Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс.djvu), страница 96

Полччен как график траектории движешгя частицы, так и аналитические уравнения, описывающие это движение. Разделение изотопов Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Для этого используют различные способы. В частности, это может быть масс-спектроскопический метод. Из точки А вылетают однозарядные ионы (ц = е - 1.6" 10 " Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100' к оси х в плоскости ху (рис. 17.9).

Вдоль оси г приложено магнитное поле В=10 ' Тл, Рассчитаем траектории полета частиц, Будем надеяться, что это гюдскажет способ разделения изотопов. Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу, à — 9'(Б+"(ч, В)). Проекции векторного произведения (ч, В) на оси х, у, г заданы выражениями: (ч.в]х чуоВа-ча*ВУ (ч,В)у чаявх-чхява (ч,в)а чхмВУ-чуева 634 Урок 17. Примеры решения научно-технических задач Рис. 17.9.

Иллюстрация к методу разделения изотолое В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, к имеют вид; > Ге51аГ1: > зуз: Стт((х(С) Л$2) ц*(Ех+(61(((у(1).1)лвз-дт(т(к(С),1)лву))/ваззаАЗ(((у(1),1$2)- цл(Еу>(де 6((з(1) .1) явями(т(х(1) .1) лак) ) /мазза. Ст Г((з(1) Л$2)- ц"(Есе(61(((х(1).1) "Ву-ст(Е(у(С),1)*Вх))/лизка: д' зул;= — х(Е) = ' дт' таяла д' — )'(Е) = таяла дз — к(Е) = ( )= тапка Зададим исходные числовые данные для расчета: > е): 1.6е-19:Ч; 1ед: > Чх: Члсо5(а1рва):Чу: Члп)п(а1рна):Ех: О:Еуе"ОЕЕзт О:Вх: Ое Ву:-0:Вз:-1е-г; Выполним решение составленной выше системы дифференциальных уравнений: >хую Озо1че((зуз.х(0) 0,0(х)(0) Чх,у(0) О.О(у)(0) Чу.к(0) 0.0(з)(0)-О].

(х(С).у(С),к(С)),весил) 1ар1асе): > ХХ: (мазза.а1РПа)->.6250000000е25*вззпа*(5)п(а1РПа)-1,*5!п(а1РПа)л лооп(. 1600000000е-20>с/пизза)+сок(а1рва) *зтп(. 1600000000е-20*1/мазза)): > ЧЧЕ (мазза,а1рва)->.6250000000егвчеизза"(-1.>сок(а1рва)чсоз(а!рна)* *сок(. 1600000000е-20>С/паапа)+зтп(а1рва)*сцп(. 1600000000е-20*1/паапа)): ХХ:=(таяла, сс) -з .625000000010зз талка Нп(а)-1.5(п(в)соп(.!600000000)От 1+сок(а)п)п(.1600000000)вм 11 ( тата / таяла е е Л'Е=(талка, а) -+.6250000000!От' таиа -1.соп(а) +сок(а)соп(.160000000010св — 1+поп(а) 5(п(.160000000010ае — 11 (- талка / т,' талка // Иоделироааниефизическихяалений 535 Построим графики решения: > аев: 1.67е-27; цг: 3,14/180: > р)ОС([(ХХ(20*аев.80*00)ЛХ(20*аев,80<00), С 0..10е-5].(ХХ(20*авв.90*ос),'й(20<аев,90'цг), С 0..10е-5],(ХХ(28*аев.80»иг).77(28<аев,80*00).

С 0..100-5],(ХХ(28<аев.90<00).'й(28*аев,90<00). С О.. 100-5],(ХХ(24*аев.80<00),77(24*аев.80*00). С 0..10е-5].(ХХ(24*аев.90»цг),77(24<аев,90»цг), С О.. 10е-5]] ге(ек (0.,0.65,0..0.65]. со)ог (гее,гед.ыце,Ыце.Ыасе.ыасК].)аье)в (х,у]): Эти графики показаны на рис. 17.10. ОЗ 02 01 01 02 Оз 04 О.а 06 к Рис. 17.10. )рвекгории движения час»и ц Полученные графики (рис. 17.10) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов.

Как говорится, осталось подставить <стаканчик» в нужное место /шя ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи. Моделирование рассеивания альфа-частиц Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа-частицами с высокой энергией.

Если бы <массивных» ядер не существовало, то альфа-частицы должны были бы спокойно пролетать сквозь тонкую фольгу, практически не отклоняясь, Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги. В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа- частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Мар1е 7. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альФа-частиц.

