Anderson-et-al-2 (Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен), страница 3

1. Запаздывающие коэффициенты Чаще всего используют простейший метод линеаризации разностных уравнений, состоящий в вычислении всех коэффициентов на н-м слое. Его называют методом эаиаздывающих коэффициентов. При таком подходе согласованность разностной схемы сохраняется, так как для произвольной функции ф(х, у) имеем ф(хо+ стх, уо)=ф(хо, уо)+ 0(Ьх). Однако такая линеаризация не позволяет достичь по маршевой координате аппроксимации более высокого чем первый порядка.

Для записанного в общем виде уравнения переноса (7.5) полученное методом запаздывающих коэффициентов линеаризованное конечно-разностное уравнение имеет вид Фл1+1 — Ф~~ рло1 р,ил ' „'+-~ — '(0(ф,,"++11 — ф,"+,')+(1 — й)(ф;„— ф; 1)1= = — „,',, Ы„,"19(фЯ вЂ” ф",")+(1 — Е) (ф"„, — фД~— (лэ)' — 7„— Ь(ф1 — ф1-,')+ (1 — й) (ф — ф"- Т+ + М7" + (1 — Е) З1. (7.13) Конечно-разностные аналоги всех трех уравнений, описывающих законы сохранения, могут быть теперь решены независимо. Из уравнения движения можно найти и"+', из уравнения энергии — найти Т1, а из уравнения состояния — найти р1 и, л+! л+1 наконец, из уравнения неразрывности — найти о"+'.

Матрицы коэффициентов в уравнениях, аппроксимирующих уравнения движения и энергии, трехдиагональные, поэтому эти уравнения можно решать прогонкой. 2. Простая итерационная замена коэффициентов Вычисление коэффициентов можно провести и на (и+ 1)-м слое в соответствии с уравнениями (7.9), (7.10) и (7.12) при помощи простого итерационного метода. При этом сначала все коэффициенты вычисляются на н-м слое (с запаздыванием) и из решения системы уравнений определяются значения неизвестных и, Т, о на (и+ 1)-м слое. Теперь значения коэффициентов можно найти по только что вычисленным значениям неизвестных на (н+ 1)-м слое, а расчет повторен на (а+1)-м слое для получения более точных результатов. 408 Гл.

7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Эту процедуру можно повторить итерационно несколько раз до тех пор, пока отличие решений на двух последовательных итерациях не окажется достаточно малым. Обычно хватает двух-трех итераций, хотя Блоттнеру (В!о((пег, 1975а] при проведении расчетов по схеме Кранка — Николсона требовалось до 19 итераций для того, чтобы при измельчении сетки численно полученное решение вело себя как решение, полученное по схеме второго порядка точности (см. $3.2). Несмотря на то что переход от метода запаздывающих коэффициентов к простой итерационной замене коэффициентов связан с минимальными изменениями в программе для ЭВМ, описанный ниже метод линеаризации по Ньютону значительно эффективнее, поэтому именно его мы рекомендуем для расчета пограничного слоя.

3. Использование линеаризации по Ньютону для итерационного вычисления коэффициентов Линеаризация по Ньютону (ее часто называют также квазилинеаризацией) проводится следующим образом, Предположим, например, что мы хотим вычислить (и»е')т. Пусть 6,— разность значений и на двух последовательных итерациях, которые проводятся для решения разностных уравнений. Тогда и"+ = ! =Д"+'+6„, где значком д над буквой отмечено значение неизвестной на предыдущей итерации. Для первой итерации значение переменной и"+' принимается равным ее значению на ! предыдущем шаге по маршевой координате. Величина 6, играет ту же роль, что и величина Ьх при использовании метода Ньютона — Рафсона — Канторовича для нахождения корнейтрансцендентного уравнения. Представим величину (й+')Я в виде (и"+')в=(Д"+'+6 )'=(Д"+')'+26 Д"+'+бе.

(7.14) Линеаризуем правую часть уравнения (7.14), отбросив член 6, пропорциональный квадрату изменения неизвестной, что аналогично отбрасыванию членов порядка (Лх)в в методе Ньютона— Рафсона — Канторовича. После линеаризации выражение для (и"+')' примет вид ( й + 1 ) т ( Д» + ~ ) а ( 2 6 Д» + (7.15) причем неизвестной в нем является лишь величина 6,. Можно поступить и по-другому, учитывая, что б„=и"+' — Д"+'. Тогда соотношение (7.15) примет вид /и»его ~ 2и»+~Д»+! (Д»+3)а (7 ) (7.15) Описанную линеаризацию можно провести и более фор— и»+3 мально„используя разложения в ряд Тейлора.

