Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс.djvu), страница 93

ь); 5.0063 > Потргоппс11Ы И): .3162 Другие новые пакеты, Стггт ег 111шй и ).)пеаггггпс11опа15ухсепг, мы рассмотрелп ранее достаточно подрооно (см. уроки 14 и 15). В целом надо отметить, что состав пакетов Мар!е 7 существенно расин)реп по сравнению с предшествующими версиями системы. В то же время все пакеты, вошедшие в состав Мар1е 6, сохранены в новой версии программы — Мар1е 7, что гарантирует полную совместимость с цей. Пракпгческн это было подтверждено проверкой всех (а пх многие сотни) прил)еров применения системы Мар1е 6 применительно к новой версии Мар1е 7. Что нового мы узнали? В этом уроке мы научились: О Применять пакет решения задач оптимизации згшр!сх. О Использовать пакет двумерной геометрии йеошесгу.

О Избранно применять пакет трехмерной геометрии йеогпЗЙ. О Использовать пакет для работы с алгебраическими кривыми а18спгтез. О Строить и модернизировать графы с помощью пакета пестког(сз. О Использовать возможности пакета статистических расчетов зсагв, О Применять пакет для студентов агпйепй О Использовать средства поддержки МасйМ1. О Использовать средства ряда новых пакетов Мар!е 7. Примеры решения научно-технических задач Небольшое введение Выбор аппроксимации для сложной функции Моделирование физических явлений Моделирование и расчет электронных схем Небольшое введение Выше прп изложении данно~о учебного курса приводились многие сотни примеров применения системы Мар1е 7.

Прн этом намеренно подбирались достаточно простые примеры, занимающие немного места и не требукнцпе чрезмерных ухищрений для решения. Многие читатели полагают, что системы компьютерной математики хорошо работают на таких простых примерах, но от них мало толку при решении реальных задач математики, физики илн радиоэлектроники. Это, конечно, заблуждение. Дело просто в том. что при решении таких задач руководящая роль пользователя сильно возрастает. Вы должны понимать, что не Мар1е 7 репзает вашу задачу, а вы! И система Мар!е 7 лишь помогает в этом трудном деле. Так что прн неудачах в решении своих спепифнческих задач следует прежде всего пенять па себя и на свое незнание возможностей системы Мар1е 7, а вовсе не на свою помощницу.

В том, что Мар1е можно успешно использовать при решении вполне конкретных научных и практических задач, призваны убедить примеры, приведенные ниже. Разумеется, и их нельзя отнести к таким сложнейшим задачам, как проектирование ядерного реактора плн расчет траектории полета космического корабля. — не стоит забывать, что такие расчеты делают на суперкомпьютерах, а не на домашнем компьютере, который стоит перед вами, И объем материалов по сопровожденик1 и результатал1 таких расчетов многократно превосходит объем всей этой книги. Тем нс менее в этом уроке вы встретите решение вполне реальных и полезных задач в области математики, физики и радиоэлектроники.

Почему не в механике, гидродинамике или в оптике? Да потому, как верно сказал наш народный пророк Козьма Прутков; «нельзя объять необъятное». Приведенные примеры отчасти обусловлены личными пристрастиями автора; но они полезны каждому пользователю, желающему всерьез оценить возможности Мар1е 7. Описанные в этом уроке задачи являются реальными документами, созданными и отлаженными в среде Мар1е 7 и лишь затем перенесенными в рукопись книги. Так что они заодно служат примерами того, как надо оформлять такис документы.

В то же время от некоторых «излишеств» оформления (например, закрывающихся и открывающихся секций) мы отказались, дабы нс усложнять описание документов явно второстепенными деталями. Начнем этот урок с решения весьма актуальной для многих областей применения математики задачи — аппроксимации сложной функции.

Выбор аппроксииации для сложной функции 521 Выбор аппроксимации для сложной функции Задание исходной функции и построение ее графика Трудно представить себе область более широкую и почитаемую, чем аппроксимация различных функциональных зависимостей. С получения простой аппроксимации сложной зависимости нередко начинаются (а часто и заканчиваются) научные исследования во многих областях как прикладной, так и фундаментальной науки. Покажем возможности в этом системы Мар1е 7 на одном из примеров, давно помещенных в библиотеку пользователей системы Мар!е 5/ Е2, и переработанных лля Мэр1е 7. Воспользуемся возможностями пакета пшпарргох, для чего прежде всего подключим его: > геатага:и1(щпоиарргох); [с/>еЬ4/ек, с/4еьл4и//, с/тЬриг/е, слеьеогь сйе/гпсйец сои/гис/опи, /4егтле /оиг/е, /4огиег/Ьг4и, и/оо4т, /а игеп/, 4тп/ток, ри4/е, г стек! Будем искать приемлех(у/о аппроксимацию для следующей, отнюдь не простой, тестовой функции; /; х -> 1пт(1/ВАИИА(С).

