Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс.djvu), страница 95

Так как наше приближение будет давать только 6 точных цифр, мы также потребуем 6 точных цифр и от интегрального представления функции; > 01дттп:- гц зт;= С1ве(): > зео( еча1((Г(1/250.0)). т = 1..1000 ): > 010С(ве;= т1ге() — зт,' о/с///ттте:= 8! .805 В процессе вычислений с использованием представления рациональной функции в виде непрерывной дроби иногда требуется внести несколько дополнительных цифр точности для страховки.

В данном случае достаточно внести две дополнительные цифры. Итак, новос время вычислений: > 0(д(еп:= 8: пт:= Стпв(): > пед( Мтп(пвхАрргох(1/250.0), т = 1,. 1000 ): > яенттпе:= 11пв() - зьх нен втне:= .694 Ускорение вычисления при аппроксимации есть: > >рееецр;- о10мве/пенттве: Бреей)р.:= 117.87464 Мы видим, что процедура вычислений, основанная на МтптвахАрргох, выполняется почти в (20 раз быстрее процедуры с использованием исходного интегрального определения. Это просто феноменальный успех, полностью оправдывающий время, потерянное на предварительные эксперименты по аппроксимации и ее оптимизации! Разумеется, при условии, что вы будете применять эту аппроксимацию многократно.

Преобразование в код Фортрана или С Один из поводов разработки эффективной аппроксимации для вычисления математической функции заключается в создании библиотек подпрограмм для популярных языков программирования высокого уровня, таких как Фортран или С. В Мар!е имеются функции преобразования на любой из этих языков. Например, мы можем преобразовывать формулу для миннмаксной аппроксимации в код Фортрана. (Моделирование физических велений б29 > Гогсгал(М(тиахлрргох(х)): Гог(гап —.0468860934488 1.07859095973 16.1901858102 хе 4.41993871351е 70.1941645008 х а 4.29117952 35> 4 77540023037- х — 10.2912413941е — — — —— х е 1.23883860342 Итак, нами показано, что правильный выбор аппроксимации (шя сложной функции обеспечивает уменьшение времени ее вычисления более чем на два гюрядка (! ) при весьма приличной точности в 6 верных знаков и при использовании для вычислений минимального числа арифметических операций.

применение при этом средств системы Мар!е 7 позволяет генерировать разложения в различные ряды, быстро вычислять раппональныс аппроксимации функций и выполнять преобразования в различные специальные формы, сочетая это с мощными средствамн интерактивной работы и графической визуализации, в частности с построением графиков функции и кривых ошибок при разных видах аппроксимации. Все это обеспечивает идеальную среду для решения таких задач.

Моделирование физических явлений Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется, во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: пело происходит на Луне и на Земле. В первом случае сопротивления воздуха (как и его самого) нет, а в другом — сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа! Итак, пусть полвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 г брошены под углом 45' к горизонту со скоростью >)о = 20 м/с.

Найлем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха игр=А"Ч, где А=0,1 Н*с/и. Сравним их с траекториями, получающимися без учета сопротивления возлуха. Начнем с подключения пакета р1онц нужного для визуализапии ланной задачи: > гевтагм > и(сп(р)ота): ЧЧагп)пц, 0)е пате спвппесооп(з Пав Ьееп ге((е(1пеб Составим параметрические уравнения для проекций скорости на оси координат чох;-чо>сов(а)рва);чово чо>в1п(а1рва): г'ох:= Ко сов(а) р7ц:- во вш(а) 630 Урок 11. Примеры решения научно-технических задач Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета: > Чо; 20;мазза: [0.5,0.

Ц;А: [О. 1,0]:а1раа: Р$)4;д:=0.8: $'а;= 20 тала:= $.5,,1( А .'= $.1, О] 1 а:= — и 4 А:= 9.8 Вы!полн!!а! решение заданных систем ДУ: > р1: бпо1че((пуп1,х(0)-0.0(х)(0) Чох,у(О)-0,0(у)(0)-Чоу], (У(С),х(С)], Суре пшпегзс ,оогроС-1$пгргосебоге): д р! +=(ргос(г) ... епбргос ),х(г)=(ргос(г) ... епбргос ),— х(с) =(ргос(г) ... дг д у(г) =(ргос(г) ... епбргос ), — у(г) =(ргос(г) ... епбргос )] 'дг > рзнбпо1че((пуп2.х(О)-0,0(х)(О) Чох.у(О)-О,О(УНО)-чог]. (У(С).х(С)].

