Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 7

значения функций в четырех вершинах прямоугольника («блока») с центром в точке (и — '/т, / — '/я) (рис. 7.2). Сеточные функции, содержащие '/, в верхнем или нижнем индексе, по определению являются средними значениями. Например, ил+ ил о" + ол Ол-11Я ! ! При использовании центральных разностей для аппроксимации уравнений (7.31) и (7.32) получим (рис. 7.3 и 7.4) л л иг — иг — Пл ахг 1-1ге~ л л-1 Г л-112 л-Цт\ и1 11Я вЂ” иг 1,Я а(ег — е1 1 ) агл алг (7.33) (7.34) тодов второго порядка точности, например от метода Кранка— Николсона.

Вернемся к уравнению теплопроводности и покажем, как при применении этого метода проводится аппроксимация первых и вторых производных. Итак, рассмотрим уравнение ди/д7 = адаи/дха. Если ввести функцию о = ди/дх, то исходное уравнение в частных производных второго порядка можно заменить системой двух уравнений первого порядка ди дх ди до — '= а —.

де дх ' 5 7.3. Конечно-ревностные методы расчета Система уравнений (7.33) и (7.34) может быть записана в блочной трехдиагональной форме с блоками размером 2 Р', 2. Ее можно решить, используя блочный метод исключения [Ке!- 1ег, 1970). Можно поступить и по-другому: сохранив используемый в блочном методе Келлера шаблон, так скомбинировать конечно-разностные аналоги уравнений в двух соседних узлах, чтобы исключить одну нз переменных и получить систему уравнений с трехдиагональной матрицей. Последняя может быть эффективно решена прогонкой. Такое изменение блочного метода и-1 и ,) ° г-1 ° Келлера, позволяющее упростить окончательную алгебраиче- скую формулировку задачи, мы будем называть модифицирован- ным блочным методом. Применение модифицированного блочного метода для решения уравнения теплопроводности. Для начала запишем конечноразностные аналоги уравнений (7.31) и (7.32) так же, как и в случае блочного метода Келлера, но решение будем искать на (п+ 1)-м слое по маршевой координате.

Такая запись разностной схемы лучше согласуется с принятой записью других разностных схем решения маршевых задач, которые были описаны в гл. 4. Итак, имеем ил+1 «+1 ~/ ~7-! Ьл! «+! « я(-!!я и!-ит «+1 о«+! ~! !-!!а 2 в"+ия — р" + !я в! — р! — а „«+! ~/-1 (7.35) «1,«+! ««+! — а ~ ~ ! ' ~ '. (7.36) 2ал «+! Как и раньше, сеточные функции, содержащие !/т в индексе, по определению являются средними значениями неизвестных в узлах сетки. Уравнение (7.36) можно переписать в виде «+! 1.

«+! «+! «+! « + « « « ' — а ~ ~ ' + ~ ! ' + а ~ ~ ' . (7.37) «+! а! а!«+! Ьл !4 Д, лад«рсоа «др. Том 2 Рнс. 7.3. Шаблон для вычисления Рис. 7.4. Шаблон для уравнения вт«ия. 17.34) . 426 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Основная идея модифицированного блочного метода состоит в том, чтобы выразить все р через и.

Величина и"+!! может быть исключена из уравнения (7.37) простой подстановкой при помощи уравнения (7.35). Аналогично величину р" ! можно исключить, подставив ее из уравнения (7.35), записанного на п-м временибм слое. Это дает Нл+! + Лл+! Ол+! лл+! нл+! ил+ лл +2а ! — — 2а дку (д г)л (7.38) Для того чтобы исключить о"+' и о", надо переписать уравнения (7.35) и (7.37), увеличив в ннх йндекс 1 на 1, и сложить их. В результате придем к соотношению "Р~+ !" -2 !" ' ~я'-ч ч "!+ !'"! дг дх (дк )' л+! (7.39) (7.40) где Дху+! 2н А! —— —, дгл+! дх „ 2а 2а +дх +дх ! l+! пт+! н! дх Дх! 2а дг„„дк, дх! дкг+! + в = л+! л+! дг 2 ~! ' ~! + дх С = л+! л+! Последние соотношения можно немного упростить, если шаг по х постоянен. Но даже тогда для проведения расчетов на каждом шаге надо проводить больше алгебраических вычислений, чем при использовании схемы Краина — Николсона„которая на равномерной сетке также имеет второй порядок точности.

