Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 12

Этот метод позволяет получать очень хорошие результаты при расчете присоединенных течений (т. е. при отсутствии областей с обратным течением). Если в потоке есть область возвратного течения, то в распределении трения на стенке появляются небольшие осцилляции. От этих осцилляций удается избавиться, применяя второй обратный метод, основанный на совместном решении уравнений неразрывности н движения. В обоих методах используется приближение Флюгге-Лотц.

Для простоты мы ограничимся применением этих методов к течениям несжимаемой жидкости. Обратный метод А. Запишем уравнения пограничного слоя в следующем виде: Уравнение неразрывности ди до — + — =О. дк ду Уравнение движения ди ди дие 1 дт С! и) — + в — =и,— + — —. дк ду ' Ик р ду ' (7.57) В последнем уравнении С= 1.0 при и ) 0 и С вЂ” малая положительная константа (<0.2) при и(0 и ду 1 (! +17) ду ' (7.58) Приведенные выше уравнения записаны в виде,'позволяющем проводить расчет как ламинарных, так и турбулентных течений. области течения (или каким-либо другим аналогичным параметром). Обычно учет этого взаимодействия происходит в рамках нестационарного подхода 11)аро111апо е1 а1., 1978].

Это не обязательно является недостатком метода, так как для получения решения всей задачи о расчете течения с замкнутой отрывной областью обычно все равно приходится учитывать вязконевязкое взаимодействие (если в вязкой области течения используется приближение пограничного слоя). Методы расчета вязко-невязкого взаимодействия будут описаны в п. 7.4.4. С другой стороны, обратные методы позволяют .получить единственное сходящееся решение, проводя расчет одних лишь стационарных уравнений пограничного слоя. 450 Гл. 7.

Чнеленыые методы решения ураянеыыа пограннчного поля В случае ламинарных течений обозначенные штрихом составляющие скорости и коэффициент турбулентной вязкости иг равны нулю, а если течение турбулентное, то под величинами без штриха подразумевается их осредненное по времени значение. При решении обратной задачи граничные условия имеют вйд и(х, 0)=о(х, 0)=0, (7.59) СО 1 (! — Я ау=6'(х), о (7.60) причем толщина вытеснения Ь' является заданной функцией. Вместо нее в качестве граничного условия можно задать распределение величны т (х). Очевидно, в области присоединенного течения уравнения (7.56) и (7.57) могут быть решены прямым методом, если граничное условие (7.60) заменить обычным граничным условием !ип и(х, у) =и,(х).

и +ао (7.61) Вполне допустимо начать расчет пограничного слоя прямым методом, переключаясь на обратный метод тогда, когда нам это будет удобно. Для аппроксимации уравнений пограничного слоя воспользуемся полностью неявной схемой с запаздывающими коэффициентами. Такой способ построения конечно-разностного аналога уравнений пограничного слоя подробно описан в э 7.3, и повторять его мы здесь не будем. Для того чтобы удовлетворить заданным в обратной задаче граничным условиям, мы будем на каждом шаге по маршевой координате варьировать итерационным образом скорость и, до тех пор, пока не получим решение с заданным значением толщины вытеснения Ье(х).

На каждой из этих итераций алгоритм решения и граничные условия такие же, как н при решении прямой задачи. Толщина вытеснения находится по известному распределению скорости путем интегрирования (либо по формуле Симпсона, либо по формуле трапеций), Значение скорости и„позволяющее получить заданное в качестве граничного условия значение толщины вытеснения Ь (Ьл ), определяется следующим образом. На каждом шаге по маршевой координате предполагается, что разность Ь' — Ьлс является функцией от и„ т. е. что Ь' — Ь' =Р(и,), а значение и„удовлетворяющее уравнению Р= О, определяется методом секущих [РгоЬегд, !969], В приведенных соотношениях Ь' — значение толщины вытесне- э 7.4. Обратные методы, отрывные течения ния, полученное при заданном и,.

