Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 8

Для того чтобы воспользоваться модифицированной прогонкой, можно записать уравнение неразрывности (7.49) между слоями с номерами 1 и 1+ 1, а потом с помощью вычитания исключить (рб)"+, 'из уравнения движения. После линеаризации по Ньютону, которая проводится аналогично тому, как она проводилась в п.

7.3.3 для полностью неявной схемы Дэвиса, уравнения неразрывности и движения можно решить совместно с методом модифицированной прогонки. Уравнение энергии обычно решается отдельно, и все параметры, характеризующие свойства газа (включая турбулентную вязкость), изменяются итерационно в соответствии с нашими желаниями или ограничениями, накладываемыми требованиями к точности получаемых результатов, 431 $7.3. Конечно-разностные методы расчета При использовании блочного метода Келлера или модифицированного блочного метода напряжение трения на стенке и тепловой поток обычно определяются по вычисленному значению д на стенке (при ! = 1). В случае модифицированного блочного метода это делается после того, как значения ф, б и р уже найдены.

Выражение для !)а!+!!т можно получить, записав урав- нениЯ (7.44) и (7.45) длЯ /= 2 и исключив !)вч+!7е пРостой подстановкой. 7.3.3. Другие методы Проведенные в относительно небольшом объеме исследования показали, что явный метод переменных направлений Бараката и Кларка можно использовать для решения уравнений пограничного слоя (К. О. Н]пг]шап, 5. 5. Нтуапд — частные сообщения, 1975). Результаты этих исследований показали, что явный метод переменных направлений по точности и затратам машинного времени близок к неявным методам, обычно используемым для расчета пограничных слоев.

Для расчета пограничного слоя применялись и схемы более высокого порядка (вплоть до четвертого). Критический анализ некоторых из этих схем можно найти в работе [%огпош, 1977). Здесь стоит отметить, что точность результатов, получаемых по схемам низкого порядка точности, можно повысить, если воспользоваться экстраполяцией по Ричардсону (см.

[тса!31оп, 1965; СеЬес], Вш]]Ь, 1974) ). Мы надеемся, что в этом разделе описаны все разностные схемы, которые чаще всего используются для расчета двумерных и осесимметричных пограничных слоев!!. При этом мы не пытались подробно описать все известные численные методы. 7Л.7. Замечаяне о преобразовании координат в случае пограничного слоя В общем виде вопросы, связанные с преобразованием координат, рассмотрены в гл. 5. В данной главе основное внимание уделяется именно разностным схемам, поэтому, для того чтобы проиллюстрировать их на самых простых примерах, все уравнения записываются в прямоугольной декартовой системе координат, т.

е. в «физических координатах». Однако надо указать, что имеются определенные преимущества в применении преобразон В книге не описана схема Петухова четвертого порядка точности, которая успешно используется многими советскими исследователями для расчета пограничного слоя (см. (24] в списке дополнительной литературы ка стр. 7!2). Метод Петухова во многом похож на блочный метод Келлера, но ямеет более высокий порядок точности, — Прим. перев. 432 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Уравнение движения ди ди Вне даи и — +в — =и — '+ч— дх ду а йх дуа ' (7.51) Наиболее важным в описываемом преобразовании координат является введение переменной После этого возможно несколько вариантов, но наиболее обще- принятым является преобразование х = х (по оси х растяжение не проводится) и Р = и/и,.

Используя правила дифференциро- вания, получим вания координат или в растяжении координат до того, как производится построение конечно-разностного аналога дифференциального уравнения. Многие описанные в литературе методы расчета пограничного слоя используют преобразование координат. Основными целями такого преобразования координат являются обычно получение системы координат, в которой толщина пограничного слоя, насколько это возможно, близка к константе, и исключение особенности в уравнениях, которая возникает на передней кромке или в передней критической точке.

К сожалению, для сложных турбулентных течений оптимальное преобразование координат, обеспечивающее постоянство толщины пограничного слоя в преобразованных переменных, пока не найдено, хотя предложенное в работе [Саг1ег е1 а1., 1980] преобразование выглядит обнадеживающим. Обычно применяют преобразование координат, связанное с переходом к переменной т), которая используется для получения автомодельного решения Блазиуса уравнений ламинарного пограничного слоя. Приведем пример такого преобразования переменных для случая ламинарного пограничного слоя с постоянным коэффициентом вязкости. Итак рассмотрим следующие уравнения: Уравнение неразрывности — + — =О.

дх ду (7.50) $7.3. Конечно-рааностные методы расчета 433 Заменив в соответствии с приведенными соотношениями производные по х и у в уравнениях (7.50) и (7.51) и введя неизвестную Р, получим уравнения неразрывности и движения в преобразованной системе координат. Уравнение движения 'дР дР даР «Р — „+ У вЂ” = р(1 — Рт)+ —. дк дч дч (7.52) Уравнение неразротвности х — + — + Р— =О. дР дУ и+1 дх дп 2 (7.53) Здесь 3 — 1 х «чиз «ои, )7 Р +х ч р е 2 астма) ' ис В« При х = О производные в продольном направлении из преобразованных уравнений исчезают и остается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обычно эти уравнения решают, используя слегка измененную версию маршевого алгоритма, который применяется для расчета течения во всей оставшейся области, т. е. при х ) О. Вместо этого можно, конечно, использовать специальные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В новой системе координат особенность при х = О отсутствует, так как вызывавшие затруднение производные в продольном направлении исключены. Фактически в случае ламинарного обтекания плоской пластины решение при х = О является просто хорошо известным автомодельным решением Блазиуса. Поэтому естественно, что в случае течения с нулевым градиентом давления решение при х ) О, полученное маршевым методом, будет повторять вниз по потоку то же самое решение и толщина пограничного слоя останется постоянной.

