Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 2

Рассмотрим двумерное несжи- После каждого шага по маршевой координате коэффициенты всех уравнений вычисляются заново, поэтому фактически решения трех этих уравнений взаимосвязаны, а независимо решаются (расщепляются) лишь алгебраические уравнения на каждом шаге по маршевой координате. В некоторых методах расчета все уравнения полагаются взаимосвязанными, поэтому на каждом шаге по маршевой координате решается существенно ббльшая система алгебраических уравнений для одновременного определения иь Н!, бь Расщепление системы алгебраических уравнений является наиболее простым методом расчета, приводящим для большинства течений к неплохим результатам.

402 Гл. 7. Численные методы решения уравненна пограничного слоя маемое ламинарное течение без теплообмена, Оно описывается уравнениями в частных производных (5.104) и (5.105). Конечно-разностный аналог этих уравнений можно записать в виде Уравнение движения по координате х (и»+! — и!") 1 (е»+! — н»! !) ! (и"+ — и,") + (и» вЂ” 2иг» + и» ) + О (Лх) + (Ьу)а (7 6) Уравнение неразрывности о» ! ! ц»+ ! и»+1 + и»+! и» и» ' + ~ ~ ' ! ~ ! =0+0(йх)+О(йу)2, (7.7) ау 2Ьх При обтекании плоской пластины (рис. 7.1) расчет обычно начинают с передней кромки, предполагая, что на ней и! =и, и пе! и п»! ° ° и (ш) уравнение движение урпаненне нероарьмносши Рнс.

7.!. Простая явная схема. до ди Ни» дап — и — + о — =и,— + т —,. ду ду ' Вх. дуа ' Так как до ди т д Г о 1 +" = "д ду ду ду ~п !' а о! =О. Знать величину о! в явном алгоритме необходимо для того, чтобы решить уравнения на (а+ 1)-м слое, однако математическая формулировка задачи для уравнений с частными производными не требует задания начального распределения о". Подходящее начальное распределение величины о" ! можно найти [Т(пц, 1965] при помощи уравнения неразрывности„используемого для исключения производной ди/дх из уравнения движения. Тогда для ламинарного несжимаемого течения получим 5 7.3. Конечно-рааностные методы расчета 403 то Учитывая, что при у =0 с = О, получаем а о(у) и ~ иа (и~ л + т д ~) оу. е (7.8) В случае рассматриваемой задачи об обтекании плоской пластины предположим, что при х = 0 (на передней кромке пластины) и~ = и всюду, кроме стенки, где:и~ = О.

Необходимое для расчета по явной схеме начальное распределение величины о~ можно теперь найти, интегрируя численно правую часть соотношения (7.8). Если для аппроксимации производной дан/дуа в первом от стенки узле разностной сетки воспользоваться, как обычно, центральными разностями, то получим, что о" = 2т/Лу во всех узлах, кроме лежащего на стенке, где па=О. На практике предположение, что в начальном сечении и" = О, также приводит к удовлетворительным результатам. Зная начальное распределение и", из уравнения движения (7.6) можно определить по явной схеме и"+'. Расчет обычно начинают от стенки и движутся от нее наружу до тех пор, пока не выполнится условие и" е'/и,"+' = 1 — е = 0.9995; т.

е, используя асимптотическое граничное условие, мы в ходе решения находим положение внешней границы пограничного слоя. Значения величины п"+' можно теперь получить из уравнения (7.7), начиная вычисления с ближайшего к стенке узла разностной сетки и продвигаясь последовательно к внешней границе. Конечно-разностная формулировка уравнения неразрывности и описанный метод его решения эквивалентны интегрированию уравнения неразрывности по формуле трапеций для вычисления Оа+! I Условия устойчивости этого метода имеют вид Второй член в уравнении движения (7.6) обведен прямоугольником, составленным из штриховых линий, по двум причинам.

Во-первых, мы хотели показать, что различие условий устойчивости уравнения (7.6) и уравнения теплопроводности связано в основном с этим членом, а во-вторых, ниже мы рассмотрим другую возможную аппроксимацию этого члена. 404 Гл. 7. Численные методы решения ураиаений пограничного слоя Другая запись явной схемы. Для того чтобы устойчивость разностной схемы определялась лишь одним неравенством, обведенный прямоугольником член уравнения (1.6) (конечно-разностная аппроксимация иди/ду) можно заменить выражением л я иг — иг и выражением иг т1 — ит я я Тогда условие устойчивости примет вид Ьх( йт/[и~ (ьу) ~ + [ юЯ(П"ьу) Для такой аппроксимации величины оди/ду погрешность аппроксимации ухудшается и составляет лишь 0(гьх)+ 0(Лу).

Отметим, что для обеих рассмотренных явных схем условия устойчивости определяются локальными значениями составляющих скорости и и о. Это характерно для уравнений с переменными коэффициентами. Спектральный критерий устойчивости Неймана позволяет неплохо оценить устойчивость методов расчета уравнений пограничного слоя, если входящие в уравнения коэффициенты и и о считать локально постоянными.