С=а..х ) / х"2: 1 Г(/) о /:=х — ) х к р1оа(бэ,.а.со!ог-ыаск); График этой функции представлен иа рис. 17.1. С первоп) взгляда — это простой график, но тут как раз тот случай, когда простота обманчива, Вы сразу заметите, что график строится необычно медленно, поскольку в каждой из множества его точек системе Мар!е 7 приходится вычислять значение интеграла с подынтегральной функцией, содержащей довольно каверзную гамма-функциях И делает это Мар1е 7 по сложному и медленному алгоритму адаптивного численного интегрирования.

55 04 Рис. 17.1. (рафик аппроксимируемой функции 622 Урок 17. Примеры решения научно-технических задач Итак, вычисление((х) по ее интегральному представлению совершенно не аффективно, Наша цель состоит в разработке процедуры вычислений, которая дала бы 6 точных цифр результата в интервале !0..41 и требовала, по возможности, наименьшего числа арифметических операций для каждого вычисления, Втайне не вредно помечтать о том, чтобы после аппроксимации время вычислений уменьшилгзсь бы хотя в несколько раз.

Что получится на деле, вы увидите чуть позже. Л пока войдем в дебри аппроксимации. Аппроксимации рядом Тейлора Начнем с аппроксимации функции хорошо известным рядом Тейлора степени 8 относительно середины интервала (точки с х=2): л к ;= шар(еча1(, сау1ог(г(х), х=2, 9)1; г;= .4065945998- .1565945998(х — 2) е,0020979079!(х — 2) + .01762626393(х — 2)'— .006207547150(х — 2) +.0005733566(х — 2)'ч-,00024331163(х — 2)" †,00010010532 (х — 2)' +,00001414212(х — 2)' е 0((х — 2)") > Тау1огАрргох :- сопчегт(в, ро1упшя): Такой ряд позволяет использовать для вычислений только арифметические действия, что само по себе здорово! Для удобства преобразуем аппроксимацию в функцию, чтобы она соответствовала форме, указанной для первоначальной функции г(х).

Тогда мы сможем построить график кривой ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора: > Тау1огАрргох := опарр1у(Тау1огАрргох. х): Тау(огирргох:=х -в .7!97837994 †,!565945998х е,00209790791(х — 2)' + .О!762626393(х — 2)' †,006207547!50(х — 2)" е .0005733566(х — 2)' + .00024331163(х — 2) †,000!0010532(х — 2)'->,0000!414212(х — 2)" Кривая ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора строится командой: > р1от(Т - Тау!огАрргох, 0.,4.со1ог=б)асК): и имеет вид, представленный на рис. 17.2.

Эта кривая нас, прямо скажем, не слишком радует, поскольку погрешность в сотни раз превышает заданную. о -о 0002 о опм о опв о пхв о аог о,со(2 о,сом Рис. 17.2. кривая погрешности при аппраксимвкин рядом Тейлора Типичное свойство аппроксимации рядом Теилора состоит в том, что ошибка мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее.

В данном случае самая боль- Выбор аппроксииации Аля сложной функции 623 шая ошибка имеет место в левой оконечной точке. Чтобы вычислить значение ошибки в точке х = О, что ведет к делению на нуль (см. определение для Ях)), мы должны использовать значение предела: > иахТау1огЕггог := аЬв( 1)и)С( Пх). х=а) - Тау1огАрргох(0) ): гпахТаи!огЕпог:=,0015029620 Итак, в самом начале наших попыток мы потерпели полное фиаско.

По отчаиваться не стоит, ибо, как говорят, «даже у хорошей хозяйки первый б.лин — комом>. Паде-аппронсимация Теперь опробуем рациональную аппроксимацито Паде (Ра«1е) функции Г(х) степени (4,4). Приближения по этому разложению булут аппроксимировать функцию более точно, и потому ошибки округления в вычислениях стянут более заметными. Поэтому зададим еще два дополнительных знака для точности вычислений.

> 010(тв:= 12: > в := шар(еуа1 б Сау1ог(((х). х=2, 0))г > РадеАрргох:= раде(а, х-2, Г4,41)т Раг(елрргох)=(.341 034780922 + .0327799093746х — .0061 278352789 (х — 2)т +,0045299108661 7(х — 2)' —,000431506275874(х — 2)4)/(.068484878062) +,465757560969х +,159149617732(х — 2)'+,0266813702995(х — 2)' + .00346967814937(х — 2)') > РадеАрргох :- опарр1у(радеАрргох, х)г Кривая ошибки для интервала [О, 41 строится командой: > р1ОС(( - РадеАрргах, 0,,4,со!ог=Ь)асх): и имеет вид, показанный на рис, 17.3.

О ОЭЛВ а асаз а,вюта О а)02 О огата а оаат ав.аа Рис. 17.3, Кривая погрешности при Паде-аппраксииацни степени (4«) Как и при аппроксимации рядом Тейлора, ошибка здесь мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. Мы снова видим из графика, что для указанной функции, самая большая ошибка — в левой оконечной точке. Однако максимальная ошибка в Паде-айпроксимации уже на порядок меньше, чем при аппртжсимации полиномом Тейлора: > еахРадеЕггог : авв(1(е1С(Р(х), х-О) - РадеАрргох(0))т тахраг(еЕггог:= .000353777214 б24 Урок 17, Примеры решения научно-технических задач Это успех, показывающий, что мы на верном пути.