Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику.djvu), страница 6

Вычисление второй производной методом численного дифференцирования требует еще большего шага. Нетрудно построить разиостные формулы вычисления производных третьего и четвертого порядков: и' / /(х+й) — 3/(х)+3/(х — л)-/(х — 2л) ,( з аз ~'У /(х+За) — 4/(х+Л)+О/(х)-4/(х-Д)+ (хЧ-ЗД) нх4 д' Пользоваться ими нужно, конечно, с большой осторожностью по причинам, понятным нз приведенного выше обсуждения. основы вычислительной мвтемлтики ф 3. Интерполяция функций Приведем некоторые начальные сведения из теории интерполяции.

Этот классический аппарат вычислнтелъной математики в последние годы стал развиваться и использоваться в несколько ином направлении (по сравнению с его назначением в трудах классиков). Мы постараемся дать представление н об этих новых аспектах аппарата интерполяции. Естествознание и, особенно, математическая физика обычно имеют дело с задачами, сформулированными в терминах функций; нужно найти некоторую функцию У(г), удовлетворяющую тем или иным условиям, уравнениям. Произволъная («нзмеримаяь) функция полностью определяется «континуумом» информации. К счастью, мы не имеем дела со столь общими объектами, нас интересуют более узкие классы функций.

Непрерывная функция определяется «счетнойь информацией: достаточно знать ее лишь на счетном множестве точек, всюду плотном на том интервале (множестве), где она нас интересует. Однако при реааизации расчетов на ЭВМ мы располагаем конечным множеством чисел, причем и числа-то имеют конечное число знаков. Таким образом, мы располагаем лишь конечной информацией о функции и, следовательно, наши знания о решении какой-то задачи принципиально не полны. Естественно возникает вопрос о способах представления функции на ЭВМ, о потере информации, о возможно более рациональных способах представления специальных классов функций. Ограничимся одним способом представления функций — сеточным или, иначе, табличным. Это связано с той особой ролью, которую играет сеточный метод в рассматриваемых нами методах приближенного решения задач математической физики. Начнем с классической задачи интерполяции.

Пусть имеется некоторая функция У(г), заданная на интервале [О, т[. Первая задача состоит в том, чтобы сопоставить этой функции конечный набор чисел, по которому ее можно будет восстановить (конечно, с той илн иной точностъю). Задачу будем решать очень просто. Введем на [О, Т) некоторую сетку Го < Г, с1 < ... < 1,„, 1„Е [О, Т'[, и = О, 1, ..., ЛГ. В частности, ради простоты будем исполъзовать равномерную сетку с шагом т = Т/И: 1„= лт.

В качестве конечномерного представителя функции У(г) используем таблицу чисел Оператор, сопоставляющий функции У такую таблицу, играет большую роль в современных методах приближенных вычислений. Ему интзгполяция Функций вз1 присвоено особое наименование «оператор ограничения на сетку» (Кез1г1с1юп) и стандартное обозначение Я„где индекс з — символ сетки (г„]," . Существуют и другие способы составления таблиц, представляющих функцию /. Например, можно составить таблицу пар чисел (/„, /„'] — значений /(г„) и производных /'(г„), но мы ограничимся самым простым способом. Теперь возникает следующая задача: по таблице [/„] восстановить непрерывную функцию, Разумеется, это будет какая-то другая функция /(г) и надо оценить «потерю информации», т.е.

величину [/(г) — /(!) [ при г е [О, т]. Это восстановление неоднозначно, оно осуществляется тем нли иным оператором интерполяции (обозна«им его /), а потеря информации, как легко догадатьсл, зависит от сетки, типа оператора ) и свойств гладкости функции /'. Итак„мы имеем дело со схемой л /(1) * (/„)„', /(1). Ниже мы рассмотрим некоторые конкретные формы оператора интерполяции ].

Кусочно-линейная интерполяция. Это простейший вариант /, рассчитанный на функции / с небольшим запасом гладкости. Сам аппарат очень прост: точки (г„, /„) соединяются отрезками прямых +! Таким образом, функция /(г) рассматривается как аппроксимация функции /(1) и следует оценить погрешность [/(!) — /(!) [.

Проблемы такого сорта возникли в классической математике, когда появилась необходимость работать с некоторыми специальными функциями (з1п, 1и, ехр, функции Бесселя и т.д.), а естественным способом описания функций были таблицы. В наше время способом описания многих функций стали алгоритмы их вычисления, «запаянные» в процессорах карманных, например, калькуляторов. Итак, предположим, что функция /(г) всего лишь удовлетворяет условию Липшица с постоянной С: [/(г) — /(Р)[ жС[! — Р[, Ы1, г'е [О, т].

(2) В этом случае погрешность интерполяции оценивает следующая теорема. Теорема 1. Для любых 1Е [О, Т] погрешность [/(!) — /(1) [ и Ст/2, где т = !пах (г»»! — 1„), Эта оценка неулучшаема в классе (2), основы вычислитвльноа м»твм»тики (ч.| Доказательство. Пусть г е [г», г +,[. Тогда, вводя обозначение 6=1 +, — »», предсгавим Г в виде 1 = г» + аЬ, а е (О, 1). Очевидно, У(») = а У,, + (1 — а) У». Проведем оценку: [У(») — У(») [ = [аУ», + (1 — и) У» — а У(г) — (1 — а) У(~) ) ы и а[У»„— У(г) [ + (1 — а) [У» — У(») [. Но У,», = У(г» + Ь), поэтому [У»~г — У(1)[ = [У(г»+ Ь) — У(г + ай) [ н С(! — а)Ь.

