Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен)

Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р Плетчер ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА И ТЕПЛООБМЕН В двух томах Том Перевод с английского С. В. Сенина н Е. Ю. Шааьмава под редакцией Г. Л. Подвндэа Москвв «МиР» 1990 ББК 22.253 А65 УДК 532+ 681.3 Андерсон Д., Таннехнлл Дж., Плетчер Р. А65 Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т.

Т. 2: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 728 — 392 с., ил. 18ВИ 5-03-001928-6 Книга учебного типа, написанная нзвестнымн американскимя специалистами. В ней поставлена цель — научить читателя составлять конечно разностные алгоритмы решения гидро- н газодинамических задач. Структура книги тщательно продумана я позволяет практически освоить методику численного решения сложнейших задач гидродииамики и теплообмена.

Этому способствуют тщательно подобранные примеры и уникальные наборы задач в конце каждой главы. В русском издании книга выходит в двух томах. Для математиков-прикладников, инженеров-вычислителей, специалистов по механике жидкостей, аспирантов и студентов вузов. 1602! 20000 — 160 041(01) — 90 ББК 22.263 Редакция литературы ло математическим наукам 13816 6-03-001928-6 (русск.) Щ 1984 Ьу НепизрЬеге РпЬПзЬцпп Согрога1гоп 13816 6-03-001926-Х © перевод на русский язык, С.

В. Сенин, 13ВГч' 0-89116-471-3 (англ,) Е, Ю. Шальман, 1990 Глава 7 Численные методы решения уравнений ти~а уравнений пограничного слоя $7.1. Введение В гл. 5 было показано, что уравнения, получающиеся в приближении пограничного слоя (или тонкого вязкого слоя), являются полезной математической моделью для описания некоторых важных течений, встречающихся в инженерных приложениях.

К ним относятся струи н следы, двумерные или осеснмметричные течения в каналах и трубах, а также классический пристенный пограничный слой. Приближение пограничного слоя можно эффективно использовать и для описания некоторых трехмерных течений. В последние годы разработаны методы, позволившие применить приближение пограничного слоя для анализа течений с небольшими рециркуляционными областями. Часто вблизи плоскости, с которой начинается развитие течения в продольном направлении, существует небольшая область, плохо описываемая в приближении тонкого вязкого слоя.

Однако при средних и больших числах Рейнольдса эта область мала, а в большинстве случаев пренебрежимо мала. В этой главе приведены конечно-разностные методы решения рассматриваемых уравнений и некоторые численные результаты. Основное внимание уделено применению методов и подходов, уже описанных в гл.

3 и 4, а не подробному изложению какогото одного общего конечно-разностного метода. В других работах подробно описаны несколько конечно-разностных методов решения уравнений пограничного слоя. Мы не будем повторять изложенные в этих работах детали, если только они не потребуются нам для иллюстрации ключевых моментов. История численных методов решения уравнений пограничного слоя восходит к 1930 — 1940 гг. Конечно-разностные методы, близкие по форме к используемым в настоящее время, были созданы в 50-е гг. [гг)едг)сп, Рогз1а11, 1953; Бои!еац, Оз1ег!е, 1955].

По сравнению с методами расчета некоторых других классов течений конечно-разностные методы решения уравнений пограничного слоя относительно хорошо развиты и апробированы. Несмотря на это, регулярно продолжают появляться но. вые численные методы решения этих уравнений. 398 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля й 7.2. Краткое сравнение различных методов расчета пограничного слоя Прежде чем перейти к изучению конечно-разностных методов расчета пограничного слоя, полезно напомнить, что в течение многих лет их решения находились другими методами, а для некоторых простых течений необходимые для инженерных приложений результаты были получены в виде простых формул.

Эти результаты приведены в учебниках по гидромеханике, аэродинамике и теплообмену. Наиболее важные сведения о вязких течениях можно найти в монографиях Шлихтинга [ЯсЫ(сЫ(пд, 1979) и Уайта [ЮпИе, 1974). За исключением нескольких работ, основанных на теории подобия, встречающиеся в современной литературе методы расчета пограничного слоя можно разбить на три группы: (1) интегральные методы, (2) конечно-разностные методы, (3) методы конечных элементов.

Интегральные методы можно применять к широкому классу ламинарных и турбулентных течений, более того, любая задача, которая может быть решена конечно-разностным методом, может быть решена и интегральным методом. До 60-х гг. интегральные методы были основными вычислительными методами, которые использовались для решения сложных задач гидродинамики и теплообмена. Характерной чертой этих методов является то, что они преобразуют уравнения в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого делаются некоторые предположения о виде профилей скорости и температуры (обычно предполагают, что они являются функциями У параметров), а уравнения интегрируются по одной из независимых переменных (обычно, по нормальной к стенке координате), Многие из таких методов можно отнести к методам взвешенной невязки.

Можно показать, что при очень больших л7 решение, полученное методом взвешенной невязки, стремится к точному решению уравнений в частных производных. Для решения сложных задач современными интегральными методами необходимо использовать ЭВМ. На практике оказывается, что воспользоваться интегральными методами не так просто, как конечно-разностными (применение интегральных методов требует больше интуиции). Эти методы не так гибки и носят не столь общий характер, как конечно-разностные методы; они обычно требуют большей модификации при изменении граничных или каких-либо других условий задачи. В последние годы большинство ученых предпочитают для расчета сложных погранслойных течений применять конечно-разностные, а не интегральные методы, Однако интегральные методы имеют по з 7.3. Конечно-разностные методы расчета крайней мере несколько очень влиятельных защитников и могут быть использованы для решения важных современных задач.