По ( ! л (~"! !)' ' Величины и"+! и в" можно исключить, умножив уравнение (7.38) на Ьхь уравнение (7.39) на Лху.ы и сложив зти два произведения. Полученную систему уравнений можно записать в трехдиагональном виде Вглл+! + В ил+' + А ил+' = С, г-!-! ! 1 ! I+! и э 7.3. Конечно-рааностные методы расчета идее преимуществом разностных схем, основанных на используемой в блочном методе разностной аппроксимации, является то, что второй порядок точности достигается формально и на неравномерной сетке. Схему Кранка — Николсона можно обобщить на случай неравномерной сетки, применив для аппроксимации вторых производных соотношения (8.98), которыми мы пользовались прн построении конечно-разностного аналога уравнения Лапласа. Если шаг сетки произволен, то формально получим разностную схему первого порядка точности. Влоттнер [В!оНпег, 1974) показал, что в тех случаях, когда введение сетки с неравномерным шагом эквивалентно преобразованию переменных, растягнвающему координаты, на такой неравномерной сетке схема Кранка — Николсона имеет второй порядок точности.

Применение блочного метода для расчета пограничного слоя. Келлер и Цебеци [Ке!1ег, СеЬес!, 1972] применили блочный метод для расчета пограничного слоя, преобразовав предварительно уравнения неразрывности и движения в одно уравнение в частных производных третьего порядка. Для этого они воспользовались преобразованиями Степанова †Мангле и Леви — Лиза (см. [СеЬес1, Яш!1Ь, 1974]).

Уравнение в частных производных третьего порядка заменяется системой трех уравнений в частных производных первого порядка благодаря введению новых неизвестных. Эти неизвестные вводятся так же, как и при решении обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Далее строятся конечио-разностные аналоги уравнений в частных производных первого порядка и проводится линеаризация по Ньютону.

В результате получается система линейных алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, блоки которой имеют размер ЗХ 3. Эта система уравнений решается матричной прогонкой (блочным методом исключения). При аналогичной конечно-разностной аппроксимации уравнения энергии также получается система уравнений с блочной трехдиагональной матрнцей, но с блоками размера 2 Х 2. Мы не будем здесь описывать подробно применение блочного метода Келлера к решению уравнений пограничного слоя, так как все необходимые детали можно найти в работе [СеЬес1, Зш((Ь, 1974). Вместо этого мы покажем, как можно построить модифицированную блочную разностную схему. Для решения получающейся в этом случае системы уравнений достаточно воспользоваться модифицированной прогонкой, уже описанной в этой главе при обсуждении метода Дэвиса совместного 'решения уравнений неразрывности и движения по неявной схеме.

По 14Ф 428 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя имеющимся в литературе данным 1В!о((пег, 1975а; %огпош, 1977] применение при решении уравнений пограничного слоя модифицированного блочного метода требует примерно в два раза меньших затрат машинного времени, чем применение стандартного блочного метода Келлера. н '~ — - 1 ° н+1 Рнс. 7.5. Рааностная сетка для моднфнцнрованного блочного метода. Конечно-разностный аналог этого уравнения запишем для центра ячейки (яблока»): я и+1 и и+1 и (Р )т-ця+ (Р )! — ц2 фт-ц2 фт-ц2 л+!гт — Э/-Цт— б)и+172 гфи+Ц2 фи+пят и!.Ца и+Цт + ~ ~ ! .

(7.44) ау, аут Используя определение величины д! ц21 и-1-1П , и+!и +Ц2 и+Цт и+Цт ;п+Ц2 ! !-1 У! 1 У! — 1 Ь 2 У! (7.45) . Для сжимаемых течений уравнения движения и энергии могут быть записаны в общем виде (7.5). Для прямоугольной системы координат в этом случае имеем дф дф д г- дфоп ри — + рб — = — ~Х вЂ” )+ Я, дх ду ду ~ ду ! где Х = Хт + Х. Уравнение неразрывности можно записать в виде — + — =О.