636 Урок 17. Примеры решения научно-технических задач Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Ап. Прицельное расстояние р равно 2*10-)з м. Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа-частицьс > геясдга) » яуя: 01(((х(2),2$2) 01~02»х<2)/(4*Р)*ЕО'пеева* (х(2)"2+ +у(СГ2)"(3/2И,61(((у<2),212) 01"02*У<2)/<4 Р)"ЕО маяка*(х(2)"2+у(2)"2) (3/2И: ]2 яуя:= †, х(/) а/2 1 91 92 х(/) 4 <П2) ' псОп)азха (х(/) +У(/) ) 0192 у(О 82 1 —,У(/) =4 (3'2) я ВО а>аяза (х(!) + У(/) ) Введем исходные числовые данные для вычислений: > 01: 2*1.бе-19:02:=79*1.бе-19:еаяяа: 4«1.67е-27:ЕО: 8.85е-12: а: 4е-13: р: 5е-15:Т:-4еб*1.6е-19:ЧОх: яцга<2~Т/маяка): Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа-час- тицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути: > и)еь(весоо1я);яя:-Оер1ос((яуя].(у(с).х((Ц,( 0.,7е-20.

[[х(0)--а.в(х)(0)-ЧОх.у(0)-р,в(у)(0)-0], [х<0)--а.е(х)<0)-ЧОх,у(0)-р«4,0(у)(0)"0]. [х(0)--а,о(х)(0) ЧОх.у(0)-р*8,0(у)(0) О]. [х<О)--а,в(х)<О)-ЧОх.у<О)-р'12.0(у)<О)-О]. [х<0)--а.в(х)(0) ЧОх,у(О)-р"16,0(у)(0) О], [х<О) -а,в(х)<0) ЧОх,у(О)-р*20.0(у)(0) О]. [х(0) -а,в<хПО)-ЧОх,у(0) р*24,0(у)<0)-0]. [х<0)--а,в<х)(0)-ЧОх.у<0)-р«28,0(у)<0)*О]], х(С)--а..а,ясене-[х<2),у(2)].ясеря12е 1е-21,11песо1ог Ы ас<с): > и1<П(р!отсоо1я):уу: с1гс1е([О.О],2Е-14.со1ог геп.тн(схпеяя 2): ТХ/апйпя, <Ье па)не (ганя(а<е Ьая Ьееп ге<(ейпе<1 Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа-частиц: > яя2: Р~ОТ(ТЕХТ<[О.-О.Зе-14].'+').

РОНТ(НЕЕЧЕТ!СА. ООЫООЕ.14И: Осталось построить график траекторий движения альфа-частиц вблизи центра атома: > и1СП(01оая): %ага) пй, (Ье пате сЬапвесоог((я Ьая Ьееп гес(ей)пе)( > 0(яр1ау([яя,уу.яя2],2Юе 'Рассеивание а-частиц ,ахея-(гапеп)) График траекторий движения альфа-частиц вблизи ядра представлен на рис. 17.11.

Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения. Моделирование дни>кения альфа-частиц вблизи малого и «массивного» ядра атома дает наглядное представление о математической и физической сути дан- ного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать альфа-частицы прямо моделирование и расчет злентронных схем 637 в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при агом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии, Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром.

Но зто уже тема нового разговора, выходящего за рамки данной книги. я«стет«ее«не елея*-чесыц Зе-13 а.а Зе-13 иф Эснэ 1е-13 -Ее.тэ -Эе.13 о «Щ Рис. 17.11. Траевторнн движения аяефа-частиц вблизи ядра атома Моделирование и расчет электронных схем Нужно ли применять Мар!е для моделирования и расчета электронных схем? Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос нс так прост, как кажется с первого взгляда. С одной сто1юны, к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Мкго-СЛР, Е!ессгоптсз 'ЭЧогЬЬепсЬ, РЯртсс, ЕЗезтяп ЬаЬз и лр,, автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого «ручногое составления уравнений.

Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных или, скорее, просто хорошо знакомых электронных приборах. Но зто явно плохо, когда обьек- 638 Урок 17. Примеры решения научно-технических задач том исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах илп когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо.

Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо. Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе Рассмотрим классический усилительный каскад на полевом транзисторе, схема которого приведена на рис, 17.12, а, Его эквивалентная малосигнальная схема представлена на рис.

17.12, б. Р4 Рис, 17.12. Принципиальная (а) и зквивалентная !б) схемы усилителя на полевом транзисторе > ГЕВсасалитгщр!Осз): %апина, тйе паите сЬапяесоогс)з Ьаз Ьееп тес)ейтпес) Из законов Киргофа вьпекает, что сумма токов, втекающих в каждый узел и выте- кающих из него равна О. Сзтедовательно, для узлов эквивалентной схемы рис.

17 12 можно записать следующую систему уравнений в операторной форме: Р7- Рн Р7- и2 > ет)1:= О = Я! ! е С1 )г2 — Р7 Р'2 Р'2 — Р'З > ет)2:= О = ! Я2 ! е С1 е С2 !гз — 7>2 Кз + )с 1>2 )гз — РЪ ° е7з:=О= ЯЗ 1 е СЗ 1 есг Наша цель заключается в расчете характеристик усилителя операторным мето- дом. Подключим нужный нам пакет р!оци Моделирование и расчет электронных схеи 539 Ио- рЗ )Ъ > ез34:= 0 = 1 К4' + 4 СЗ Переменные напряжения на узлах схемы находятся из аналитического решения данной системы. При этом заблокируем вывод их аналитических значений, поскольку он очень громоздок.