Метод конечных элементов стал использоваться для решения уравнений пограничного слоя относительно недавно. Вопросы, связанные с применением этого метода для расчета пограничного слоя, рассмотрены Чангом (СЬппд, 1918]. Целью всех перечисленных методов является сведение задачи, описываемой уравнениями в частных производных, к алгебраической задаче. Методы отличаются лишь процедурой, используемой для такой дискретизации. Вероятно, в будущем будут созданы гибридные вычислительные схемы, которые позволят сохранить лучшие свойства каждого из этих методов. $7.3. Конечно-разностные методы расчета двумерных и осесимметричных стационарных внешних течений 7.3Л. Обобнтениап $орма записи уравнений Наиболее удобная форма записи уравнений пограничного слоя зависит от рассматриваемой задачи.

Так, в случае ламинарных течений часто применяют преобразование координат, позволяющее использовать почти постоянное число точек поперек слоя. Уравнение энергии обычно записывается по-разному для сжимаемых и несжимаемых течений. На практике часто приходится дополнять или изменять разностную схему, разработанную для какого-либо уравнения в частных производных, чтобы применить ее для решения аналогичного, но отличающегося в некоторых деталях уравнения. Выбор оптимальной схемы решения обычно достигается лишь методом проб и ошибок.

В гл. 5 приведены уравнения пограничного слоя в физической системе координат (уравнения (5.116) — (5.119)). Воспользуемся гипотезой Буссинеска и выразим напряжения Рейнольд. са и турбулентный тепловой поток через коэффициент турбулентной вязкости 1тт и турбулентное число Прандтля Рг,; — ди — ри'о'= 1сг д т др ' — ррг дг — рс и'Т'= — —. Р Ртг др Если при решении уравнения энергии выбрать в качестве искомой неизвестной полную энтальпию Н, то в выражении для турбулентного теплового потока удобно исключить Т при помощи определения полной энтальпии О = с,Т+ не/2+ от/2. В приближении пограничного слоя величиной о'/2 можно пренебречь.

400 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного поля Проведя указанную подстановку, приведем уравнения двумерного или осесимметричного стационарного сжимаемого пограничного слоя к виду: Уравнение движения по координате х Уравнение энергии + ~р (1 — — ) + 1гт(! — — )~ и — ~). (7.2) Уравнение неразрывности в„(г" Ри) + в (г рб) = О, Уравнение состояния р=р(т, р). (7.3) (7.4) (такая запись уравнений невозможна лишь при использовании некоторых моделей турбулентности, например модели, предложенной Брэдшоу (Вгас(зйачг е! а1., 1967]).

В уравнении (7.5) т' — обобщенная переменная, совпадающая с и для уравнения движения и с Н для уравнения энергии, Кроме того, необходимо задать коэффициенты )г, й, са как функции от температуры. Введенный в гл. 5 параметр гп равен 1 для осесимметричных и О для плоских течений, а о =(рб+ р'о')/р. При гп = О имеем г =1 и уравнения принимают вид, необходимый для описания двумерных течений. Основной неизвестной в уравнении движения (7.1) является и. Удобно рассматривать это уравнение как уравнение переноса, содержащее члены, описывающие конвекцию и диффузию составляющей скорости и и источниковый член. Уравнение энергии тоже можно рассматривать как уравнение переноса полной энтальпии Н с аналогичной интерпретацией его членов.

Такую интерпретацию можно распространить на уравнения движения и энергии в случае нестационарного пограничного слоя. Обычно оба уравнения (7.1) и (7.2) можно записать в виде уравнения переноса Риа +рбв -ма (г ) в )+Я (7.5) э 7.3. Конечно-ревностные методы расчета 401 т,— обобщенный коэффициент диффузии. Расположенные в левой части уравнения члены описывают конвекцию ф, первый член в правой части — диффузию ф, а 5 — источниковый член. Источниковыми в уравнениях с частными производными называют члены, не содержащие производных от неизвестной ф. Например, член р,и,грие/с(х в уравнении (7.1) и член, содержащий иди/ду в уравнении (7.2), — источниковые члены.

Большинство приведенных в гл. 5 дифференциальных моделей турбулентности также описываются уравнениями вида (7.5). Так как уравнения движения и энергии приводятся к виду (7.5), они являются параболическими уравнениями, допускающими решение маршевым методом в направлении оси х. Если на основе тех или иных предложений определить коэффициенты уравнений, то из конечно-разностных аналогов уравнений движения, энергии и неразрывности можно независимо определить изменение на одном шаге по х всех неизвестных, т.

е. найти новые значения иь Н; и бь Предложенная стратегия решения иллюстрируется следующим образом: Решаемое маршевым методом уравнение Определяемая неизвестная ил+! «! Нл+! ! -л+! о! двнження в проекции на ось х анергнн состояния + неразрывностн 7.3.2. Пример применения простого явного метода Хотя простой явный метод в настоящее время почти не используется для расчета пограничных слоев из-за жестких ограничений, накладываемых при его применении условиями устойчивости, мы в учебных целях приведем здесь одну достаточно общую разностную схему решения уравнений пограничного слоя, предложенную Ву ['1нп, 1961].