1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu)

ь УДК 514 642 ВВК 22,Щ- Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сбор/ нии задач ио аналитической геометрии и линейном алгебре: 7чебн. пособие I Под ред. Д.В. Бенлеьшшееп. 2-е изд., перераб. — <>з2 ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 496 с. — 1ЯВЯ 5-9221-0010-6. Сборник соответствует обьединенному курсу аналитической <иомегрии и линейной алгебры.

Имеются теоретические введения ко всем разделам, большое число звлач, способствующих усвоению основных понятий, и серии типовых задач с ответами. 11срвое изд. — 1937 г. Для студентов вузов с повышенной математической подготовкой. Ф ФИ9МАТЛИТ,2001 1019М 3.9231.0010.6 СОДЕРхКАНИЕ Предисловие .. 56 8 7.

Геометрические свойства кривых второго порядка и их канони- ческие уравнения . $ 8. Касательные к кривым второго порядка .................... 8 9, Общая теория кривых второго порядка..................... 8 10. Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка . 1 11. Общая теория поверхностей второго порядка ............... 81 93 ... 156 от 0 162 164 ... 166 175 180 Глава 1. Векторы и координаты..........

$1. Линейные соотношения . 8 2. Скалярное произведение векторов ...,...,...... З 3. Векторное и смешанное произведения векторов .. 8 4. Замена базиса и системы координат ............ Глава 2. Прямая и плоскость... $ б. Прямая на плоскости 8 6, Плоскость и прямая в пространстве .. Глава 3. Кривые второго порядка...

Глава 4. Поверхности второго порядка... Глава 5. Преобразования плоскости. Группы. 1 12. Линейные и аффинные преобрззоввния плоскости..... 3 13. Понятие о группах Глава 6. Матрицы . $ 14. Определители. 3 18. Операции с матрицами. 8 16. Ранг матрицы. Глава 7. Системы линейных уравнений......... 1 17. Системы линейных уравнений с определителем', отличным 1 18. Системы линейных однородных уравнений.............

8 19. Системы линейных уравнений общего вида............. Глава 8. Линейные пространства........ 3 20. Примеры пространств. Базис и размерность... 7 9 15" . 20 24., 30 30 38 61 71 75 103 103 120 127 127 134 . 150 Содержание 185 188 Глава 9. Линейные отображения и преобразования 191 1 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований. 191 1 24, Инвариантные подпространства, собственные векторы и соб- ственные значения линейных преобразований................... 213 238 241 248 260 Глава 11.

Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств . . 265 1 28. Примеры линейных преобразований евклидова пространства. 266 271 279 Глава 12. Функции на линейном пространстве..... 1 31. Линейные фуякции. 1 32. Билинейные и квадратичные функции..................... 285 285 292 Глава 13. Аффинные и точечные евклидовы пространства . 307 307 315 Глава 14. Тензоры. 323 пространствен Ответы и указания. Ванк столбцов и матриц Список литературы 1 21. Сумма и пересечение подпространств ..

1 22. Комплексные линейные пространства .. Глава 10. Евклидовы и унитарные пространства 1 23. Скаляряое произведение. Матрица Грама................ 1 26. Геометрия евклидова пространства..................... 1 27. Унитарные пространства . Сопряягенное преобразование 1 29. Самосопряженяые и ортогональные преобразования... 1 30. Линейные преобразования унитарного пространства... 1 33. Аффинные пространства. 1 34. Точечяые евклидовы пространства .. 1 33.

Определение тензора. Тензорные обозначения, ные матрицы . $36. Алгебраические операции с тензорами ......... 1 37.'Тензоры в евклидовом пространстве........... 1 38. Поливекторы и виепгние формы. Решения . . 328 .. 334 .. 341 343 .. 348 . 373 465 . 495 ПРЕДИСЛОВИЕ .н Пособие предназначено для студентов физико-математических, инженерно-физических и инженерно-технических специальностей вузов. Цель авторов состояла в создании единого сборника задач, соответствующего объединенному курсу аналитической геометрии н линейной алгебры. Все составители задачника имеют опыт преподавания математики в Московском физико-техническом институте, и этот опыт нашел отражение в содержании сборника.

