Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 4

Конечно-разностные аналоги уравнений неразрывности и движения записываются в виде а+ ! а а+! а Оа+! Оа+! "'+"'-' "'-' + "' "-' = О, (7.2О) 2Ьх ар 2аа+!Иа+! ~да+1 2 а а+! да+! а+! аа+! а+! 1 ах+1 ! и! — ( ! ) — и!и! ! (иг+! — !+! — и! ! ! !) э 7.3. Конечно-рааностные методы расчета 411 Для того чтобы сделать более ясной алгебраическую формулировку этой задачи, перепишем уравнение движения в виде В //л+! + 0 ил+! 1 А ил+! + а ол+! + Ь ол+! С (7 22) / /-! ! / 1 14! / / 1 /-! Р где В! т 2"! — "! 2т В= — — —, П/= + —,, 2ау (ау) ' ах (ау)! ' да+! ! т ал+ ! -л/.

! А/ †—— ! в! "/-! 2ау (оу)а ' / 2ау а= +, Ь=О /В«+!1е Вл+! ал+! 1 л+!12 л+! л (/ ) +ба+! !+,— !, + (и, ) — и, и, ох / 2оу ах где (и! !+ а/) ау с(! —— 2лх 2ах ау то уравнения .(7.22) и (7.23) при их совместном решении образуют систему уравнений с блочной трехдиагональной матрицей (см.

приложение В), блоки которой имеют размер 2Х 2. Разработан метод решения такой системы уравнений (см. также [Жег!е е( а1., 1973) или (В1о((пег, 1975а)), иногда называемый модифицированной прогонкой. При использовании этого метода сначала исключаются блоки, .расположенные над главной диагональю. После этого неизвестные составляющие скорости и"+' вычисляются по рекуррентной формуле ил+'=Е ил+'+Е + 6 ол+', ! / /-! 1 1/-!' причем Е, Е!, 0 и о;+,' определяются по приведенным ниже соотношениям.

Условия на верхней границе пограничного слоя при / = У имеют вид Е/ = О, Е/ = й/" (заданное граничное условие), 6 = О. В этом примере коэффициент Ь/ можно опустить, так как он равен нулю. Однако мы будем искать решение уравнений с учетом содержащего Ь! члена, так как полученные результаты пригодятся нам при решении других разностных уравнений этой главы. Для любого значения / в левой части уравнения (7.22) содержатся четыре неизвестных и"+,', и"+', иф и о"л ! (если Ь! ~ О, то неизвестных пять). Очевидно, что в этом случае матрица коэффициентов уравнения уже не является трехдиагональной.

Однако так как уравнение неразрывности может быть записано в виде о +! о«+! в (ил«-! + ил+!) + (7.23) 412 Гл. 7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Зная их для !' = У вЂ” 1, У вЂ” 2, ..., 2, можно вычислить // = О! + А Е т, — е! (А/б/+, + а/), В! — е!(А/6/+/+ а/) ) Е/ — —— — ( В! С/ — А/Р +, — а! (А/О/+, + а ) Р!— А/б/+, + а! + Ь! ) / '=-( /// Используя далее условия на нижней границе, найдем, что о",+' =О, и",+'=О. После этого по формулам «+1 Е и«+! + р + Д о«+! / / /-1 / / /-/' г/«+/ о«+/ и !и«-~-/ 1 и«+~1 + /! ! /-1 /( /-! / ! ! вычисляются составляющие скорости при ! =2, ..., Х. Описанная процедура сводится к обычной скалярной прогонке (в том случае, когда расположенные над главной диагональю элементы исключены), применяемой для решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей, если а!, 6/, е! и /// положить равными нулю. Описанная система уравнений может быть решена и с использованием общего алгоритма решения систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей, который описан в приложении В.

Однако приведенный в этом разделе алгоритм эффективнее, так как он предназначен специально для решения систем уравнений вида (7.22) и (7.23). Эту процедуру можно использовать и для расчета течений сжимаемого газа с переменными свойствами (см.

(В!о((пег, 1975а]). В этом случае уравнение энергии почти всегда реша. ется независимо. 5, Экстраполяция коэффициентов Значения коэффициентов на (и+ 1)-м слое можно получить, экстраполируя значения, уже известные на п предыдущих слоях.

Формально при этом можно в соответствии с нашим желанием обеспечить любую сколь угодно малую погрешность аппроксимации. Например, мы можем написать и"+' = и", + — "~ Лх„+ 0(йх)а. 1! 4!3 э 7.3. Конечно-рааностные методы расчета Аппроксимируя производную (ди/дх)" лишь с первым порядком точности, например по формуле Дц !И ца цИ вЂ” ! — + 0(Ьх), дх~ Ьх получаем следующее выражение для величины й+!, которое формально имеет погрешность аппроксимации 0(Лх)е! И И вЂ” 1 ии+!=ми+ "' " Дх +0((Д,х)т) ! Ьх Аналогичную процедуру можно использовать и для вычисления других необходимых на (и + 1) -м слое коэффициентов. Рассматриваемый подход был успешно применен для расчета пограничного слоя Харрисом (НагНз, 197Ц.