Суре помет(с .оогроС-1$пгргосебоге): > рЗ: бпо)че((пупЗ,х(0)-0,0(х)(0) Чох,У(0) 0,0(У)(0)-Чоу]. (у(С),х(С)]. Суре-пшпег(с .оогрог 1!пгргосебоге): > р4:-бпо1че((пуп4,х(0) 0.0(х)(0) Чох.у(0)-0 0(у)(0)-Чоу]. (У(С).х(СЦ, Суре пшпег)с .оогроС=1$пгргосебоге): Создадим графические объекты — результаты решения систем ДУ: > а1:-обер1ог(р1,[х(С),у(С)],О..З.со1ог дгееп. чзеи [0,.50.0..15]. Сшс1тпеы 2): > а2: обер1ог(р2,[х(С),у(С)].0..3,со!ог геб.

чзеи-[0..50.0..15]. С)нс$ппеы-2): > аЗ:-обер1ог(рЗ,[х(С),у(С)],0..3,со1ог-а]ое. ч!шп-[0..50.0..15]. Са(схпепп-2п > а4: обер!ог(Р4.[х(С),у(С)],0,.3,со1ою Ь)асх, ч(еи [0..50,0.. 15], Са!схпепп-2): епбргос ), Мы рассматриваем два случая: камень массой 500 г и камень массой 100 г. По- скольку для каждого случая мы предусматриваем расчет в двух вариантах (с у- четом сопротивления воздуха и без такого учета), то мы должны составить 4 системы дифференциальных уравнений (ДУ), Каждая система состоит из двух ДУ второго порядка и вид этих систем известен из курса физики.

Ниже пред- ставлено задание этих систем ДУ (для первой системы дан вывод ее вида): > пуп):тпаппа[Ц"0$(Г(х(С),С$2) -А[Ц'0$(Г(х(С),С), паыа[Ц>б$(Г(у(С).С$2) -А[Ц*(б$(Г(у(С).С))-паыа[Ц*д; туут':= тала — х(г) =-А — х(г), тала — у(г) =-А — у(г) — тала 5 '(дгз ) $(дг )' $(дгз ) $(дг ) > пуп2: птппа[Ц"б(ГГ(х(С),С$2) -А[2]'ч1$(Г(х(С),С), мпппа[Ц"б$(Г(у(С),С$2)--А[2]ч(0$(Г(у(С),С))-маыа[Ц*д: пу53:тзшппп[2]"0$1(Г(х(С).$$2) -А[Ц"б(ГГ(х(С).С), шпака[2]чб$(Г(у(С),С$2) -А[Ц*(0$(Г(у(С),С))-мама[2]"д: > пуп4;тппппа[2]*бт'ГГ(х(С),С$2) -А[2]*б(ГГ(х(С),С), паыа[2]*б$(Г(у(С),С$2) -А[2]*(ай ГГ(у(С) С))-иаыа[2]чд: Моделирование физических явлений 63 $ Построим графики траекторий для первого случая: > С:-тех(Р10С([[25,8,'А-О. 1'3,[35,9 'А-0'33,со1ог Ь)ое.

(опс"[Т1МЕ5,МОМАМ. 123)г > 11: Сехтр101([[17.3,'А О. 1'3.[35,9,'А 0'33,со1ос-Ь)ое. топо [т1ме5,ЙОИАм. 123): > Отзр1ау((а1,а2,1),стт)е= траект. полета тела нассой 500г', 1аЬе1з [х,у3.)аЬе1(опт [Т!МЕ5,МОМАМ,143); Графики траекторий полета камня с массой 500 г представлены на рис. 17.6.