Особо необходимо остановиться на интерпретации коэффициента турбулентной вязкости рг при анализе устойчивости разностных схем. Прн использовании некоторых моделей турбулентности в выражение для рг входят производные, разностная аппроксимация которых может вызвать неустойчивость алгоритма. При анализе устойчивости коэффициент турбулентной вязкости рг можно считать либо заданной функцией, подбирая в этом случае методом проб и ошибок конечно-разностную аппроксимацию р„, обеспечивающую устойчивость алгоритма, либо, выразив через основные гидродинамические неизвестные, попытаться определить условие устойчивости алгоритма обычными методами.

7.3.3. Метод Кранпя — Наполеона н полностью яеяннмй метод Характерные особенности большинства неявных методов можно продемонстрировать на примере следующей конечноразностной аппроксимации записанных в физических координатах уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя на сетке с Лу = сопя(: 405 5 7.3. Коаечао-разаостаые методы расчета Уравнение движения -е(0 (р~+'и~+ ) + (1 — О) р"и~)] (и~+' — и~) Ьх 2ау ~В(ре ие ) + (( О) (Реие)] (ие ие) Ьх + —, (О [(а" +,' (и" +,' — и" +') — (а" +,', (и"" — и"+')] + Здесь Π— весовой коэффициент. Если О =О, получается явный метод.

Для определения погрешности аппроксимации удобнее всего проводить разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (и, 1). Погрешность аппроксимации равна 0(Ьх)+ 0(Ьу)а; приведенное ранее условие устойчивости Неймана существенно ограничивает шаг по маршевой координате. Если О = 1/2, получается неявный метод Кранка †Николсона. Разложение в ряд Тейлора удобнее всего проводить в точке (и+ 1/2, 1). Если все коэффициенты (и параметры состояния) вычисляются в точке (а+1/2, 1), то погрешность аппроксимации равна 0(бх)а+ 0(Лу)а. Критерий Неймана не накладывает ограничений на устойчивость схемы, но в тех случаях, когда нет диагонального преобладания, могут возникнуть затруднения при решении уравнений прогонкой (Н(гзЬ, Киду, 1974).

Если 6 =1, получается полностью неявный метод. Разложение в ряд Тейлора удобнее всего проводить в точке (н+ 1, 1), погрешность аппроксимации этого метода 0(Лх)+ 0(Лу)а (если коэффициенты уравнения и параметры состояния вычисляются в точке (а+1, 1)). Критерий Неймана не накладывает ограничений на устойчивость разностной схемы, но приведенные в случае О = 1/2 замечания о диагональном преобладании остаются. Отметим, что приведенная выше схема является неявной при О ) О, а при О ) 1/2 она безусловно устойчива. На практике успешно используют схемы со значениями О, лежащими между 1/2 и 1. Для полностью неявной и явной схем можно использовать одну и ту же запись уравнения неразрывности. 406 Гл.

7. Численные методы решения уравнения пограничного слоя Уравнение неразрывности „а+! л+! „а+! а+! „а+! а+1 а а, л+1 л+! а л + ~ ~' !'!' — О. ар 2ах (7.10) При 0= 1/2 величины р и и в первом слагаемом нужно вычислять на (и+ 1/2)-м слое, в соответствии с этим надо изменить и запись уравнения (7.10). Тогда погрешность аппроксимации уравнения неразрывности равна 0(Лх)а+ 0(Лу)Я. Конечно-разностный аналог уравнения энергии строится по той же схеме, что и для уравнения движения.

В качестве независимой переменной выберем температуру Т, что вполне возможно при течении газа с небольшой скоростью. Тогда уравнение энергии можно записать: Уравнение энергии Риси дх +Рос" д = д !и д )+(тти и +(х(~ / . (7.11) дт „ дТ д дт вр дл а Введя коэффициент О, получим конечно-разностный аналог этого уравнения т"+! т" (0(р +!и +!си+!)+(! 0)(р и сл)") + 0(ртле!е!л+!сл+!)(Гл+! Гл(+!!) -1- (! — 01(рлоасл ) (Гл+ Гл ) = — „',, '(е Ь", „,(тЫ вЂ” т!") — й! "~(т!" — т,"")1+ (ав!' +(1 — О) И+ (т!". — 7!) — й!"- .(7! — Т1-)1)+ г!0 (ал+!Гл+!яа+!) -1- (! — О! (р!игала)) (рл+! ра) Ьх +Ори+ ("'+! "'-') +(1 — О) ! «("'+! "'-') . (7.12) Погрешность аппроксимации уравнения энергии такая же, как и уравнения движения при 0 =0, 1/2, 1.

Можно построить полностью неявную схему (О = 1), имеющую формально второй порядок точности, если для аппроксимации производных в продольном направлении использовать значения неизвестных на трех слоях (и — 1, и, а+ 1), как это было сделано в гл. 3, Возможность применения такой схемы показана в работах [Рая!з, 1963; Нагг(з, 1971). При использовании любого неявного метода (О Ф О) конечно-разностные аналоги уравнений движения и энергии (уравне- з 7.3.

Конечно-рааностные методы расчета 407 ния (7.9) и (7.12) ) являются нелинейными алгебраическими уравнениями, так как в коэффициенты входят значения неизвестных на (я+1)-м слое. Линеаризация этих уравнений может быть проведена и обычно проводится одним из следующих способов.