1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 14

8.10. Дан эллипс х~ + 29т = 1. Найти расстояния: 1) от фокусов эллипса до касательной к нему в точке А(1/3, 2/3); 2) между касательными к эллипсу, параллельными прямой х+9 =1. 8.11. Составить уравнение эллипса, оси которого совпада-, ют с осями координат, если он: 1) содержит точку А( — 3,2) и касается прямой 4х — бу— — 25=0; 2) касается прямых х+ 9 — 5 = 0 и х+ 49 — 10 = О.

8.12. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если она: 1) содержит точку А(4, — 2~/2) и касается прямой Зх+у+ +8= 0; 2) касается прямых х = 1 и 5х — 29+ 3 = О. 8.13. Составить уравнение гиперболы с асимптотами ~/Зх х 9 = О, касающейся прямой 2х — у — 3 = О. 8.14. Составить уравнение параболы: 1) симметричной относительно оси 09 и касающейся прямых у+ 2х = О, 8х — 2у — 3 = 0; З 8. Касательные к кривг4м второго порядка 73 2) заданной каноническим уравнением и касающейся прямой х+у+ 1 = О.

г 8.15. Составить уравнения нормалей к эллипсу — + — = 4 2 1, образующих угол 45' с его большой осью. 8.16. Составить уравнение касательной к параболе уг = -8х, отрезок которой между точкой касания и директрисой делится осью Оу пополам. 8.17. Пусть Π— вершина параболы, М вЂ” произвольная ьх точка, 12 и 12 — касательные к параболе в точках О и М, г? — точка пересечения прямых 11 и 12, Р— проекция отрезка ОМ на 1м Доказать, что точка 2У делит отрезок ОР пополам. Указать вытекающий отсюда способ построения касательной к параболе.

8.18. Доказать, что: 1) отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам; 2) все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь через полуоси гиперболы. 8.19. Доказать, что хорда, соединяющая точки касания эллипса (гиперболы) двумя параллельными прямыми, проходит через центр кривой. 8.20. Доказать, что середины хорд эллипса 1гиперболы), параллельных некоторой прямой 1и лежат на одной прямой 12. При этом касательные к кривой в точках ее пересечения с прямой 12 параллельны прямой 1п 8.21.

Составить уравнения сторон квадрата, описанного г „г около эллипса — + — = 1. 5 4 8,22. Составить уравнения сторон правильного треугольника, описанного около эллипса — + у = 1, если; 2 1) одна из вершин треугольника лежит на оси Ох; 2) одна из вершин треугольника лежит на оси Оу.

8.23. При каком необходимом и достаточном условии через точку Ме(хо,уо) можно провести две касательные: 'е! г „г хг у' ю 1) к эллипсу — + — = 1. 2) к гиперболе — — — = 1. а2 12 аг Ьг 3) к параболе уг = 2рх? Гл. Ю. Кривого втаарого порядка 8.24. Составить уравнения касательных к эллипау .г 2 — + — = 1,проходящих через точку: 18 8 2 1) (-6, О); 2) (2,7; ~Г7); 3) (-4, --~/2); 4) (1 2). 8.25. Составить уравнения касательных к гиперболе — — у = 1, проходящих через точку: 2 1) ( — 2, 2); 2) (1,6; 0); 3) (4, АЗ); 4) (4, 1); 5) (8, 4); 6) (О, 0).

8.26. Составить уравнения касательных к параболе у~ = 16х, проходящих через точку: 1) (1,-2); 2) (1,4); 3) (1,5). Если этих касательных две, то вычислить площадь треугольника, образованного касательными и директрисой. 8.27. Через точку Мо(хо,уо) проведены две касательные к кривой второго порядка. Доказать, что прямая, проходящая через точки касания, задается уравнением: ххо ууо х у 1) — о + — о = 1 для эллипса — + — = 1.

аг Ьо аг Ьг ха о ууо х уг 2) — — — = 1 для гиперболы — — — = 1; аг Ьг аг Ьг 3) ууо = р(х+ хо) для параболы у~ = 2рх. 8.28. Составить уравнения общих касательных к двум кривым второго порядка: 4уг 1) — + — = 1 и — + — = 1; 20 5 80 5 хг уг г 2 2) — — — =1 и — — — =1; 5 4 4 3 хг 3) — + у~ = 1 и у~ = 2х; хг 4) — — у~ = 1 и у~ = 2х; 5)у =2хи — — — = — 1; 2 3 2 хг у2 хг уг 6) — + — =1 и — — — =1; 6 3 25 16 г 8 7) у~=-хиуэ=х — 1. 9 8.29. Доказать, что: 1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса; ,'э Я Я. Общая теория иривих второго нарядив 75 2) касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы гиперболы; 3) нормаль к параболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через фокус параболы, и лучом, выходящим из этой точки, лежащим внутри параболы и параллельным ее оси.

8.30. Доказать, что: 1) касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны; 2) касательные в точках пересечения двух парабол с общим фокусом и противоположно направленными осями взаимно перпендикулярны. 8.31. Из произвольной точки директрисы кривой второго порядка проведены две касательные к этой кривой. Доказать, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через фокус, соответствующий этой директрисе.

8.32. Составить уравнения касательных к кривой бху+ 8у~ — 12х — 2бу+ 11 = 0: 1) параллельных прямой бх+17у — 4 = 0; 2) перпендикулярных прямой 41х — 24у+ 3 = 0; 3) параллельных прямой у = 2. 8.33. Составить уравнения касательных к кривой 5х2+ + бху+ 5у2 — 16х — 1бу — 16 = О, проходящих через точку: 1) (3,3); 2) (О,— 0,8); 3) (0,1).

