7. Геометрические свойства и канонические уравнение 69 7.49. Доказать, что для данной гиперболы следующие величины постоянны, и выразить их через полуоси а, Ь гиперболы: 1) произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот; 2) площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах.

7.50. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотамн лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси. Парабола (7.51-7.64) 7.51. Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы парабольк 1) у =2рх, р>0; 2) у2= — рх, р>0; 3) уе=бх; 4) у2 = — Зх; 5) у = х~; 6) у = -~~3х~. 7.52. Как расположены по отношению к параболе у~ = 10х следующие точки: 1) (5, -7); 2) (8, 9); 3) (5/2, — 5)7 7.53.

Вычислить длину фокальной хорды параболы у2 = = х/5, перпендикулярной оси параболы. 7.54. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) точка (5, — 5) принадлежит параболе; 2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12; 3) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45' к оси параболы, равна 18. 7.55. Найти уравнение множества точек, являющихся серединами хорд параболы у2 = Зх, параллельных прямой 2х+Зу — 5= 0. 7.56. Доказать, что середины хорд параболы, параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы.

7.57. Через точку А(5,3) провести хорду параболы у2 = = 6х, делящуюся в этой точке пополам. 7.58. На параболе у2 = 10х найти точку М такую, что: 1) прямая, проходящая через точку М и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60', 70 Гл. 8. Кривгге второго порядка 2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5; 3) расстояние от точки М до вершины параболы равно расстоянию от М до фокуса; 4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8: 7. 7.59. Найти множество значений, которые может принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса.

7.60. Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой имеет координаты (а,б), а направление оси совпадает: 1) с положительным направлением оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с положительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу. 7.61.

Составить уравнения семейства парабол: 1) имеющих общий фокус (0,0) и симметричных относительно оси Ох; 2) имеющих обшую директрису я = 0 и симметричных относительно оси Оя. Т.62. Составить уравнение параболы, если: 1) точка Е(7,0) является фокусом, а прямая х = 1 — директрисой; 2) точка Е(7,0) является фокусом, а прямая х = 8 — директрисой; 3) точка Р(0,1) является фокусом, парабола симметрична относительно оси Оу и касается оси Ох; 4) ось параболы параллельна оси Оу, фокус лежит на оси Ох, парабола проходит через начало координат и высекает на оси Оя отрезок длины 6.

Т.63. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы у~ = 2рх и касающейся зтой параболы в ее вершине. 7.64. Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности. 7,65. Кривые у = хз — 5 и х = 3 — у~ пересекаются в четырех точках, лежащих на одной окружности. Найти координаты пентра атой окружности.

г 8. Касатгльвие к кривим второго порядка 71 8 8. Касательные к кривым второго порядка . 8.1. Составить уравнение касательной к кривой: хг уг 1) — + — = 1 в точке (3, 1); 12 4 хг уг 2) — + — = 1 в точке (3, — 3); 36 12 хг уг 3) — — — = 1 в точке ( — 3, 0); 9 12 х у 4) — — — = 1 в точке (6, 1); 32 8 5) х~ = 8 в точке (4, 2); 6) у = бх в точке (3/2, 3). 8.2.

Составить уравнение касательной к кривой: (х - о)' (у - 9)' (х - о)' (у - Р)' 3) ху=й; 4) (у — ф)2 = 2р(х — о) в точке (хо, уо), принадлежащей данной кривой. 8.3. При каком необходимом и достаточном условии прямая Ах+ Ву + С = 0 касается: хг уг хг уг 1) эллипса — + — = 1; 2) гиперболы — — — = 1; аг Ьг аг Ьг хг уг . 3) гиперболы — — — = -1; 4) гиперболы ху = й; аг 52 5) параболы у2 = 2рх? " 8.4.

При каком необходимом и достаточном условии вектор 1(а,з) является направляющим вектором некоторой каса.г 2 тельной к гиперболе — — — = 1? аг Ь' 8.5. Проверить, что данная прямая касается данной кривой, и найти координаты точки касания: хг 1) Зх — 2у — 24=0, — + — =1; 48 36 х у 2) Зх — у — 12=0, — — — =1; 20 36 3) Зх — 16у+ 24 = О, ху = — 3; 'и 4) х+у+1=0, у~ =4х. 8.6. Составить уравнения касательных к эллипсу хг уг — + — =1: 30 24 1) параллельных прямой 2х — у — 1 = 0; 72 Гл. 3. Кривые втоорого ворлдко 2) перпендикулярных этой же прямой; 3) образующих угол 45' с прямой х+ Зу+ 3 = О. 8.7.

Составить уравнения касательных к гиперболе г „г — — — = 1, параллельных прямой: 25 16 1) 4х = Зу; 2) х = 1; 3) х — 29+ 1 = О. 8.8. Составить уравнение касательной к параболе 9~ = = 10х, перпендикулярной прямой: 1) 2х+ у — 4 = 0; 2) у = 3; 3) х = О. 8.9. Какие точки на данной кривой второго порядка удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние. 27 т 9 г 1) т+-р'=1, 3 +4д+5=0; 28 7 2) — хг+ -уг = 1, Зх+ 4у = 0; 27г 9 28 7 3) бх~ — бут = 19, 12х+ бу — 6 = 0; 4) бх~ — 5уэ =19, 12х+5у=О; 5) у~ =64х, 4х-Зу-76=0.