Траемерлл лепета тела масспй 502 г !2 та е У б о то зо зо ао 50 х Рис. 17.6. Баллистические траектории камня с массой 500 г Теперь построим графики траекторий для второго случая: > 0(зр1аУ((аз.а4Л1],С(С1е"'Траект. полета тела нассой 100 г'. 1аЬе1з [х.У3,1аЬе1(опт-[Т1МЕ5,00МАМ,143), Они представлены на рис. 17.7. тааесюрпл пелега тела массой 100 г гй го У 6 Рис.

17.7. Баллистические траектории камня при массе 100 г 632 Урок 17, примера решения научно-технических задач Из провеленных расчетон и графиков видно, что при учете силы сопротивления ноздуха дальность и высота полета сильно уменыпаются по сравнению с полетом в вакууме, и эта разница зависит от массы тела, поэтому при небольшой массе тела сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя. Движение частицы в магнитном поле От реального мира перейдем к микромиру. Пусть мпкрочастпца массой 9*10'" кг и зарядом +1,6*10" Кл нлетает н магнитное поле с ппдукпией В = 0,1 Тл под у?лом а=80'.

Рассчитаем траекторшо движения частицы прп начальной скорости Чо =- 1*10' мУс: > гез1аг(и Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу Г = (1*(Е+(ч, В1). Проек- ции некторного произведения (ч, В) па оси х, у, х: [ч,в]х чу"8?.ч?яву [ч,в]у н?чвх-чх>8? РоВ]а чхчву-чу"'87 В соответ(тнпи с этим известные из курса физики днфференпиальпые уравнения, ошгсывающие траекторию полста частицы по осям х, у, г имеют впд: > зуа:-Фг((х(1).112)-п*(Ех+(0((((у(1),1)чва-вт(Г(а(1),1)>ВУ))/ааааа,ет(((у(1),112)- -9*(ЕУ+(0?(((?(1) 1)>вх-0((((х(1) 1)чва))/пваааА?(((?(1),182)" 9*(Е?+(0?И((х(а) 1)* Ву-Отт((у(1) Л) "Вх))/паааа: ? д д д д/ " д? ?/ Ехч- — у(?)  — — г(?) Ву ?уз:= — х(?) = . д' ?пажа д' — у(?) = д?' о?аяза д' — х(?) = д?? ?т???ззтп Зададим исходные числовые данные (опустив размерности): > О: -1.бе-19:ааааа: 9.1е-з!:У: 1е7:а)риа:-80*9!/180: Ух:-У соа(а)раа):Чу:=У*это(а)раа):Ех:=О:Еу:-О:Ею-О: Вх:=0.1;Ву:-О: Вю-О: Построим траекторию движения частиц в пространстве: > итти(ОЕаоо) з):ОЕр) о130((ауа),(х(1),у(1),г(1)),1=0..2е-9, [[х(О) 0,0(х) (0)=ух.

У(0)= 0,0(у)(0)-УУ,?(0)0,0(а)(0)=0]],з1ераттке-1е-11,ог(еп1ащоп [24,117]); Полученная траектория предстанлена на рис. 17.8. Она имеет вид спирали в пространстве. При этом скорость движения частицы вдоль оси х неизменна, а вдоль осей у и х имеет характерную колебательную компоненту. Случай янно куда менее тривиальный, чем полет камня, описанный выше.

Моделирование физических явлений 633 о оот о,оооо ,о восо о оооо О ООО1 Рис. 13.В. Траектория движения частицы в магнитном поле Мы можем найти аналптп теское представление для траектории частицы в виде параметрическп заданной (с параметром времени () системы пз трех уравнении: цхум=с)ао)чеЦвуа,х(0)=0,0(х)(0)=Чх,у(0)=0,0(у)(0)= =Чу,а(0)-0,0(а)(0)0),(х(1),у(1),а(1)), жетаосм)ар)асе): 1000000 . У4 (4 *о*:- ( с ) = (- ) Ы отопоотоо )', С ) = сооооооо 879 20879 з(п( - п Рйп(17582417580 с) ) 500000 г'4 879120879 Моделирование движения заряженной частицы в пространстве с магнитным полем показывает, что для принятых для молелпроваппя параметров решаемой задачи, движение частицы происходит по спиралеобразной траектории.