При использовании такого подхода первые два значения толщины вытеснения необходимо задать, а всего требуется обычно три-четыре итерации (Р!е(снег, 1978] . Метод секущих можно рассматривать как обобщение метода Ньютона нахождения корней уравнения Р(х)=0 (этот метод часто называют также методом Ньютона — Рафсона — Канторовича). При использовании метода Ньютона мы раскладываем функцию Р(х) в ряд Тейлора в окрестности выбранной точки х„: Р(х„+Ах)=Р(х„)+Р'(х„)ЬХ+ ....

Мы обрываем-этот ряд на члене, содержащем первую производную, и находим величину Лх из условия Р(ха+ Ах)=0, При использовании метода Ньютона в этом случае имеем (7.62) Следовательно, задав начальное значение х, мы можем уточнить его в соответствии с соотношением (7.62). Этот процесс продолжается последовательно до тех пор, пока не выполнится условие ~ (хлы — хл) ~ ( е. Метод Ньютона является простой и эффективной процедурой. Однако для его использования необходимо задать функцию Р'(х) аналитически.

Если этого сделать нельзя, то разумным представляется использовать обобщение метода Ньютона, называемое методом секущих. В методе секущих вместо производной используется угол наклона прямой, проходящей через две точки Рг(. ) н(хл) Р(ял — 1) ял — хл Если два начальных приближения для х заданы, то третье приближенное значение корня уравнения определяется по формуле Р (хл) хл+, — — хл Р(„) Р(„) (хл — хл 1).

(7.63) При применении метода секущих для расчета обратной задачи пограничного слоя хл надо заменить на и.,», а Р=Ь' — бв. Описанный итерационный процесс схематически показан на рис. 7.13. После окончания итерационного процесса поиска величины и,(х), обеспечивающего получение заданного значения толщины вытеснения 6'(х), так же как и при решении параболических уравнений, можно переходить к решению уравнений в расположенном ниже по потоку сечении. Простота обратного метода А очевидна. Если пренебречь небольшими изменениями.

связан- 452 Гл. 7, Численные методы решения уравнений пограничного поля ными с использованием приближения Флюгге-Лотц, то можно решать разностные уравнения точно так же, как они решались прямым методом расчета пограничного слоя. Описанный метод оказывается вполне удовлетворительным 1Р!е1сЬег, 1978; Кшоп, Р!е1с)1ег, 1979], однако если он применяется для расчета отрывных течений, то в рассчитанном распределении напряжения трения на стенке появляются небольшие осцилляции.

Появления и е 5 "'сч "ез Ое,т Пе,1 Рис. 7.13. Определение и,(х) методом секущих. деу дед и=д, и= —— дк ' а законы сохранения массы и импульса запишутся в виде деу и= —, = ду ди деу дл е1ие 1 дт Си — — — — =и — + — —, дк дх ду ' 0х р ду ' где т = !ади/дУ, й = и+ Рг. (7.64) (7.66) таких осцилляций можно избежать при совместном решении уравнений движения и неразрывности.

Они не возникают при решении уравнений описанным ниже методом. Обратный метод В. Опишем метод, предложенный Квоном и Плетчером [Кчгоп, Р!е1сйег, 198Ц. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы в каждом сечении заменить все заданные уравнения и граничные условия одной одновременно решаемой системой алгебраических уравнений. Для этого удобно ввести функцию ф. Тогда $7Л. Обратные методы, отрывные течения Граничные условия имеют вид и (х, 0) = ф (х, 0) = О, чр, = и,(у, — 6' (х)), (7.66) (7.67) где 6*(х) — заданная функция. Граничное условие для тр, следует из определения толщины вытеснения л 6*=~-(1' — — „" ) ~у. 'о Верхний предел интегрирования можно заменить значением у на внешней границе пограничного слоя у,, так как при у) у, подынтегральное выражение равно нулю.

Умножив на и„по- лучим и,б' = и,у, — ~ и Ыу. о ил+! Сил+1 и! ! Ьх при ил+! ) 0 и С=О при ил+' (О, а ! ! ! ир Х= р т!х Здесь С=1 Теперь, следуя описанной в п. 7.3.3 процедуре, проведем линеаризацию по Ньютону нелинейных конвективных членов. Пусть и4+' = О!+'+ б„и фт~' =ч!!'~ + бо.