Рекомендации. Во многих случаях при проведении расчетов пограничного слоя линеаризация коэффициентов и, о и свойств жидкости (если рассматриваются течения с переменной температурой), осуществляемая методом запаздывающих коэффициентов, не приводит к существенному снижению точности получаемых результатов.

Вносимая такой линеаризациец погрешность является просто погрешностью аппроксимации, и ее величина определяется размером шага по маршевой координате. Используя этот подход, многие исследователи получили удовлетворительные результаты. В тех случаях, когда такая линеаризация ведет к возникновению каких-либо специфических затруднений, мы советуем применять экстраполяцию коэффициентов или линеаризацию по Ньютону при совместном решении уравнений неразрывности и движения.

Первый подход не требует проведения итераций и, следовательно, более экономичен с точки зрения затрат машинного времени. Защищая метод экстраполяции коэффициентов, Макдональд [Мс0опа1д, 1978] отметил, что если итерации проводятся лишь для уменьшения связанной с линеаризацией погрешности аппроксимации, то при тех же затратах машинного времени точность расчета можно повысить, уменьшая шаг по маршевой координате.

При этом одновременно уменьшается погрешность, связанная с аппроксимацией производных по маршевой координате. Требуемая точность получения результатов зависит от решаемой задачи. Однако ясно, что для решения задачи желательно использовать согласованную разностиую схему, позволяющую при расчете получить погрешность, меньшую любой заранее заданной величины. Особо отметим, что при расчете турбулентных течений неопределенность экспериментальных 414 Гл.

7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя данных, используемых для проверки результатов расчета, а также неточность моделей турбулентности приводят к тому, что проводить расчеты с погрешностью, меньшей нескольких процентов (по крайней мере 3 — 5 '7о), не имеет смысла. Поэтому целесообразность использования для расчета таких течений схем высокого порядка точности (имеющих высокий порядок аппроксимации) определяется лишь возможностью экономии машинного времени, так как эти методы позволяют применять более грубые сетки. Замечание об устойчивости.

Обычно предполагают, что при О ) 1/2 неявные разностные схемы абсолютно устойчивы (по Нейману). Схема Кранка — Николсона удовлетворяет условию абсолютной устойчивости при минимально допустимом значении О. Однако это условие устойчивости получено для линейных уравнений, а обобщение его на нелинейные уравнения носит эвристический характер. Иногда, особенно при расчете турбулентных течений, схема Кранка — Николсона становится неустойчивой, поэтому более популярной является полностью неявная схема. При ее использовании формально второго порядка точности можно достичь, применяя трехточечную аппроксимацию производных по маршевой координате и экстраполяцию коэффициентов.

Например, если шаг сетки постоянный, то конвективный член ди ди и — +о— дк ду можно представить в виде ди ди (2иг — иг ) (зи~~~ — 4иг + и~ ) дк ду як Обобщение этого представления конвективного члена иа случай отличных от константы шагов сетки Лх и Ьу связано с незначительным усложнением алгебраических выражений [Нагг(з, 1971). Существует еще одно существенное ограничение на использованиие рассматриваемых неявных разностных методов расчета пограничного слоя.

Если выбранные шаги сетки таковы, что конвективный перенос (в уравнении движения или энергии) преобладает над диффузионным переносом, то возникает во многом похожее на численную неустойчивость поведение решения, хотя метод Неймана не указывает вэтом случае на возник- э 7.3. Конечно-рааностные методы расчета (7.25) В и"+' + 0 и"+' + А и"+' = С ! )-! ! ! ! )е! !' где о! в,= 2Ьу (Ьу)а ' оа ! е А! — — — —— 2Ду (Ду)а ц! 2т р ! Ьх (Лу)е ' (ца)т (ц"+' ц") С! —— — + це ° Ьх цх Исходя из предсказываемого видом уравнения (7.25) поведения величины и"+' прн изменении и"+' и и"+', можно пред! )-1 !е! ' положить, что характерное для вязкой жидкости поведение решения будет наблюдаться в тех случаях, когда оба коэффициента А! и В, отрицательны.

Для вязкой жидкости характерно, новение неустойчивости. Можно выделить две причины, приводящие к указанному затруднению при проведении расчетов. Вопервых, при решении уравнений с трехдиагональной матрицей методом исключения погрешность вычислений может сильно возрастать, если в матрице коэффициентов нет диагонального преобладания, т. е. при использовании введенных при описании прогонки обозначений, если (1))( не превосходит (В!)+)А)!. Это свойство метода исключения известно давно, но оно лишь недавно было привлечено к анализу неявных разностных схем Хершем и Руди [Н)гз)т, Киду, 1974]. До этого аналогичные затруднения в проведении расчетов возникли у Патанкара и Сполдинга (Ра1ап)саг, Бра!б)пд, 1970), которые для преодоления этих затруднений предложили средство, названное ими «коррекцией большого дополнительного расхода». Второй не менее важной причиной возникновения указанных выше затруднений является неправильное описание физических процессов, связанное с тем, что при выбранных шагах разностной сетки конечно-разностный аналог неправильно описывает вязкое течение.