Аналогично [У вЂ” У(») [ и СаЬ. Итак, [У(») — У(») [ и 2а(1 — а)СЬ и СЫ2. Тот же аппарат кусочно-линейной интерполяции имеет более высокую точность, если функция У(г) имеет ограниченную вторую производную. Теорема 2. Пусть [У"(г) [ ж С. Тогда [У(») — У(») [ к Ст»/2, » е [О, т[, и эта оценка иеулучшаема. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 3 (см. ниже). Пример функции, иа которой достигается эта оценка, предоставим построить читателю.

Кусочно-линейная интерполяция послужит нам поводом для вве- дения некоторых полезных объектов. Ф С сеткой (»„) можно связать набор в 4 т Ф т стандартных функций — интерполациоииый базис, состоящий из функций Ро(г), р'(г), ..., Рл(г). (Правиль»в»1»»»» ц б» нее было бы использовать обозначения типа р"„(г, (»„)„'~ о), содержащие все Рнс. 3 определяющие базис величины, но мы этого делать не будем.) Каждая Функция Р" (г) сопоставляется своему узлу сетки»„и определяется следующим образом: в узлах сетки р" (»») = Ь$, в остальных точках оиа вычисляется кусочно-линейной интерполяцией (рис. 3). Используя этот базис, можно представить У в форме У(г) = ~ У„ч>"(1).

в 0 йз1 ннтв поляцив ьтнкиия Аппарат кусочно-линейной интерполяции можно трактовать н как способ непрерывного восполнения сеточной функции до функции, определенной при всех г я (О, Т), и как способ конечномерной аппроксимации некоторого функционального пространства — в данном случае, пространства непрерывных функций, имеющих кусочно-непрерывную первую производную. Наконец, функции базиса р" (г) можно рассматривать и как простейший пример так называемых «конечных элементов». Это один из весьма важных и широко используемых в современных численных методах объектов, позволяюпшх моделировать (аппроксимировать) те или иные функциональные пространства.

Ниже мы обсудим это подробнее. рассмотрев интерполяцию функций с малым запасом гладкости, "обратимся к аппарату, напротив, рассчитанному на очень гладкие функции, Интерполяционный пол ином. Итак, пусть имеется сетка (г„)» з и сеточная функция (у«)~л м являющаяся ограничением некоторой гладкой функции У(г) на сетку. Через точки (~„, г„) проведем полипом степени Ф. Другими словами, построим полипом х.(г) степени Ф, коэффициенты которого (нх М+ 1) определяются из (К+ 1)-го условия: Аккуратное обозначение этого полннома есть, очевидно, Ел(0 (1„), У„) ), но мы будем вспоминать список аргументов только тогда, когда это потребуется по существу дела.

Пока аргументы 1»', (г»), У„) фиксированы, мы их опускаем. Вопросы существования и единственности интерполяционного полннома рассматриваются в анализе (определитель Ван-дер-Монда), мы их решим по ходу дела, написав явно выражение для С. Сначала построим базис из функций рД(г) (аккуратнее, р"„(0 (1»))). Функции р" (г) — полиномы степени Аг, каждый из которых сопоставлен со своим узлом сетки г«таким образом, что Р"„(г«) = Ь„". Легко угадать явное выражение для р» (г): 'РМ!) = П (г — ~ )Ф, — г~) !«» (Произведение берется по всем индексам, кроме 1= л.) Имея интерполяционный базис, можно написать явное выражение ннтерполяционного полинома (в так называемой форме Лагранжа): (4) ОснОВы Вычислитзльной МАтзмАтики [Ч.! Выполнение условий (3) очевидным образом следует из (4).

Если записать г. в общем виде: т.(г) = ап (и+ ... + ар, то условия (3) преврапрюгся в К+1 линейное уравнение для коэффициентов ао, а,, ..., ап. таблица К,) определяет правую часть этой системы. Так как для любой такой правой части решение (в форме Лагранжа) существует, то оыо в силу известыых теорем линейной алгебры и единственно. Переходя к оценке погрешности интерполяции, введем оста'- точный член интерполяционного полинома Ц,(О [г„), [У„)) = У(г) -1.„(П [г„), [У„)). (5) Точка г может находиться как внутри интервала [О, т) (н тогда говорят об интерполяции), так и вне его (и тогда употребляют термин экстраполяция).

Обозначим а =ш[п(г, (В) и Ь = шах((, гп). Таким образом, г Е [а, Ь). Основу для конкретных оценок !У(г) — г.(г) [ составляет следующая лемма. Лемм'а (об остаточном члене). Пусть функция У(г) на [а, Ь) имеет Ф+ 1 ограничеыную производную. Тогда 11п(') = (п+)) (" 'ОН' '()" (' — 'и) У("+пй) (6) где 1, — некоторая (зависящая от г, [(„) и /) точка, о которой известно только, что 1) ~ [а, Ь). Доказательство, Считая, что ( ие совпадает ни с одним узлом сетки (при г = („ соотношение (6) очевидным образом выполнено), рассмотрим функцию одыого переменного (Х вЂ” (В) (Х вЂ” (,)...