Знаком д обозначено полученное на предыдущей итерации значение неизвестной. Величины б, и бч обозначают изменение неизвестных на двух Выразив и через функцию тока, найдем, что интеграл равен тр„ и после несложных преобразований придем к соотношению (7.67), Если приведенные ниже разностные уравнения решаются прямым методом, то на внешней границе вместо условия (7.67) надо задать обычное граничное условие (7.61). Построим сначала конечно-разностные аналоги уравнений (7.64) и (7.65). Они имеют вид и"~ + ил+' !р"+' — тр"+ и! и! (7.68) 2 Ьу л лл+! л л+! л+! и! т! — ф и7+, — и! Ьх Ьу + ау 2 л+! 4! л+! л+! Х + ! (Ьу ! Ь ) ( Р4+!/т ьу !!ат-!/т Ь ! ° (7.69) 454 Гл. 7. Численные методы решения ураеиеинй пограничного поля последовательных итерациях, т.

е. Ье = т"!' — ~! ~, где т— произвольная функция. В результате получим систему разностных уравнений, которую можно записать в виде фа+! фа+! ( й (ме+! 1 ил+!) (7.70) В па+! + () ал+! + А и +! + Е фа+! Н 7("+! + С (7 71) ! 7-! ! ! ! !+! ! ! ! !' Здесь Ф" — 'р! вй!.~. !га Ьх(Ьу +Ьу ) рду (Ьу +Ьу 'Р! !' — 'Р!" 207-1в Ьх(Ьу +Ьу ) рЬу .(Ьу„+Ьу ) ' С (де+!)Е )н+! (Ьч.Г! де+!) Ьх Ьх(Ьу +Ьу ) С (2а74 — и!) 2 ( 1ъ~+~~ц р! Ьх р(Ьу +Ьу ) ), Ьу Ьу /' йети! Ь«+~ Ьу 7+1 7-! Ьх(Ьу,+Ьу ) ' 2 Н,=1, Ь! — —" А! в!— с!— Приведенная выше система алгебраических уравнений аналогична полученной в э 7.3 при применении метода Дэвиса.

Последняя решалась модифицированной прогонкой. Система уравнений (7.70) и (7.71) является системой уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, блоки которой имеют размер 2Х 2. На каждом шаге по маршевой координате приходится решать систему 2(Ь77) — 2 уравнений с 2(Ь77) — 2 неизвестными, где ЛЧ вЂ” число точек поперек слоя, включая граничные точки. Единственное различие между системами уравнений, получающихся в рассматриваемом случае и при использовании метода Дэвиса, состоит в том, что в правой части уравнения (7.71) появляется новый член Н771"+'.

При решении обратной задачи безразмерный градиент давления х"+' является неизвестной величиной. Отличаются также условия на внешней границе пограничного слоя. Два этих фактора препятствуют применению описанного в $ 7.3 метода модифицированной прогонки. Однако блоки, расположенные под главной диагональю, можно исключить, а для определения неизвестных получить рекуррентную формулу обратной подстановки [Кчгоп, Р!е(с(тег, 1981). До проведения обратной подстановки необходимо найти параметр 71"+' при помощи описанной ниже специальной процедуры. $ 7.4. Обратные методы, отрывные течения 4бб Для определения неизвестных можно воспользоваться соотношениями и"+' = А'и"++'+ Н'Кя+'+ С', / l /+! / /' (7.72) фее/ Втиа+! + Ока+! + Ет / /+! / /' (7.73) если коэффициенты А', Н,', С', В', О!, Е' и величины ия/++,' и уя+' уже известны. Указанные коэффициенты определяются соотно- шениями А! А = — —, В'= А'Р„ С/ — В С/, — Е/(Ь/С! /+ Е/ /) / Р~ О, = Ь,Н', + О,, + Н/В„ Е' = Ь/С', + Е', + С'Нт, Н/ В/Н вЂ” Е/(Ь/Н/-1+ В!-!) ! % е Н! = В + (В + Е/Ь/) '4 -/ + Е ( — + Ь/) Н,=Ь,(1+А,',)+В',, (7.74) (7.76) Выпишем также граничные условия (7.76) ф~~ ив+ /р Ь~ «+ 1) м! лч ( и/ уа+' = — 1(2й" е' — иаи ) и'„'+' — (ф+')т~.