дри дрб дх ду (7.42) Нумерация узлов сетки и обозначение шагов показаны на рис. 7.5. Обозначим Х (дф(ду) = г7, .0 = 3 + — У вЂ” рб — ф, ду ду тогда уравнение (7.41) можно записать в виде ри др/дх =,О. (7.43) $ 7.3. Конечно-рааностные методы расчета 429 можно исключить д"+!!12 из уравнения (7.44). Тогда получим (Р,),"+,', + (рн),"— 12 Ф",+,'Р— Флв 112 2 Дхл, л+ Н2 в+ 1/2 = о)+!)й — (Рб))+не д + +1!2 л+!гй Ф)+1 ДН) !1 Фи+172 в+Щ 2 л+1/2 + 22,"+'~ 1+ На (ДР„1)' ДР,+! ' (7.47) Уравнения (7.46) и (7.47) можно скомбинировать так, чтобы исключить д"+1!2. Для этого достаточно умножить уравнение (7.46) на Ьу;, уравнение (7.47) на Лу1!ь! и сложить два полученных произведения.

После замены величин, определенных посредине между узлами, средним значением соответствующих величин в узлах получим выражение, которое можно записать в виде 2д„~ 21(Ри)1+'+ (Ри)1-+! + (Ри)1 + (Ри)1-!1 Х Х (Ф)" + Ф)-'!'- Ф! — Ф1-1)+ ~(ри)!+~'+ (ри)1+'+ (ри)~1+1+ (ри)1] )( л+1 Х (Ф)+! + (а! — тн! — т)) + + — 1(рб)7 + (рб)1- + (рб)1 + (рб)1- 1)~ Х(Ф1" + Ф! - Ф)-" — Ф)-!) + + —, Ьб)1+"~+ (рй)!" + (рб)7+ + (рб)Л Х л+1/2 л+1/2 2 в+Н2 = ог- га — (рб)1- а + в+цй - л+!и Ф) Ф1-! 97 Др, Дн, и Е!/2 в+1/2 — 2Ц~Я ~ 1 . (7.46) дуй Аналогично можно написать конечно-разностный аналог дифференциального уравнения в точке (и + 1/2, 1 + 1/2) и исклю- ЧнтЬ ВЕЛИЧИНУ дв1+!112 ИЗ ЭТОГО ураВНЕНИя Прн ПОМОЩИ ОПрЕдЕЛЕ- ния величины д"+1!122.

В результате найдем, что в+1 и в+1 в (ри)1+!и+ (рм)1+на Ф)+1!2 — Ф)+1и 2 Дхл 430 Гл. 7. Численные методы решении уравнений пограничною слои Х (Ф1+!'+ Ф!+ — Ф(" — Ф!) = =бр!(з("+3!Л+ 3!+ 31-1)+ + ЛУ!!-! (о(+! + 81+'+ 3!!+! + 81-!) + ()в+1+та+! 1 ал 1 Хл) (рл+1 1 рл ил+1 рл) аУ( е! (Ха+1+ Хл41+ха+ л )( л+!+ л в+! л ау, Систему уравнений (7.48) можно привести к трехдиагональному виду относительно неизвестных (а, но, как всегда при использовании неявных схем, необходимо воспользоваться каким- либо методом для преодоления алгебраической нелинейности, связанной с коэффициентами уравнений.

В принципе для этого можно применить любой из уже описанных в п. 7.3.3 методов. Наиболее удобная аппроксимация уравнения неразрывности может зависеть от того, какая процедура используется для линеаризации уравнения движения. В настоящее время чаще всего используется линеаризация по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения (В101(пег, 1975а]. В этом случае конечно-разностный аналог уравнения неразрывности можно записать в виде (ри)в+1+ (ри)л+! — (ри)л — (ри)в, 2аил + ! ! !! 1! — 74 2ау! — О. (7.49) В уравнение движения входят величины (рб)"+'„(рб)"+' (рб)("~!.