Если градиент давления или граничные условия на стенке таковы, что решение уравнений пограничного слоя не является автомодельным, то толщина пограничного слоя будет меняться в направлении потока. Можно ожидать, что если ламинарное течение близко к автомодельному, то решение уравнений в преобразованных координатах обеспечивает более высокую точность результатов вблизи передней кромки, чем решение уравнений, записанных в физических переменных, Это связано с тем, что первый подход позволяет во всех сечениях использовать примерно одинаковое число узлов поперек слоя. В случае турбулентных течений обычно наблюдается значительный рост толщины пограничного слоя даже в указанных выше преобразованных переменных. Для внешних ламинарных пограничных слоев 434 Гл.

7. Числеииыс методы решения уравнений пограничного слоя мы рекомендуем использовать преобразование переменных типа преобразования подобия. В случае турбулентных течений преимущества предложенных в настоящее время преобразований не столь очевидны. ул.в. Специальные вопросы, связанные с расчетом турбулентных течений Если для расчета турбулентных пограничных слоев используются модели, связанные с вычислением турбулентной вязкости во всем течении, то для получения достаточно точных результатов узлы сетки должны быть расположены внутри вязкого подслоя, т. е. при у+ ( 4.0 для несжимаемых течений и при у+ < 1.0 или 2.0 в тех- случаях, когда приходится решать и уравнение энергии. Если по нормальной координате к поверхности использовать сетку с равномерным шагом, то для типичного расчета пограничного слоя при умеренном числе Рейнольдса потребуется сетка с несколькими тысячами узлов по координате, нормальной к обтекаемой поверхности.

Уже по одной этой причине стоит рассмотреть пути уменьшения необходимого числа узлов сетки по толщине пограничного слоя. Успешно используемые для этого подходы можно разделить иа три категории — использование закона стенки, использование сетки с неравномерным шагом и преобразование координат. Использование закона стенки. Мы уже отмечали (см. рис. 5.7), что для многих пристенных турбулентных пограничных слоев течение во внутренней части слоя носит универсальный характер, который описывается логарифмическим законом стенки.

По сути эта внутренняя часть слоя является областью, в которой конвективиый перенос играет незначительную роль. Грубо говоря, закон стенки можно рассматривать как решение уравнения движения пограничного слоя, полученное при описании турбулентности по модели пути смешения Прандтля в предположении, что конвективные члены и градиент давления не существенны. Лналогично для многих течений наблюдается почти универсальный характер распределения температуры, и закон стенки можно использовать для задания граничных условий на внутренней границе при решении уравнения энергии. Итак, при применении закона стенки уравнения пограничного слоя решаются с использованием модели турбулентности лишь во внешней части слоя, при этом используется относительно грубая сетка.

Решение в пристенной области описывается на основе закона стенки, который фактически является приближенным решением для пристенной области. Обычно предполагают, что закон стенки выполняется при 30 ( у4 -. 200, и первый от стенки $7.3. Конечно-рааностные методы расчета 435 узел расчетной сетки располагают в этом интервале. Граничные условия для всех описываемых уравнениями переноса неизвестных (и, Т, я, е и т. д.) определяются в этом узле на основе закона стенки. Реализовать такой подход можно по-разному, а детали зависят от выбранной модели турбулентности и используемой разностной схемы. Этот подход хорошо развит для (й — а)-модели турбулентности, а рекомендуемые в этом случае функции для описания закона стенки можно найти в работе [1.аппдег, Бра!б(пп, 1974) . Как и сами модели турбулентности, функции, входящие в закон стенки, нуждаются в модификации для точного описания эффектов, связанных, например, с вдувом или отсосом, шероховатостью обтекаемой поверхности и т.

д. Однако их использование позволяет избежать необходимости располагать у стенки большое число близко расположенных точек. По-видимому, использование закона стенки не является необходимым и даже желательным для большинства погранслойных течений, однако при расчете более сложных течений, описываемых в рамках непогранслойных (эллиптических) уравнений Рейнольдса, применение закона стенки может оказаться куда более привлекательным, так как интересующие нас процессы могут в этом случае происходить довольно далеко от стенки. Вполне возможно, что в ближайшие годы, когда появятся еще более быстродействующие компьютеры, будут предприняты попытки описать турбулентные течения путем решения нестационарных уравнений Навье — Стокса (не вводя в них каких-либо моделей турбулентности). Не исключено, что первые такие расчеты будут связаны с использованием той или иной формы закона стенки для приближенного описания решения в пристенной области, где размер вихрей минимален.