Последовательность разделов, а также определения и обозначения в основном соответствуют учебнику Д.В. Веклемишева «Курс аналитической геометрии и линейной алгебрык Отметим методические особенности сборника. В задачник включены некоторые разделы, отличающиеся от традиционных: в главу «Преобразования плоскости. Группы» введен ряд задач, в которых обсуждается общее понятие об отображениях; глава «Функции на линейном пространстве» содержит параграф «Линейные функции»; задачи, относящиеся к точечным и-мерным пространствам, выделены в отдельную главу «Аффинные и точечные евклидовы пространства», и круг этих задач значительно расширен; наконец, глава «Тензоры», помимо детального обсуждения основных понятий, связанных с тензорами, содержит большое число упражнений с пространственными матрицами.

Каждой главе, а также некоторым параграфам предпосланы теоретические введения. Введения начинаются со словаря— списка необходимых новых понятий, определения которых затем частично приводятся. Введения содержат также обозначения, сводки важнейших формул и подробное изложение некоторых алгоритмов. В число задач включен ряд устных вопросов по курсу лекций. Иногда решение нескольких мелких вопросов приводит к решению нетривиальной задачи. Такие задачи расположены группами или обеспечены ссылками.

Некоторые задачи предваряют применение линейной алгебры в других математических курсах. Предисловие Выбор задач, как нам кажется, позволит использовать пособие при различных системах построения курса лекций. Так в 3 14 «Определители» включены задачи, в которых применяется умножение матриц, задачи из глав Х и Х1 о свклидовых пространствах могут решаться как до, так и после задач на квадратичные формы и т.д. Для облегчения работы преподавателя стандартные задачи даны большими сериями. При этом, чтобы сохранить объем задачника, авторам притплось организовать банк столбцов и матриц (с.

465-494). При ссылках столбцы из банка обозначаются через сы а матрицы — Аы где Й вЂ” соответствующий номер в банке. Однако столбцы и матрицы из банка использованы не во всех задачах, частично изложение оставлено традиционным. Некоторые типовые и более сложные задачи снабжены полными решениями, вынесенными в соответствующий раздел. Такие задачи отмечены знаком 1р). Настоящее издание дополнено и переработано. Заново написаны главы Х и Х1, составлен раздел о жордановой форме матрицы, добавлен ряд новых задач в другие разделы. Произведены также некоторые сокращения. При составлении сборника были использованы учебные пособия, список которых приведен в конце книги, а также отдельные задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах или входящие в задания для студентов МФТИ. Хотя каждый из авторов нес ответственность за определенную часть материала, труд их был в значительной мере коллективным.

В работе над первым изданием большое участие принимал Б.В. Пальцев. В настоящем издании ему принадлежит 3 34 и часть задач 3 33. Некоторые задачи были предложены коллегами по Московскому физико-техническому институту — В.Б. Лидским, В.Р. Почуевым, А.А. Болибрухом. Всем им авторы приносят глубокую благодарность. При подготовке рукописи были с благодарностью учтены все замечания, поступившие по поводу первого издания. Особенно здесь нужно отметить вклад И.А. Борачинского и Ю.Ю. Соонталы.

Авторы считают своим приятным долгом отметить, что на их деятельность оказала решающее влияние система преподавания математики в МФТИ, сложившаяся под руководством члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева. Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ « <<< В этой главе используются следующие основные понятия: вектор, нулевой вектор, равные векторы, коллинеарные и компланарные вехаюры, произведение вектора на вещественное число, сумма векторов, противополоисный вектор, разность векторов, линейная л <мбинация векторов, линейно зависимые векторы (линейно зази симам система векторов), базис на плоскости и базис в пространстве, координаты вектора в базисе, радиус-век<пор точки, общая д< картава сис<пема координат, координатны точки, длина вектора, угол меасду векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогональный и ор<понормированный базисы на плосхости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориен<пация тройки векторов в пространстве, ориентация пары вектпоров на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определители второго и третьего порядков.

Используются так<ие основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. Пусть векторы а, Ь, с имеют в некотором базисе е1, ег, ез координаты (а1, аг, аз), (А, А, дз) ('71, 72, 7з) Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность соответствующих координат этих векторов.