Пусть т1=иг 5 7.3. Конечно-рааностнме методм расчета Р(Ч) =Ч' и Ч, = й"+' — значение-и"+' на предыдущей итерации. Разлагая функцию Р в ряд Тейлора в окрестности значения неизвестной на предыдущей итерации, получим Р(Ч1+ ЬЧ) = Р(Ч!) + Р'(Ч!) ЛЧ+.... (7.17) В последнем выражении ряд оборван на члене, содержащем первую производную. Так как Р'(Ч~)ЛЧ = 2Ч~ЛЧ, то, выразив входящие в соотношение (7.17) величины через и"+', получим выражение, совпадающее с (7.15). Обе формы записи, одна, получающаяся при использовании приращений би, и другая, получающаяся после исключения 6„ в результате подстановки, эквивалентны и встречаются в литературе. Последнюю форму мы используем в приведенных в этой главе примерах. Основное преимущество линеаризации по Ньютону связано с ускорением сходимости решения разностных уравнений при итерационной замене коэффициентов. Проиллюстрируем применение рассматриваемого метода на примере полностью неявной (В = 1) схемы, если рассчитывается несжимаемое течение, а уравнения, описывающие законы сохранения, решаются независимо.

Наиболее ярко нелинейность проявляется в конечно-разностной аппроксимации члена риди/дх. Используя линеаризацию по Ньютону, запишем конечно-разностный аналог этого члена, полученный при использовании полностью неявной схемы, в виде р (2йа+'иа+' — (й"+~)а — иаи"е'~ — — ит т (7.18) Ьх Здесь единственной неизвестной является величина и"+'. На первой итерации считают, что в качестве величины й"+' можно ! использовать и". Немного другой результат получится, если мы проведем линеаризацию этого члена, записанного в математически эквивалентной форме рд(на/2)/дх. Если описывающие законы сохранения уравнения решаются независимо, т.

е. если из каждого такого уравнения определяется лишь одна неизвестная, то другие нелинейные члены уравнения роди/ду, д/ду(рди/ду) обычно вычисляются с помощью описанной выше простой итерационной замены коэффициентов, Если при аппроксимации члена ри ди/дх используется линеаризация по Ньютону, что приводит к соотношению (7.18), а при аппроксимации остальных членов — простая итерационная замена коэффициентов, то в результате получается система уравнений с трехдиагональной матрицей, которая может быть решена обычной прогонкой без каких-либо модификаций, Вычисления на каждом шаге по маршевой координате повторяются 410 Гл.

7. Численные методы решения уравнений пограничного слоя Ьх 2Ьу а+! ! !а+! да+!'! !и" + 'те — и"+ ! и" Ьх (7.21) два или более раз, при этом каждый раз проводится указанная выше замена коэффициентов. 4. Линеаризацил но Ньютону при совместном решении уравнений Некоторые исследователи отмечают, что при итерационной замене коэффициентов в уравнении движения пограничного слоя скорость сходимости итераций на каждом шаге по маршевой координате может быть существенно повышена, если уравнения движения и неразрывности решаются одновременно. При применении метода Кранка — Николсона второй порядок точности достигался при использовании на каждом шаге по маршевой координате лишь одной итерации, если уравнения движения и неразрывности решались совместно [В!оНпег, 1975а).

Согласно Блоттнеру [В101(пег, 1975а), процедура совместного решения уравнений предложена Дэвисом (К. Т. Рау(з) и использовалась в работах [%ег1е, Вегасе, 1972; %ег!е, 0чтоуег, 1972). В качестве примера опишем процедуру совместного решения уравнений для случая полностью неявной схемы расчета течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами. Член иди/дх аппроксимируется в соответствии с соотношением (7.18), Для линеаризации члена оди/ду воспользуемся соотношениями о"+' = ба+'+ Ь, и и"+' = й"+'+ 6„.

На первой итерации в качестве 6"+' и й"+' обычно выбирают о" и й! соответственно. После отбрасывания членов, содержащих произведения приращений 6, и б„получим следующее представление величины о ди/ду; ( ди )"+! а+! ( дн )а+! + аь! ( да )а+! а+! ( да )а+! (7.19) Такой же результат можно получить и при разложении в ряд Тейлора функции двух переменных о и ди/ду, если оборвать разложение на членах, содержащих первые производные.