3 9. Общая теория кривых второго порядка Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (9.1 — 9.10) 9.1. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат: 1) бх~+бу2+бх — 2у — 1 = 0; 2) Ох~ — 16у2 — бх+8у — 144 = 0; 3) 9х2+ 4у~ + бх — 4у — 2 = 0; 4) 12х2 — 12х — 32у — 29 = 0; 5) 9у2-7у — 16 =0; г. 6) 2х~+у~+4х — бу+11 = 0; 7) 2х2+у~+4х — бу+ 12 = 0; Гл. Ю. Криоие второго порядка 8) 4х~ — 25у~ — 2х — 75д+44 = 0; 9) 25х~ — ЗОх+9 = 0; 10) 45хз 36дз 90х — 24у+ 41 = О. 9.2.

При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ахг + Ву~ + 2Сх + 2Ву + Е = 0 задает; 1) эллипс; 2) гиперболу? 9.3. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат: 1) 2хз + бху+ 10уз — 121 = 0; 2) 9ху+4=0; 3) 2хз — 2~ГЗху + 9 = 0; 4) 18хз + 24ху + 11у~ — 3 = 0; 5) хз — 2ху+у~+2х+2у= О; 6) 9хз — бху+у~ — 10= 0; 7) 81х~ — Збхд+4у~ =0; 8) Зх~ — 4~Лху+4д~ = О. 9.4. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат: 1) 2хз — 4ху+буг+8х — 2д+9=0; 2) (р) 4ху — Зу~ — 4х+10у — 6 = 0; 3) 9х~ — 24ху+16д~ — 8х+19у+4=0; 4) х~ — хд+ у~+ х+д = 0; 5) ху+2х+у = 0; 6) х~ — 2хд+д~ — 10х — бу+25 = 0; 7) 5х~ + 12хд + 10у~ — 6х + 4у — 1 = 0; 11 8) 8х + 34ху + 8у~ + 18х — 18у — 17 = 0; 9) 25хз — ЗОху + Оу~ + 68х + 19 = 0; 10) 8х~+бху+бх+Зу+1 = 0; 11) 4хз + 12ху + 9уз — 8х — 12у — 5 = 0; 12) 225хз — 240ху + 64уз + 30х — 16у + 1 = 0; 13) х~+ 2ху+ у~ — 5х — 5у+ 4 = 0; 14) бх~ — 6ху+ бу~+2х — 14д+13 = 0; 15) х~ — 2ху+ уз + 8х — 8д+ 22 = 0; 16) 15х~+24хд+15у~+ ЗОх — 24у — 20 = 0; 17) 15х — 16ху — 15у~ — 62х — 44у — 13 = О.

9,5. Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением 34х~+ 24хд+41д~ — 44х+58у+1 = О, является эллип- З 9. Общая творил кривггх второго порядка 77 сом. Найти длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей и директрис. 9.6. Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением 7х + 48хр — 7д2 — 62х — 34у+ 98 = О, является гиперболой. Найти длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей, директрис и асимптот.

9.7. Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением х~+ 2хр+у~+х = О, является параболой. Найти параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составить уравнения оси и директрисы. 9.8. Пусть М(х,у) = Ахг+ 2Вху+ Су~+ 2Рх+ 2Еу+ Е— многочлен второй степени от координат (х,р) точки в прямоугольной системе координат. Обозначим АВР ВСЕ РЕЕ о=А+С о= В С А В Доказать, что величины Я, 5, Ь не изменяются при переходе к другой прямоугольной системе координат (т.е. являются ортогональными инвариантами многочлена М(х,д)). 9.9.

Кривая второго порядка в прямоугольной системе координат задана уравнением Аха + 2Вху+ Су2+ 2Рх+ 2Еу + + Е = О. Доказать следующие утверждения (обозначения см. в задаче 9.8): 1) Корни Л1 и Л2 характеристического уравнения Л2 — ЯЛ + 1 Б = 0 вещественны, и хоть один из них отличен от нуля. 2) Кривая является гиперболой тогда и только тогда, когда Б < 0 и Ь ф О.

Выразить полуоси гиперболы через 5, Ь, Лм Лз. 3) Кривая является эллипсом тогда и только тогда, когда о ) О, а ЯЬ < О. Выразить полуоси эллипса через о, Ь, Лм Лз. 4) Кривая является параболой тогда и только тогда, когда Б = О, а Ь ф О, Выразить параметр параболы через Я и Ь. 9.10. Применяя ортогональные инварианты (задачи 9.8 и 9.9), определить тип и составить каноническое уравнение кривой: 1) хг+Зху — Зуг+5х — 79+1 =0; 2) бх~ + 2ху+ 592 — 12х+ 209+ 32 = 0; 3) х~ — 4ху+4у~+2х+13 = О. Гя. Я. Кривме второго порядка 78 Кривые второго порядка в общей декартовой системе координат (9.11 — 9.22) 9.11. Доказать, что: 1) кривая, заданная уравнением х~+ у~ = 1, является эллипсом; 2) кривая, заданная уравнением х~ — у~ = 1, является гиперболой; 3) кривая, заданная уравнением у~ =х, является параболой; 4) уравнение х~ — у~ = 0 задает пару пересекающихся прямых; 5) уравнение х~ + у~ = 0 задает одну точку; 6) уравнение у2 — 1 = 0 задает пару параллельных прямых; 7) уравнение д~ = 0 задает одну прямую (пару совпавших прямых); 8) кривая, заданная уравнением ху= 1, является гиперболой; 1 9) кривая, заданная уравнением у = х + —, является гиперболой.